ADSP课程报告lms算法LD算法

1、 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 题目一-1 -1.1自适应算法的基本原理-1 -LMS算法简介-1 -RLS算法简介-1 -仿真过程简介-2 -结果分析-5 - HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 题目二-5 -L_D算法简介和计算量分析： -5 -L_D算法编程过程简介，以及程序若干说明-6 -信号生成和处理-6 -程序解释-6 -结果分析-7 -若干疑问-8 -题目一题目：按照课本第三章63页的要求，仿真实现LMS算法和RLS算法，比较两种算法的权值 收敛速度，

2、并对比不同入值对RLS算法的影响。解答：1.1自适应算法的基本原理参数可调数字滤波器y(n)自适应算法的基本信号关系如下图所示：x(n)r d(n)自适应算法*图1自适应滤波器框图输入信号x(n)通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y(n),将其与参考信号d(n)进 行比较，形成误差信号e(n)。e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终是e(n) 的均方值最小。当误差信号e(n)的均方误差达到最小的时候，可以证明信号y(n)是信号d(n) 的最佳估计。1.2 LMS算法简介LMS算法采用平方误差最小的原则代替最小均方误差最小的原则，信号基本关系y (n) = 1 w (n) x(

3、n - i)0e(n) = d (n) - y (n)w (n +1) = w (n) + 2r e(n)x(n - i)iii = (0,1,2,. N -1)写成矩阵型式为：y(n) = WT (n) X (n)e(n) = d (n) - y (n)W (n +1) = W (n) + 2r e(n) X (n)式中，W(n)为n时刻自适应滤波器的权矢量，W(n) = w0(n),wn),.w )，N 为自适应滤波器的阶数；X( n)为n时刻自适应滤波器的参考输入矢量，由最近n个信号 采样值构成，X(n) = x(n),x(n-1),.x(n-N + 1)T； d ( n)是期望的输出值

4、；e ( n)为自 适应滤波器的输出误差调节信号(简称失调信号)；M是控制自适应速度与稳定性的增益常 数，又叫收敛因子或步长因子。1.3 RLS算法简介RLS算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代最小均方准则，并按时间进行迭代计 算。其基本原理如下所示：人称为遗忘因子，它是小于等于1的正数。按照如下准则： (n) = LXn-ke2 (k) min(0.1)d G)：参考信号或期望信号。w(n):第n次迭代的权值。 (n)：均方误差。即越旧的数据对 (n)的影响越小。对滤波器系数w求偏导数，并令结果等于零知 饨()=-2 人n-ke(k)x(k) = 0dwk =0整理得到标准方程L 人 n

5、-kx (k )XT (k)k=0定义R (n)=L 人 n - kd (k)x(k)k=0(k)xT (k)k=0P(n) = L 人n-kd (k)x(k)k=0标准方程可以化简成形式：R (n)w = P (n)经求解可以得到迭代形式R (n +1)=人 R (n) + x( n + 1)xt (n +1)P (n +1) = X P (n) + d (n + 1)x(n +1)定义：T(n) = R-1(n)，则可知T的迭代方程为T(n) = XT-1 (n -1)+x(n) x (n)-1 系数的迭代方程为w(n) = w(n 一 1) + k(n)e(n I n 一 1)其中增益k

6、(n)和误差e(n I n -1)的定义分别为e(n I n 一 1) = d(n) 一 wt (n 一 1)x(n)k (n)=T(n - 1)x( n)X + xT (n)T(n - 1)x(n)(0.2)(0.3)(0.4)(0.5)(0.6)(0.7)(0.8)(0.9)(0.10)(0.11)(0.12)由上边分析可知，RLS算法递推的步骤如下：在时刻n，已经知道w(n -1),T(n -1)和d(n),x(n)也已经存储在录波器的实验部 件中利用公式(1.9)、(1.10)、(1.11)和(1.12)计算T(n), w(n),k(n),e(n | n-1)，并 得到滤波器的输出相应

7、V(n)和误差e(n)即：y(n) = wt (n)x(n)e( n) = d (n) 一 y (n)进入第n +1次迭代优点-其优点是收敛速度快，而且适用于非平稳信号的自适应处理。条件-:是每次迭代时都知道输入信号和参考信号，计算量比较大1.4仿真过程简介仿真过程按照如下过程进行信号产生：首先产生高斯白噪声序列k(n)，然后将此通过一个简单的二阶自回归滤波器生成信号x(n)，该滤波器的参数为彳=-1.6, a2= 0.8将步骤一生成的信号通过LMS和RLS自适应滤波器进行处理绘制各种图形曲线按照步骤一，生成信号的程序如下所示，生成的信号包含n个点%信号生成n=600;%信号点数a1=-1.6

8、;%生成信号所用AR(2)滤波器的参数a2=0.8;x=zeros(1,n);k=randn(1,n);x(1)=k(1);x(2)=k(2)-a1*x(1);for i=3:%迭代生成信号x(i)=k(i)-a1*x(i-1)-a2*x(i-2);end;信号和高斯白噪声的波形如(图1)所示数据x和高斯白噪声s-1050100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600n图2数据和高斯白噪声波形生成信号之后，将信号输入LMS和RLS滤波器进行处理，其matlab程序如下:L=2;%滤波器长度%LMS滤波u=0.002;w=zeros(L,n); %LMS滤

9、波器的系数for i=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L);y(i)=X*w(:,i);e(i)=x(i)-y(i);w(:,(i+1)=w(:,i)+2火u*e(i)*X;end;a1=-w(1,:);nn=1:n;figure(1);plot(nn,a1(nn),b-);hold on;%RLS滤波L=2;lam=1; %lamda取值w=zeros(L,n); %权系数，初值为0T=eye(L,L)*10; %T初始值为 10 for i=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L);K=(T*X)/(lam+X*T*X);e1=x(i)-w(:,i-1)*X;w(:,i)=

10、w(:,i-1)+K*e1;y(i)=w(:,i)*X;e(i)=x(i)-y(i);T=(T-K*X*T)/lam;end;a1=-w(1,:);plot(nn,a1(nn),r);hold on;dr=-1.6*ones(1,n); %系数收敛lJ-1.6plot(nn,dr(nn),g:); %绘制收敛参考线 axis(1,n,-2,0);grid on;title(LMS & RLS 算法对比) xlabel(n);ylabel(a1(n);legend(LMS算法收敛曲线,RLS算法收敛曲线);图3 LMS算法和RLS算法收敛曲线对比迭代之后生成的图形，如(图3)(图4)所示。图4入

11、对RLS收敛速度的影响1.5结果分析由（图3）可以看到RLS算法系数在人=1的时候可以很快的收到最佳值，而LMS算法则 需要花费更多的时间。由（图4）可知人越小，RLS算法的收敛速度越慢。题目二题目：用matlab编程实现p阶的Levinson-Durbin算法。并对算法进行验证。验证可以采用AR （2）过程（勺=1,% = 0,% = 0.81）和MR（2）过程（b = 1,1,1）大约1000个点进行验 证。对于AR信号采p=2的L_D算法验证，对于MR采用P=10的算法进行验证。绘制出两 种情况AR功率谱并将反射系数列表。简单描述L_D算法（一个p阶L_D算法总共需要的 计算次数）。解答

12、：2.1 L_D算法简介和计算量分析：Levinson-Durbin算法是一种利用迭代的方法计算YUle-walker方程，从而得到AR模型 参数的方法。其迭代的过程如下所示。YOuk阶模型参数求k+1阶模型参数的计算公式： 。2 = R（0） + Ea R（i） kk ,i TOC o 1-5 h z i=1（2.1）D =a R（k +1 -i）,a = 1i=0DY = k（2.2）k+1 b 2 kb2 = （1-Y2 ）6（2.3）匕+1, = ak, Yk+1a；+1-i， T：2：.：k;ak+1,k+1 =-Yk+1（2.4）上述方程中间，方程（2.1）需要的计算次数为2k+1

13、次乘法和2k次加法；方程（2.2） 需要一次除法；方程(2.3)需要一次加法一次乘法；方程(2.4)需要k次乘法和k次加法; 因而由k阶计算k+1阶系数总共需要3k+2次乘法，3k+1次加法和一次除法；因而可知，计 算p阶的系数总共所需的乘法数目为： 以(3k + 2)=控22M次乘法， k=0以(k + 1=)3p22 p次加法和p次除法。k =02.2 L_D算法编程过程简介，以及程序若干说明L_D算法编程过程按照公式(2.1-2.4)进行编程即可。但是由迭代过程的方程(2.1) 的第一个方程可知，由0阶计算1阶的计算和其他几次迭代不一样，因而0阶计算1阶需要 单独进行，而不能放在迭代循环

14、过程里边。function a delte gama=my_LD(R);p=length(R)-1; %阶数比自相关矩阵长度少一a=zeros(p+1,1); %初始化AR系数，该系数包含p+1个值，其中a(1)=1delte=R(1); %由0阶计算1阶的AR参数D=R(2);gama(1)=D/delte;delte=(1-gama(1)八2)*delte;a(2)=-gama;a(1)=1;for k=1:p-1 %迭代知道计算出p阶的AR参数 delte=R(1)+a(2:(k+1)*R(2:(k+1); D=a(1:(k+1)*R(k+2):-1:2);gama(k+1)=D/del

15、te;delte=(1-gama(k+1)八2)*delte;a(k+2)=-gama(k+1);a(2:(k+1)=a(2:(k+1)-gama(k+1)*a(k+1):-1:2);enda;delte;gama;2.3信号生成和处理信号的生成，按照题目要求，需要分别生成AR(2)和MR(2)过程信号即可，该部分和题 目一的信号生成过程一样，不在赘述。2.4程序解释n=1000;%采样点数un=randn(n,1);%AR(2) samplesAr=zeros(n,1);Ar(1)=un(1);Ar(2)=un(2);for i=3:n %该循环生成AR(2)信号Ar(i)=-0.81*Ar

16、(i-2)+un(i);end%MR(2) samplesMr=zeros(n,1);Mr(1)=un(1);Mr(2)=un(2);for i=3:n%该循环过程形成MR(2)信号Mr(i)=un(i)-un(i-1)-un(i-2);end%end samples generate%p=2 for the AR(2) samplesp=2;%采用2阶的L_D算法计算AR(2)的功率谱k=0:1:2;w=0:0.01:2火pi;A=1 0 0.81;H1=1./(abs(A*exp(-j*k*w).八2); %高斯白噪声生成的AR (2)信号应该具有的功 率谱figure(1);subplo

17、t(2,1,1)plot(w,H1); %绘制理论上的由均值为0，方差为1的AR(2) grid on;xlabel(w);ylabel(|HAR|);title( AR模型信号功率谱);k=0:1:p;for i=0:pR(i+1)=Ar(1:n-i)*Ar(i+1:n)/n;endA delta gamaAR=my_LD(R);HAR=delta./(abs(A*exp(-j*k*w).八2);subplot(2,1,2);plot(w,HAR);grid on;xlabel(w);ylabel(|HAR|);title( LD算法计算所得功率谱);%q=10 for MR(2) samp

18、les%由理论知识可知，可以使用高阶的AR模型去逼近MR模型 k=0:2;B=1 1 1;H2=abs(B*exp(-j*k*w).八2;figure(2);subplot(2,1,1);plot(w,H2);grid on;xlabel(w);ylabel(|HMR|);title( MR模型功率谱);q=10;for i=0:qR1(i+1)=Mr(1:n-i)*Mr(i+1:n)/n;endk=0:q;B delta gamaMR=my_LD(R1); %调用L_D算法子程序计算信号AR模型的参数HMR=delta./(abs(B*exp(-j*k*w).八2); %用计算所得参数表示出来信号的