《数字信号处理教程》程佩青(第三版)课后答案

1、 # 数字信号处理教程课后习题及答案 #目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应 # 第一章离散时间信号与系统.氏接计算下面两个序列的卷积和y（n）=x（n）h（n）n，刃请用公式表示。分析：注意卷积和公式中求和式中是哑变罠2（n看作参量），结果丿）中变量是弘0000V（H）=x（m）h（n-m）=艺力（/）“（一m）;in=oo）n=oo分为四步（1）翻褶（加），（2）移位（X）,（3）相

2、乘，（4）相加，求得一个n的尹（值，如此可求得所有n値的y（n）,一定要注意某些题中在n的不同时间段上求和范围的不同 #解：00y(n)=x(n)*/?(n)=x(m)h(n-m)w=co(1)当v7?o时y()=o当nQn0y(n)=0.5w_w2w=-*2_w?n=co3斤4当”Vly(n)=0.5nm2M=2n)n=co3已知h(n)=anu(-n-1),0a0处递推，j1(l)=1(0)+x1(l)=0儿(2)=矽i(l)+=0 y(n)=ay(-!)+(n)=0zz)向“vO处递推，将原方程加以变换yl(n+l)=ayl(n)+xl(n+l)则Ji()=-jl(M+l)-xl(n+1

3、)a因而J1(-l)=ij1(O)-A1(O)=-6Z-1VvJi(-2)=丄儿(一l)-“(一1)=一尸a儿(-3)=扣i(-2)-“(-2)IIIJi()=(n+1)-“(n4-1)=-an综上z),ZZ)可知:y(72)=-anu(-n-1)(b)设x(m)=d(n-1)i)向n0处递推，按y2W=今2W-1)+兀2M)丁2(1)=矽2(0)+心(1)=1y22)=ay2)+x22)=aiiiy2()=0?20-1)+x2(,?)=:.y2(n)-anl,n1”)向n0处递推3(l)=qy5(0)+x3(l)=l儿(2)=切3(1)+X3(2)=a儿(3)=，3(2)+X3(3)*2II

4、Iyw=矽3W-1丿+=a“Aty3(w)=aM1,n1)向nvO处递推Jb(-l)=壬3(0丿-七(0丿=_戶a儿(-2丿=丄儿(-1)-乂3(-1)=-严aIIIyw=丄儿+1)_心+1)a=a,nx2(n)m=_gnTaxv(rz)+Z)x2(rz)=axv(ri)+bx2ri)m=_g7两(刃)+如(刃)二与1何+莎2(刃)系统是线性系统解乂2)Xw)=x(n)2jL(n)=Txl(n)=xl(n)2j2(n)=Tx2(n)=x2(n)2d”(n)+by2(n)=avjrz)2+如(司系统不是线性系统TqY()+&r?(rz)=dY(n)+Z?x2(/?.)2=axL(/?.)2+bx

5、2(n)2+2abxt(n)r2(n)即Taxri)-九(”)北()+切2(”)Tx(n-ni)=x(n-;/z)2y(ji-in)=x(ri-;/z)2即Txri-m)=y(ri-/n)系统是移不变的 #愉)=兀2sm(警+号)解： # # # #佝+外2(刃)=处1(咖11(普+号)+加2()sm(普+号) # # # #7.试判断以下每一系统是否是(1)线性，(2)移不变的?艮卩Tx(n一J=y(n一2)系统是移不变的 # #TaxL(n)+&v9(n)=做2)+如悶sm(夸+号)即有Tfavjw)+6x2(h)=aynby2(n)系统是线性系统)=工x(幻k=a0Tx(n)=严)(1)

6、恥的=呂(小3)(2)(3)7,x(z?)=x-0)(4)分析：注意：Tx(n)=g(n)x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(nm),而g(n)并不移位,但y(n)移位m则x(n)和g(n)均要移位m。 # 解：(1)Tx(n)=g(n)x(n)77妙()+Z)x2(h)=gO)宓1()+加25)=g(n)xax(h)+g(刃)xbx2(n)=NTX()+bTx2(n)系统是线性系统。Tx(n-m)=g(n)x(n-m)y(n-m)-g(n-m)xn-m)艮卩Tx(n-myn-m:.系统不是移不变的。Tx(n-m)=ex(M-m)y(n-m)=enn-w)即Tx(n-m

7、)二v(n-tn)系统是移不变的。解：(2)厂兀5)=Mk)k=JTaxt()+bx2(n)=处)+bx2(k)k=no=7(k)+bx2(k)k=“k=g=aTrL()+bTx2()系统是线性系统。 # Txn一7H)=x(k-in)0n-m=X)k=nQ-mn-my(n-m)=为讹)k=nQ即Tx(w-7?2)工y(n-m)系统不是移不变的。解：(3)Tx(n)=x(-n0)tcixL(n)+dx2(n)=ax-n0)+bx2(?-n0)=aTxx(n)+bTx2(n)8.以下序列是系统的单位抽样响应)，试说明系统是否是(1)因果的，(2)稳定的？2呛)rr(2)呛)”！3吨)(4)3nu

8、(-n)(5)0.3S()(6)0.3%(-1)8(+4)分析:V来判断稳yh(n)=M注意：0!=1,已知LSI系统的单位抽样响应，可用”定性，用h(n)二0,n0來判断因果性。解：当n0时,h(n)=0,是因果的。107001也)1=”-0当m0时,h(n)=0,是因果的。1+1!2!1+2*113*2*11+1+丄23当n8”=00二不稳定。当n0时,hn)丰0,.是非因果的。TOC o 1-5 h z|/1(n)|=3+3M+3-2+=-M-COZ:、稳定。当nvO时,心)=0,.系统是因果的。10y|/?(n)|=0.3+0.31+0.32+=?2-007.系统是稳定的。当nvO时,

9、hn)0系统是非因果的。co工|/i(m)|=0.31+0.3+n8n*-oo/.系统不稳定。当n0时，h(n)丰0系统是非因果的。8Z丨心)1=1力=一8系统稳定。列出下图系统的差分方程,并按初始条件y(n)=0,?0,求输入为x(n)=u(n)时的输出序列丿(川)，并画图表示。分析：“信号与系统”课中己学过双边Z变换，此题先写出H(z)然后利用Z反变换(利用移位定理)在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求解：系统的等效信号流图为：则由梅逊公式可得:竺=解注意输入为u(n)oXU)1丄二T44y(n)y(n一1)=+4x(h一1)yn)=_1)+x(n)+x(n_1)XO)=|

10、X-l)+AO)+x(-l)=ly(l)=*y(0)+x(l)+x(0)=2+*%2)=”(l)+x(2)+x(l)=2(1+却+(”y(3)=g(2)+x(3)+x(2)=2(1+古)+(剧y(n)=-1)+x(n)+x(n-1)=2(i+-+(ri)+(r=f-j(i)1u(n)设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定J7()-”-1)=x(n)+|x(n一1)设系统是因果性的。试求：该系统的单位抽样响应；由(a)的结果，利用卷积和求输入兀何之力何的响应。分析：小题(a)可用迭代法求解小题(b)耍特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。(+(I37d3hem.hN(II5X*+(5X+(

11、I54+upw(*)H(z)x+(EK+QM*ham+n(Tx+(e)x+(TM+TCM卜3龙今有两个输入Xq(0=COS2兀t,Xa,(0=cos5t,问输出信号(才)有无失真？为什么？分析：耍想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率(/)必须大于最高信号频率(兀)的2倍，即满足，2兀。解：根据奈奎斯特定理可知：.Mdj(f)=cos2频谱中最高频率0山=2兀奘=3兀Z儿卫)失真。12已知一个线性时不变系统的单位抽样响应hn)除了区间N。nN,之外皆为零；乂已知输入信号a(7/)除了区间N2nN、之外皆为零；女“果假设输出信号y(n)除区间N4n“5之外皆为零，试以N、，N工，N3表

12、示NN。分析：由于v(?z)=工x(m)h(n一m)m可知班砒的非零范围为“2mN3h(n-m)的非零范围为NomN、。解：按照题意，在区间NonN之外单位抽样响应力(n)皆为零；在区间N2nN.之外输入x(n)皆为零，因此y(n)=为x(m)/?(72-m由.x(m)的非冬空间为mN2mN3h(n-m)的非零空间为N0n-mNt将两不等式相加可得：N+弘,在此区间之外，h(n-k)和x(k)的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间N4n0),请证明：如果|x(n)B,则输出的界N-1值为|丿)|$工|方(幻同时请证明|丿)|可能达到这个k=0界值，即寻找一个满足|x(n)|

13、B的序列x(n),使尹)对某些值有卜)=Bh(k)ok=0AT-1分析：题中要求某些值使卩()|=|力()|,最方便的是=0时k=QN1N1满足|v(0)|=吃|A(i)|,进一步看只要v(0)=吃h(k)满足即可k=0fc=0由卷积和公式有也就是要求满足N-1v(0)=为().*(-),即要求x(-k)=x(n)=怜当0，当h-n)=0k-0 # #证明：由于题中给出h(n)=0,(/?0,N0因此，可以把y(n)写成NTy(n)=为/?()x(n-k)，而k=0NTk=0若|X(/7-k)则输出的界值N-ly(n)Bh(lc),为达到这个界值我们k=0凑一个序列 # # #h-n)B心)=

14、心)1/?(-)H0 # # #0,/?(-?)=0丁是N-1Ar=Ohpi)|力(上一/?)丨 #因此NTB=Bh(k)k=0第二章Z变换1.求以下序列的Z变换，并画出零极点图和收敛域。(1)x(n)=a|B|(|a|0为常数）（6）x（n）=ArncosCD0n+）gn）,0r?i=-con=0=aNzn+aHz-M1=11=0az11-a2+1-。二（1-处）（1-。）（宀1）二a（二-丄）（二-a）a收敛域：|a二|vl,且纟vlUP：|a|z|*极点为:零点为：z=0(3)x(n)=一u(-n-1) # # # # # #解：（3） # # # # # #X（二）=-2nzMn=l2

15、二1一2二12 #收敛域心1BP：NiX（z）=1112一111（1一二）=1111一二因为X（二）的收敛域和竺Q的收敛域相同，dz故*（二）的收敛域为|二|lo极点为：z=0,Z=1零点为:Z=oo（5）a（n）=rtsinccQn,n0（%为常数）解：(5)设y(n)=sin(6Z；on)-u(n)则有y(z)=n=-a一1启竺，141一2二cosq+二而x(n)=ny(n)）+?（沪巴,|S|1dz（1一2二cosq+二因此，收敛域为：忖1极点为：z之皿，z=e。（极点为二阶）零点为：z=l,z=-l,z=0,z=s（6）.x（7z）=Arucos（dy2+0）“（）,0r1而x(n)=

16、Arny(n).畑=4苗=和y心fl-2s-1rcos+则X(二)的收敛域为:|z|r|o2.假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(二)可能有多少不同的收敛域。1_扌二-2()(l+lz_2)(l+-z_1+-Z-2)48分析：有限长序列的收敛域为:0|z|co,nlnn2特殊情况有：ov忖8,no0忖V8,H,0右边序列的收敛域为：R,nn2特殊情况有：忖vRx+,nIZI3/4,为右边序列，请看v图形三3用长除法，留数定理，部分分式法求以下X（二）的二反变换(1)%)=121-4zl）=1一2二7分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）（z）的分子、分母都要按N的降幕排列，对左边序列

17、（包括反因呆序列）F（Z）的分子、分母都要按N的升幕排列。部分分式法：若X（Z）用N的正幕表示，则按X（Z）/Z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求Z反变换可得x（n）o留数定理法：注意留数表示是Res（X（刁二1丿_=（二-二X二I_二=6二=6因而二）二Z的表达式中也要化成i/（5-ZJ的形式才能相抵消，不能用1/（1亠二J来和（二7）相抵消，这是常出现的错误。（2）用围线内极点留数时不必取号（负号）,用围线外极点留数时要取号（负号）。(1)(i)长除法:L-s-1.极点为二=-1/2,而收敛域为：|二|1/2,因而知为因果序列，所以分了分母要按降幕排列+r-.4224

18、丄4un)(ii)留数定理法：x(/?)=_LxJ二”-比，设c为2刃知+2忖*内的逆时针方向闭合曲线：当nno时，二i=厶二”在c内有i+2二=-丄一个单极点则x(n)=Kes2r二+2由于X(77)是因果序列,故12(iV所以x(n)=u)2丿(2)(i).长除法：由于极点为二=丄,而收敛域为b4,414因而x(n)是左边序列,所以耍按二的升幕排列：8+28二+112二？+二7二-28于28于28于-112二X(刁=8+28二+112s2+=8+0.4”二”M-1=8+f74”二”?2CO所以x(n)=8(n)+7一u(-n-1)14丿(2)(ii)留数定理法：如击倍尸设为内的逆时针方向闭

19、合曲线当0时：%)严在c外有-个单极点tx(n)=-ResX(二)二x：=4=7($,(n0时:X(=)尹在c内无极点贝lj：x(n)=0,n0综上所述，有：x(n)=SS(n)+7百)(一/?一1)(iii)部分分式法：X(z)二一28-7=P-1一七一r7-7则(2)=8-=8-_1_丁_一4因为忖V扌贝Ix(n)是左边序列所以x(n)=8J(n)+7(丄)(-斤-1)4(3).长除法:因为极点为二=丄,a由二丄可知山)为a因果序列，因而耍按2的降幕排列：11-i1f1-2+(Q+(Q)-+aaaa-+1)二_ci1-(d-丄)a_(a_丄)+丄(a_丄)二taaa1(a-a1)一a1(a

20、-a1-!11“_)二+(a-)s-acra所以 # #2 # # #2 #=-_5(n)+(a_)_un-1)aaa)(ii)留数定理法：x(n)=-ix(z)znldz,设c为H-2羽上a内的逆时针方向闭合曲线。当n0时：二)二心在c内有*丄一个单极点ax(n)=Resx(刁二T二=丄 # #2 # # #2 #当=0时：二)二I在C内有s=0,2=丄两个单极点ax(0)=Res*(二)二L丄+Resxe匕叫“1=a一a=aa当nvO时:由于x(n)是因果序列,此时X(M)=0o所以xn)=6(n)+(aa # #2 # # #2 #1-(721YX(z)_二_a_a二二(l-a二)二 #

21、2 #贝ijX（二）=a+（a）:a1-丄二a所以=一u（n_1） # #2 # # 2 #有一右边序列x(n),其二变换为X(z)=将上式作部分分式展开(用二t表示)，由展开式求x(n)。将上式表示成二的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求x(n)，并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出X(门)应该是相同的。解：(a)_17因为X(二)=一:一+-_T1-二211.x(n)是右边丿卜列n所以x(n)=(2-)w(?)乂（二）=f（二-尹-1）3_1（二-*）（二-1）=(2-(导)2心)对因果序列，初值定理是乳)門呷9,如果序列为”0时0,x(w)=0时，

22、有:=乱0丿+x(_l)二+乱_2)二+所以此时有:Lim二丿=a0)r-AO若序列x(n)的Z变换为:192427_19一7j_19I?24_方X(二)的极点为6=2,=2=由题意可知：X(Z丿的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：|z|CO1、3/.x(0)=x1(0)+x2(0)=|有一信号y(n)与另两个信号xg)和心)的关系是：y(n)=X(总+3)*x2(-n+1)其中已知(1兀何=团u(n)x2(/?)=-u(n)13丿Zanu(n)= # #3 # 3 #利用Z变换性质求歹)的Z变换丫(Z)。分析：(1丿注意移位定理：x(n)二)x(-n)分)x+?)H二X(刁x(+二二7)Xw

23、)=x1(m)*x2(m)则丫(二)=兀(二)兀(二)。解：根据题目所给条件可得：石曲)一J1-丄2匸冷二(n+3)z、1-丄二T2X,(-n)X2D=1一一二3一-ix2(-z?+l)1-Z而y(n)=xY(n+3)*x2(-z?+1)所以y(z)=zx1+3)zx2(-n+1)3(二-3)(二-1)求以下序列x(n)的频谱X(eia)o6(ri-nQ)(2)elu(n)0%+他)妆(川)(4)emu(n)cos(a)Qn)分析：可以先求序列的Z变换X(z)再求频率廿)廿KC即X(eja)为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换X(eja)=xn)ejan比_8解：对题中所给的X0)先

24、进行Z变换再求频谱得：-：X(z)=zx(n)=Z(/?-rt0)=sW.X(R”)=X(叽严=恥=(胡1一1-e“二11.*(二)=(涮11X（严）=X（z儿十17Q-Jw&o) # #3 # # #3 #(4)X(刁=Z心）丿 3 #11fl一二ecosl-2s_1e_acosw0+z2e2X(eia)=X(z)|*“-eJoeacosa)0-2ejaeaCGScoQ+eljaela若列）,吃）是因果稳定序列，求证:齊1rJX）X1）dco=x）dcd兀（严M。分析：利用时域卷积则频域是和乘的关系來求解JC.（）*（）=rX.（eia）Xeia）ejand6D2冗而可(n)*X2(n)n=

25、0=Xj(0)x2(0)再利用a-（72）.x）的傅里叶反变换，代入门二0即可得所需结果。证明:设yn）=xn）x2（n）贝ij丫2）=*1（二）*2（二）.Y（严）=爼（中）兀（严丿X)X2)e6mdco1*=IY(严)严畑=y(n)=x(n)*x2(?)M八亍f)*20丿畑2n=x1(H)*x2(n)|M=0n”0=&1(彷2(并-幻=x1(0).x2(0)/Xi(n)=_LpXeja)eiM1dcoxAn)=_LfXe3)eJ6mdco2”/.(0)=(0)=1一加1一勿 # #3 # 3 #X)X)do)_落=石fX3)dcoJX2(ea)dco求x(n)=7?5(n)的傅里叶变换。分

26、析：这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解:根据傅里叶变换的概念可得:N-1X(eJ)=DTFTRN(n)=工1广丿处n=0-ejaNg2)sin(N%)/sin(%),co丰2k兀为整数N,co-2上兀当69H2滋时,x(eia=sin(N%)/sin(%)N-69+2丿(N-l)l丁丿co+aig帥)/血()InNncoIni八N(n+1)当N=5时，即可得到所需的X(eja)和如gX(cW)。设X(严)是如下图所示的蚣)信号的傅里叶变换,不必求出Xe),试完成下列计算:(a)占)(b)fX(e)d(oJ72)dco(d)0“)一幷dco2dco分析：利用序

27、列傅里叶变换的定义.它的导数以及帕塞瓦公式d3=Q卜(川)on-oo解:8coX(N)=，xge=yx(n)=6n=-on=-ofXie)dco=fXeja)ejQdco=2x(0)=4(c)由帕塞瓦尔公式可得:JXeJa)dco=27r工|x(n)=28乃n=-co00(d)9：X)=工x(闷n=-ooco=工（-戶丿x（必一M=-00即DTFT-jn)x(n)=ClX(e)dco由帕塞瓦尔公式可得:cod3=2兀工1()x(|2n=-co=2nn2x2n)心-8=2”(9+1+0+1+9+64+25+0+49)=316兀x*(-n)+x(n)211-已知X0）有傅里叶变换X（eio）,用X

28、（严）表示下列信号的傅里叶变换。(n)=x(l-/?)+x(-l-n)(b)x3(/?)=x2(?)=(n-l)2x(z?)分析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。兀)oX(严),x(-n)oX)-严(宀=DTFTnx(”)。do)解：DTFTx(n)=X(eja)DTFTx(-n)=DTFTx(l-n)=严X(严)DTFTx-n)=eiaX(eja)Q77T(n)=X(严+歼=2X0”)coseDTFTx-n)=Xeja)因而：如T“)丿=ReX(严)X(eja)=何严n=-co宓(歼)dco=f(-朋何严W=-O即DTFTnx(n)=aX)(-丿心=严(严)一丿da)同理

29、:DTFTvx(n)d2X(eJ)dor而x3(?)=n2x(/?)-2nx(n)+x(n)所以DTFTxn)=DTFTix(n)-2DTFTnx(n)+DTFTx(n)今n严)已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统y(?)=y(n-1)+y(ri-2)+x(ri一1)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域;求此系统的单位抽样响应；此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。分析：x(n)oX(二),A(n)o刃(二)，y(n)oY(z)则H（z）=y（z）/X（z）=Zh（n）,要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆

30、以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因呆）。（a）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：所以H(z)=Y（二）=二Ty（二）+二Ty（二）+二（二）（二_6）（二_6）零点为z=0,极点为二=0.5（1+巧）=1.62二=sz=a2=0.5（1-V5）=-0.62因为是因果系统，所以|z|1.62是其收敛区域。零极点图如右图所小。右边是本题的零极点图。（b）因为=匕二（二_尙只二_如6_勺二二1山-。21山一2111-如1-二“n=0n=0所以式中h(n)=1.62,s=-0.62 3 #由丁H（二）的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。（c）若耍

31、使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选H（二）的收敛区域为忆|忖勺，即0.62V忖1.62，贝I二_a、二一中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以H（J=一一心n=-cocow=0则有h(n)=u(-n-1)+a2nu=-0.447x(1.62)u(-n-1)+(0.62)”u(n)从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统,已知它满足y(n-1)-+1)=x(n)并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出H(二)=x(二)x(二)，然后和题12(c)一样分解成部分分式分别求Z反变换。解

32、：对给定的差分方程两边作Z变换，得：二m-导(二)+处)=x(二) # #3 #则：H(z)=丫(二)帀3 # #3 # 3 #极点为斗为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取1/3|二|2零极点图一：19z2零极点图二：21Z零极点图三：2注：如果想耍参看具体题解，请先选择方案，然后单击解答按键即可。按12题结果(此处zl=2,z2=l/2),可知当收敛区域为忖则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为：力)=-G”-6”)(n)-1-22=-(2M-rn)u(n)同样按12题，当收敛区域为H229则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：1/?(?)=二5(_川-1)+z2，

33、xu(?)-2_-12丫1丫-=-Tu(-n-1)+/!(?)(I611二1Jy(n)-2ty(n一l)cos0+r2y(n-2)=a%(川)将上式进行Z变换，得：y(二)-27二-収(二)COS&+厂2二(二)_11-d二7因此二1(1-2/z-1cos0+r2s_2)(l-az)_1_(1_0)(_沧一丹)(_a二-1)(涉)匸(小)7m=0|_心0cooooo7W=0Z=0k=0Q丿（加一Zj&QkU+加+上丿令/?=m+l+lc则Y(z)=rnkeJn2lk)0akznw=01=0k=0所以y(n)=ffrn-ken-2Ik）dakZ=0fc=0解法二：差分方程进行Z变换后得：H(二)

34、=-1一2】二cos&+厂二2（二一和（二一二J屯:中z1=reJd=厂(cosO+jsin0)z2=F=厂（cos。一JSill0）故y（z）=h（二）x（二）J（二-6）（二-6）（二-a）其收敛区域为lslniaxHo因为是因果系统，且当“VO时口町等于零，所以y（H）=o,o时，采用围线积分法，其中围线C包围6三卫三个极点，所以旳)=士丫(二)二1,二=叮=p=4将6=加&,6=沧代入上式，即可得到丿)下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程,求系统函数。当酢心,4=0.5时，求系统单位冲激响应，画出系统零极点图和频率响应曲线。迟)分析：解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程

35、，令其二阶项系统为零,可得一阶差分方程，取Z变换求得H(z)从而求得h(11)0解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序(线性系统服从交换定理)，然后写出差分方程，再取Z变换求得H(z)从而求得h(11)0解法一:由图示可得X0?)=X(7?)+(7?一1)y(n)=boxl(n)+bxl(n-)贝ijy(n)+ky(n-l)=60 x1(n)+b】X(n一1)+肚眉_1)+kb“(n-2)=Z?ox(n)+(a1Z?o+勺+唤)x-1)+-2)=box(n)+(cifiQ+%+kbQ)x(n一1)+ai(aI%+Zrb0)x1(卅一2)+kbg(n-2)由方框图可看出：差分方

36、程应该是一阶的所以aJb。+albl+kabQ+妙=0=上=_如则有an-1）=bQxn）+（a/。+b】afi0）x（n一1）=box（n）+bLx（n一1）即y占）岬。+二*二）所以H（二）=空=+歼X（二）1一占当bo=05,=1,旬=05时：*+肚t1_%T0.5=+1-0.5Z11-05因为此系统是一个因果稳定系统；所以其收敛域为忖0.5=h（n）=0.5-（0.5）u（n）+（0.5）n_1u（n-1）解法二：将图P2-11画成流图结构，并化简如下:X（）S畑X（H）%X）o_9_a.05s-0.5(由于系统是因果稳定的)所以h(n)=-2J(n)+2.5x(0.5)wu()设X（

37、）是一离散时间信号，其z变换为X（=）,对下列信号利用X（=）求它们的z变换：（a）巧何二山何,这里记作-次差分算子,定义为:x（n）=x（n）x（n-1）X（-）,为偶数2（b）花仇）=0，X为奇数（C）兀3（农）=双2巾）分析：xg）式序列的抽取序列，兀）是内插零值序列（不是内插序列），解题的关键是要进行变量变换，以得到与X）的Z变换相似的表达式。=陀）一*）=（1一少（二）解：zAx(n)=Zxn)zxn-1)3 #NX2SHM*(b)了甘厂卜J9mHls2bnHMSAmzgX(Z2)3H8(C)？L0X(2月XQ7)士l+(lrH(2)8la一8mx5t)5+6msl83II8IU28

38、5HAOMs+t(i5t3zsn3卜;(l)+H(ll2)3 # #3 # 3 #第三章离散傅立叶变换1如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。5q5_jXnk解:X(/r)=壬(刃)哄严=壬(卅)06w=0n=Q-jk-j鉴2k-再3k-丿孕讥-丿婪5七=14+12e+10e6+8e6+6e6+10e6计算求得：去(0)=60;J(l)=9-j3V3;去(2)=3+丿馆；去(3)=0;去(4)=3-八疗；左(5)=9+丿3馆。设x(/7)=R4(n)9x(n)=x(n)6.试求壬并作图表zjx(?),X(Ar)o55_込k解：X(k)=x(n)e6w=0w=0计算

39、求得：云(0)=4;X(l)=-jV3；永2)=1；X(3)=0;X(4)=lmW+l,04Ux(7i)=宀,h(n)=R4(n-2),0,具匕令x(n)=x(n)6,/?(72)=/?()4,试求壬(町与矗)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值nh(n-m)123450Y(n)0011110141001111122100111103110011841110016511110010已知兀)如图尸3-1所示,试画岀x(-n)5,x(-n)67?6(n),x(H)32?3(n)x()6，x(3)5尼(必X(H)7/?7(n)等各序列。解:x(n)=ci(cosa)Qn)RN(n)X(k)=工

40、aosQn)許Rn&)n=0NT*=*工如+0曲)厂亍朋臥仇)n=QNT、NT、=厂pg+qPU”叭n=0n=01_严01_C=丹匸严石+h亭石叭 # #3 # # #3 #2(e212,、1, # #3 # # #3 #=a2异妬Ts畔)Slll(r+GT)N20 3 #-J竿BqNe-sin()21一总爭一如.n1、e-nsin(k碍)N20试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式)x(n)=d(coscoQn)RN()x(ri)=anRN(n)x(n)=8(n-n0),0n0Nx(n)=nRN(n)x(n)=n2RN(n)解:(1)x(n)=a(coscoQn)RN(n)g)N_)

41、2加=为d(cos血o)eNRn伙)=0心伙）土严+宀討=_厂(辭+“+异(等计乃=0Z2=0l_e“N1_严畀1_却叫1_4如）Rn3)1=a2.3oNeJ1(e2竽k+“o)/片(竽k+Qo)(等k+o)e2N(e2N-e2N).3謳.G小_.G0e2(e2-e2)等j。)(土(等i。)r-心等宀Nesm（竺字）上（空上+。丿龙1“%k+严）严N2sin(,LZ2.、(J不百k-s。)TT1、-nsin(k-a)Q)N207x(M)=anRN(n)0-jnkX(k)=工仇Nn=0 x(n)=8(n-n0),0noNx=心)睜仇)H=071=0 x(n)=nRN(n)N7*)=工陀心w=0N

42、1WX(k)=nWr)k)n=0N7NTx(k)(i“AD啸-工讷严n=0n=0=(W+2砺上+3Wk+(N-)Wi)k-W+2+(N-2)财一哄+N-1)Rn(灯NT=(_(N_1)+工啪心,1=1t叱-1=_(N_1)+N=N5_N-叫书叭)N-1x(n)=n2RN(n)/.X(k)=工沪吟n=0根据第小题的结论_Nxn)=nRN(n)f则X)=加N7WX(k)=n2W+l)kn0N7NJX()(l-吟)=沪隣-“诃严n0r?0=W+4Wk+9Wk+(N-1尸炉中5-W+4砒+(N-2尸W)k+(N-l)2AT-1=-(7V-l)2+2一1)呼nlNJ=-N(N-2)+2工/於nl=-N(

43、N-2)+2X(k)=-N(N-2)1-時.X(k)=N(N-2)W-N2(1-吟F # #3 # 3 #傅里叶级数x(n)=X(k)eA2nlN)nk6.如图画出了几个周期序列玖这些序列可以表示成，问(1丿哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(Jc丿成为实数。哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(切除XQ)外成虚数7哪些序列列能做到x(Zr)=O,k=2比4,6,.解:(1)要使壬(幻为实数,即要求:Xk)=X(k)根据刀耐的性质可知:讪)在其一个周期内应满足实部偶对称,虚部奇对称(关于=0为轴)，又由图知：壬)为实序列，虚部为零,故兀)应满足偶对称：x(n)=x(-n),即孑)以72=

44、0为对称轴偶对称,故第二个序列满足这个条件。要使壬(k)为虚数即要求:Xk)=-X(k)根据3711勺性质可知:壬)在其-个周期内应满足:实部奇对称，虚部偶对称(关于心0为轴)。又已知壬)为实序列故X(H)=即在一个周期lAl,x(rz)在一圆周上以刃=0为对称轴奇对称故这三个序列都不满足这个条件。1一严JA1-e41-(-1广由于是8点周期序列对于第一个序列：7算处Xv(k)=e7-0当上=2,4,6时,Xv(k)=0对于第二个序列:jnk1e4尤伙)=工异4=可加0l_e4当佥=2,土4,6吋,恳伙)工0对于第三个序列：x3(n)=xL(n)-x(n+4)根据序列移位性质可知：X.(k)=

45、X,=(1_严)1-31一刖当上=2,4,6时,X3(k)=0第一，第三个序列满足X(k)=0,k=2，土4, 3 #7在下图中画出了两个有限长序列，试画出它们的八点圆周卷积。5w=O8如图表示一个5点序列g方试画出yn)=霞*双力人试画出y2W=心)x(n),(3)试画出y3(n)=x(n)心)。9.设有两序列0SnS5其他n0n14其他n各作15点的DFT，然后将两个3T相乘，再求乘积的QFT,设所得结果为/),问/(的哪些点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。解:序列x(h)的点数为N=6,y(M)的点数为N2=15故x(72)*y(ri)的点数应为：“=+“2-1=20又f(“)为V

46、(zz)与y(ri)的15点的圆周卷积，即Z=15所以，混叠点数为N-2=20-15=5。用线性卷积结果以15为周期而延拓形成圆周卷积序列/()时，一个周期内在=0到=4(=N_Z_1)这5点处发生混叠，即/()中只有=5到=14的点对应于x(h)*y(ji)应该得到的点o10.己知两个有限长序列为叫0,y()=|0u3li60n4n6试用作图表示x(n)9y(n)以及f(n)=x(n)(3)y(n)。11.已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFTx(n)现将长度变成rN点的有限长序列y)0,011N-1N11),相当于在X&)的每两个值之间插入(r-1)个英他的数值(不一定为零)，而当

47、b为的整数Z倍时,Y(幻与X(上)相等。12已知x(/z)是长为N点的有限长序列,X(k)=功迥双砒现将双砒的每两点Z间补进尸-1个零值点，得到一个长为的点的有限长度序列y(n),y(n)=x(n/r),0iN0,试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。N1解：X(k)=DFTx(/i=2n0rAT-1Y(k)=DFTy(n)=y(n)Wn-0N-lN-L=2如0哦=2x(Z)硝，odN-1z0r0.-.Y(k)=X(k)N(k):.Y(k)是将X(Ar)(周期为N)延拓r次形成的，即丫3)周期为旳。频谱分析的模拟信号以8扯被抽样,计算了512个抽样的QF7；试确定频谱抽样之间的频率间隔,并

48、证明你的回答。证明:Go27V厶一鱼其中Gs是以角频率为变量的频谱的周期,O。是频谱抽样之间的频谱间隔。=N对于本题：Z=8KH二N=5128000512=15.625圧设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幕，假定没有采用任何殊数据处理措施，要求频率分辨力10圧,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。解:(1)V7=y而FlOHzg存.最小纪录长度为0.1$/丄=x103=10AHzT0.1久2厶:,fhfs=5KHz允许处理的信号的最高频率为5拆=xl03=1000,又因N必须为2的整数幕T0.1

49、.一个纪录中的最少点数为:N=2=1024 # 3 #15.序列班町的共辘对称和共辘反对称分量为：11%5)=亍心)+兀(-)兀。何=尹(町-尤(-)长度为N的有限长序列x(n)(0nN-1)的圆周共轨对称和圆周共轨反对称分量定义如卜备()=*x(S)N+”(-并加心(刃)扣(5)N-(-n)N%S)证明：%()=xe(n)+xe(n-N)RN(n)x竽S)=.5(刃)+尢-N)7?n(h)把工)看作长度为N的序列，一般来说，不能从兀卩)恢复应)，也不能从乞)恢复()，试证明若把兀)看作长度为N的序列(N为偶数)且沦N/2时“0,则可从Xep()恢复兀)，从Xop(AZ)恢复X。()o解1(a

50、)方法一：证明：由于x(n)只在0nN-l的范围内有值，则有：1勺何=l()N+*(-劝胡心)=*(n)+*/(N-n)rz=0lbj*,xN-n)=x0)3 #0H(sNy(NI3x菽過(sNygIN)、+(NIvslrHOX(NIWXm:(5ao)x+(5XHw)Ny(sz(=1)x+(3x：=(3h*T(3Nm(Nsax+(32LH(3訪x(I“(D)冒目H坦R(3壹(NISSH+(ssaxH(V)dx.(uinlx+h(UIz)、+(之(zlu)axEIINvlm3 #()(兴IW(O)K(sao)K+o冷)Ku*(sNyN(ol)xw(寸)s;s壹之(s)x-N(sil)+N(s)二

51、-IHN(s)h$(Nse(oe(se(o)x+(stIT7)K+(s二H#一(M)(7vl+(si“es十esd(Nse(o)*;WIN)lbH(J 3 #十(5)得：S(“)=#X()N+T(-)n心(“)=+心)+T(N_72)+.X*(0)50)-.T(0)5(-N)(6)与(6)比较可知：乜何=兀(刃)+%-NMn()同理可证：xp(砒=Xo(H)+X。(AZ-N)RN(n)(b)利用(a)的结果：xep(ri)=xe(n)+xe(n-T/)Rn(h)xe(li-N)=丄.%(?/-AT)+.x*(-+N)按照题意，当0nN/2时，x(n)H0,此时-Nn-N-N/2N/2-n+NN

52、所以当0nN/2时，xn-N)=0,x*(_n+N)=0,故x/n-27)=0所以:当OSvN/2时,乂仃()=的当-N/2vnM-l时,按共辄对称有:X；()=1x(AZ)+X*(-7Z)=%()且由(a)的结论知：x；p(f)=k；(-)+x；(-N)fc/(F)当一N!2n-1时，xe(hN)R(j-n)=0所以坊(一“)=(-)人(一)=%()RnE综上(1)、(2)可得AN0G2V2N(2cN0Mn2Nt2Xep()，xe(n)=xp(-h),同理可证Xop(“)，X。()=爲(“)，16.令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换证明：如果x(n)满足关系式x(n)=-x(

53、N-l-n),则X(0)=0;证明：当N为偶数时，如果x(m)=x(N-l-n),则X()=0o2证明：N_L如果呼,0/cX(k);y(/z)uY(k)取序列Z(k)=X(k)+jY(k)对Z伙)作N点/刃7可得序列二).又根据DFT性质：1DFTX(k)+jY)=IDFT(X)+jIDFTY(/c)=x()+jy(h.)由原题可知：x(?/.),y(h)都是实序列，再根据二5)=x()+jy(h)可得：x(72)=Rez()y(/.)=Imz()综上所述，构造序列Z(k)=X(k)+JY(/c)可用一次N点完成计算x(h),y(72)值的过程。3.N=16时，画出基-2按时间抽取法及按频率

54、抽取法的FFT流图(时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序,频率抽取采用输入自然顺序，输岀倒位序)。3 #GTXXirlxex【XSxexhlx(HlX【9XOlxdx乙lx”X8X0 x，辿詁ggr-aox0 x9x10 x(llx12x13x14xF15)科。X0，-X8笊沪N万严x牛_1。匸公。lf0X12fX严上、$旺X10XX140%科。心】ooX9X5X13X3XllX7X15 # #3 # # #3 #N=16时,导出基-4房7公式并画出流图,并就运算量与基-2的打？相比较（不计乘j及乘土丿的运算量）o解：依题意：N=4xA=D对于nVN,有n=“+比;!=0,1,2,30=0,

55、1,2,3同样令N=对丁频率变歇(kN)有k=kJ、+kQ、k=0,1,23A=0,1,23 # 3 #/.x(n)=x(nLr2+n0)=x(4n1+n0)=X(，o)X(k)=XQc+kQ)=X(4灯+Ar。)=X(kiykQ):.X(k)=x)Wn=O1x(=再仅0购）II加）心）一?伸）理（4）。二出心卜孔2）二傅）汀（2）加2）.驴）。誇为乂一*0加1）胡$）L.。从Ao令纽妙帅）戦第尸二锻圖_冒兮占今ir2（i3）=ZQ5）5试用N为组合数时的M7算法求N=12的结果（釆用基-3x4）,并画出流图。解：依题意：N=3x4=w“o=0丄2,3对于0SvN,有同样：令N=r2i对于频率

56、变量klfikN）有k=0丄2,3力。=0丄2/.x(n)=x(nYr2+nQ)=x(4nl+0)=x(，4)X(k)=X(ki+kQ)=X(3i+kQ)=X%kJ11:.Xa)=x(n)Wn=0325=0吗=0 #3 #第二级 # #3 # # 3 #6.同上题导岀N=30=3x2x5的结果，并画出流图解：依题意：N=3x2x5=r/2r3对于nN,有n=n2r2r3+“心+z?0=10?2+5?1+?0;n2=0丄2=0,1n0=0,1,2,3,4同样:令N=q/，对于频率变量Ar（0Zr1=0 3 #=工工工x(/o)必n2=Oij=Ono=0214=工工工心/丿。网严昭严附肿n2=Oi

57、j=Ono=0X附肿附評時4r1rrza_=SKlk丿-Wo=流图如下图所示:Mj=OAw-=0X因S”禺x(o)fxfx(2)Xfx(4)_x(5)x(6)x(7)fx(8)-x(9)x(10)x)fx(12)-x(13).x(14)十x(15)-x(16)x(17)_x(18)x(20)-cix(21)x(22)x(23)_oMQXMLx(20fx(25)fx(26fX)x(28)x)旋转因子1：2：啾3：4：Fi5：晞6：咛7：畔35:枫玄UNWWWi側.n-X-X-x-x。一X-X-x-Xr0耳三WWCTrratr4上/SJX2J*)z-z-x)284)0517)395DO628J40

58、265)173299(6aa(2G(9a(2Qa(7a(lQ(4aaQ(2Q8a(2(2(5aa(2(2IXXKXXXXIIXXVAXXXXKXXXXXXXXXXKX7研究一个长度为M点的有限长序列x(n),(、xgx(n)=0,我们希望计算求二变换011M #3 #解：（d）若NaM，依题意X&n)二丫xn)enn=0设(l-l)NMINX(/等)3=班)等+H=02N-1_宀kx(n)en+.+“=NM-1Yx()eH=)N # 3 #N-I_2.Ez、Jn匕x(n)en+n=0J-1-jn+N)k工x(+N)e+M=0+M-1_.2fxn+(Z-1)TVeM=0且令：J;0()=X(n)

59、,(/?)=X(7?+N),z-2()=Xn+(I-2)N(0?2V-1)丁(斤)=x?+(/-1)77(0nM-(/-1)77-1)X(ek)=工迂几3)en=0”i=O由此可见，对于N5M,可先计算ify机(巾)，然后对它求一次n点m=0DFT,即可计算X(二)在单位圆上的 # #3 #,可将X(?)补零0nM到N点，即,Jx(n)x0(n)=0则：X(ek)MnN-1N-1,2i.SJ=7n*x0(n)en,M=00kN- # #3 # 3 #&己知一个8点序列x(n)=J1,2-；.117试用CZT法求其前面0,其他n10点的复频谱X(zk)o己知二平面路径为4)=0.8,九=龙冷，W

60、0=1.2,如=2龙/20;画出二*的路径及CZT实现过程示意图。-解：依题意：A=AQej6Q=0.8e;W=WQe=1.2e茹TOC o 1-5 h z贝Ijzk=AWk=0.8x(1.2)Ke103,0k9(1)77一(2L上+兰必/云)=工.心)二卩=工(0.8)5(1.2严血y),0/cN+M-1计算时可先求出G(k)=FFTg(H),Z点p(k)=FFTp(n),L点、R(k)=G(k)p(k)r(n)=IFFT(),L点、则H(z)=ak2(2r(k)kN-10.当实现按时间抽取快速傅立叶变换算法时，基本的蝶形计算K)=x”(p)+叭兀x”+M)=x”(p)-叭x”利用定点算术运