初中数学竞赛专题辅导-中位线及其应用

1、初中数学竞赛专题辅导-中位线及其应用初中数学竞赛专题辅导中位线及其应用例1如图253所示./ABC中，AD_LBC于D,E,F,3G分别是AB,BD,AC的中点.若EG=EF,AD+EF=12厘米，求ABC的面积.分析由条件知，EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出AABC的高AD及底边BC的长.解由已知，E,F分别是AB,BD的中点，所以，EF是ABD的一条中位线，所以EF=-AD,即AD=2EF.由条件AD+EF=12（厘米）得EF=4（厘米）,从而AD=8（厘米）,33EG=-EF=-X4=6（厘米）.由于E,G分别是AB,

2、AC的中点，所以EG是AABC的一条中位线,所以BC=2EG=2X6=12（厘米）,显然，AD是BC上的高，所以Sabc=1bC*AD=X12X8=48（平方厘米）.例2如图254所示.ABC中，NB,NC的平分线BE,CF相交于0,AG1,BE于G,AHLCF于H.图254(1)求证：GHBC;(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米，求GH分析若延长AG设延长线交BC于M由角平分线的对称性可以证明AABAMBC从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N,H是AN的中点，从而Gha是AMN勺中位线，所以GH/BG进而，禾用ABC的三边长可求出GHB长度.(1)证分别延长AGAH

3、交BC于MN,在ABMfr,由已知，BG平分/ABMBG!AM所以ABMBG(ASA)从而，G是AM的中点.同理可证AC庠NCH(ASAAB,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EFg（CD-AB）.分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不等关系.为了产生（CD及的线段，应考虑在含CD.AB的三角22形中构造中位线，为此，取AD中点.证取AD中点G,连接EGFG在ACDt,EG是它的中位线（已知E是AC的中点），所以EG=-CD.2同理，由F,G分别是BD和AD的中点，从而，FG是4ABD的中位线,所以FG=1aB.2在4EFG中，EFEG-FG.由，EFi(CD-AB).例

4、5如图259所示.梯形ABCD中，AB/7CD,E为BC的中点,AD=DC+AB.求证：DEAE.分析本题等价于证明4AED是直角三角形，其中NAED=90.在E点（即直角三角形的直角顶点）是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边（即梯形另一腰）的一半，则问题获解.证取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线，所以EF=g（AB+CD）.因为AD=AB+CD,所以ef=1ad=af=df.2从而Z1=Z2,Z3=Z4,所以N2+N3=N1+N4=9O（ADE的内角和等于180）.从而/AED=2+/3=90所以DE，AE

5、例6如图2-60所示.ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点，AA,FF,DD,EE都垂直l于A,R,D,Ei.求证：AA+EE=FFi+DD.分析显然ADEFt平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线,OO恰是两个梯形的公共中位线.利用中位线定理可证.证连接EF,EA,ED由中位线定理知，EF/AD,DE/AF,所以是平行四边形，它的对角线AE,DF互相平分，设它们交于0,彳OOl于0,则0W梯形AAEiE及FFiDD的公共中位线，所以J（AA+EE）=（FR+DDj=00rJw即AAi+EE=FF+DD.练习十四i.已知 ABC中，D为AB的中点, 交于0点，0E=2E米.求BO

6、的长.E 为 AC上一点，AE=2CE CD BE2.已知 ABC中,BRCE分另1J是/ABC/ACB的平分线，AFUBD于H,AFCE于F.若AB=i4厘米，AC=8厘米，BC=i8厘米，求FH的长.已知在ABC中,ABAGAD-LBC于D,E,F,G分别是AB,BGAC的中点.求证：/BFEWEGD.如图2-61所示.在四边形ABCDDP,AD=BCE,F分别是CDAB的中点，延长AD,BG分别交FE的延长线于H,G.求证：/AHF之BGF.在4ABC中，AHIBC于H,D,E,F分另是BGCAAB的中点（如图2-62所示）.求证：/DEFWHFEU图251B口无图262.如图2-63所示.D,E分别在AB,AC上，B