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文档简介
1、数理方法在量子物理中的应用求解无限深势阱-复变函数求解谐振子问题 -Hermitian厄密多项式求解氢原子的问题-球谐函数求解无限深势阱-复变函数一维无限深势阱的势能函数是: |x|a; |x|a .U(x)=在势阱外,必有: |x|a0+这是一个比0,a无限深势阱更一般化的问题在势阱内,满足方程(Schrodinger) 显然E必须0,所以记那么方程变成: 它的一般解是: 这是一个复变函数问题这三段的解必须在 x=a 处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方,衔接条件只有 本身的连续性。所以现在因而,有两种情形的解: 所以,(1) (2) 所以,二者合起来可写为:波函数的归一化是:所以,(与n无
2、关)最后,波函数是: 众所周知,当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时,势场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0,并选取能量尺度的原点使V(0)=0,则 这里,含V (0) 的一次项由于平衡位置V (0)=0而消失, 求解谐振子问题-Hermitian厄密多项式也由于是稳定振动而有V (0)0。除非振动的幅度较大,否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如,原子核内核子(质子或中子)的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动,在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退耦的一维振子之和,即
3、可近似为线性谐振动的迭加。一. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是: 其中是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是: 在方程中做如下的无量纲化变换: 则方程变成: 当时,方程变为:我们发现它有近似解: 但是 应该舍去。所以再进行变换: 可得关于H()的如下方程:二. Hermitian厄密多项式 可以用级数法求解H()的方程,结果发现:只要H()是“真”无穷级数,那么在x的时候H()就 e ,仍然使()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式,而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H()是的n次多项式,那么就必须让 =2n+1 n=0,1,2,3 这样,我们首先得到了能量本征值:现在H()的方程成为: 常点而不难验证下面的函数正满足这个方程:它称为n次Hermitian多项式。头五个Hermitian多项式是:三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是:对应的波函数是: Nn是归一化常数,利用
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