大学物理角动量转动惯量

1、第五章刚体(gngt)的定轴转动(Rotation of Rigid Bodies Around A Fixed Axis)1共七十一页基本(jbn)要求理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守恒及其应用；理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系；理解力矩和转动惯量概念，计算转动惯量，掌握刚体绕定轴转动的转动定律；理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题(wnt)中正确地应用机械能守恒定律。能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。2共七十一页刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。（或：任意(rny)两质点间

2、距离保持不变的特殊质点系）。刚体的运动形式：平动(pngdng)(translation)、转动(rotation)。 刚体平动 质点运动平动：刚体内任意两点间连线的空间方向总保持不变特点：各点位移、速度、加速度均相同。3共七十一页转动：刚体(gngt)中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心转动）。刚体(gngt)的平面运动： 4共七十一页 A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是(b shi)平动也不是(b shi)定轴转动，而是平面运动。例：曲柄(qbng)连杆机构中连杆AB的运动。5共七十一页刚体的一般运动：质心的平动绕质心

3、的转动+质心 ：刚体的质量分布(fnb)的中心6共七十一页角动量概念(ginin)的建立，和转动有密切的关系。 在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星(rnzowixng)绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能直接用，这时若采用角动量概念讨论问题就很方便。转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如：力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。力矩的时间累积效应冲量矩、动量矩(角动量)、角动量定理。角动量 角动量定理 (5.1,5.2)7共七十一页预备知识(zh shi)：二矢量的矢积（叉

4、乘）大小(dxio)：方向：与 和 都垂直，且成由 转到 的右手螺旋关系性质：(以 和 为边的平行四边形面积)8共七十一页大小(dxio)：方向：右手(yushu)螺旋定则判定力臂:(力与力臂的乘积)定义： 为作用在质点上的力 对参考点O的力矩。 是作用点P相对于固定点O的位矢。单位：Nm （注意：不能写作功的单位J ） 一、力矩 1、对参考点的力矩9共七十一页在直角坐标系中，力矩(l j)可表示为：注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩(l j)不同，因此说“力矩”时必须指明是相对于哪一点（或哪一个转轴) 而言的。其中：10共七十一页质点系所受的总力矩(l j)（对同一参考点）：特别，

5、对刚体例：如图，长为L 的细棒的质量密度分布为 ,其中l 为距左端的长度，求其所受重力对O点的力矩。解：大小(dxio)：方向：垂直纸面向里11共七十一页P*O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转，力 作用在刚体上点 P (P点在转动平面内), 为力的作用点 P 到转轴的径矢。 对转轴 Z 的力矩 2、对转轴(zhunzhu)的力矩12共七十一页O 1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量： 2）合力矩等于(dngy)各分力矩的矢量和。 其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩：讨论(toln)：注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。13共七十一页3） 刚体内部

6、，作用力和反作用力对同一点（或转轴(zhunzhu)）的力矩互相抵消。O计算对定轴的力矩(l j)时，可用正负号来反映力矩(l j)方向。力矩的计算：计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。14共七十一页例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动(zhun dng)，求：摩擦力的力矩 M阻。解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻(shu z)力矩小，远离轴的质元受阻(shu z)力矩大，细杆的质量密度：质元质量：质元受阻力矩：细杆受的阻力矩：15共七十一页R

7、练习：如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，求：圆盘绕过圆心且和盘面(pn min)垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。O解：取一小(y xio)环为面元，rdrdf若圆盘以0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止?问题：(解答需要转动情况下的动能定理)16共七十一页1、质点(zhdin)的角动量旧称动量矩 (Angular Momentum) 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量定义为大小： 方向(fngxing)：服从右手螺旋定则。Om单位： kg m2/s 二、质点的角动量定理17共七十一页2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须

8、(bx)指明是对哪一参照点而言；例 作圆周运动的质点(zhdin)的角动量。1）角动量是描述转动状态的物理量；说明： 质点以角速度 作半径为 的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：质点作匀速率圆周运动时，角动量是恒量。18共七十一页3) 在直角坐标(zh jio zu bio)系中，角动量的表达式为：例 当质点(zhdin)在 xoy 面内作平面运动时，角动量为：19共七十一页例如，电子(dinz)绕核运动，具有轨道角动量，电子(dinz)还有内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。4) 角动量的概念，不但能描述(mio sh)经典力学中的宏观运动，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要

9、物理量。角动量是原子、分子和原子核系统的基本性质之一，并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量起着非常重要的作用。当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的角动量（动量矩），也可称为质点对过 O 点垂直于运动平面的轴的角动量（动量矩）。20共七十一页md1d2 d3ABC解：例1: 一质点m，速度为，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 ，试分别求此时刻质点对三个参考点的角动量。大小(dxio)：方向(fngxing)：都垂直纸面向里21共七十一页例2：有一个质量为 m = 1 kg

10、 的物体, 在力 的作用下运动(yndng)。 当 t = 0 时， 求: t = 1s时对原点 此1s内，力所做的功？对物体冲量？22共七十一页质点对参考点O 的角动量随时间的变化率，等于作用(zuyng)于质点的合力对该点 O 的力矩 。2、质点(zhdin)的角动量定理质点角动量定理的微分形式：23共七十一页冲量矩质点的角动量定理：对同一(tngy)参考点 O ，质点所受到的冲量矩等于质点角动量的增量。注意(zh y)：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一参考点而言的。说明:(1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累的结果。24共七十一页质点所受对

11、参考点 O 的合力矩总为零时(ln sh)，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量。 3、质点(zhdin)的角动量守恒定律：说明：1）质点的角动量守恒的条件是力矩总和为零。思考：质点作匀速直线运动和匀速率圆周运动注意：合力为零，合力矩未必为零！合力不为零时，合力矩可能为零，有两种情况：一、力的作用点就在参考点，此时位置矢量 = 0；二、沿力的方向的延长线通过参考点，此时：例：匀速率圆周运动；地球绕日转动25共七十一页例如(lr)，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒。 如果质点在运动中受到的力始

12、终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。所以，在有心力作用(zuyng)下质点对力心的角动量都是守恒的。2）有心力问题26共七十一页摆球受力如图。逆时针顺时针重力矩(l j)张力矩(l j)例：质量为的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时，对参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是否守恒？27共七十一页28共七十一页例5 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上(min shn)，然后从 A 点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求

13、：小球滑到任意点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。解：小球受重力和支持力作用. 对O点, 支持力的力矩(l j)为零，重力矩(l j)垂直纸面向里。由质点的角动量定理：29共七十一页考虑到有由题设条件(tiojin), 对上式积分, 有30共七十一页例6 ：用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为0 。现通过圆心处的小孔缓慢(hunmn)地往下拉绳使半径逐渐减小。求：当半径缩为 r 时的角速度。解：mr0ro以小孔 O 为原点，绳对小球(xio qi)的拉力为有心力，对O 点其力矩为零，则小球对O 点的角动量守恒。初态： 末态： 角动量守恒： 所以： 或

14、： 31共七十一页应用角动量守恒定律可以证明开普勒第二(d r)定律:16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量精确的有关(yugun)行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。事实上，牛顿定律及万有引力定律提出时都以开普勒定律为验证实例 行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积.32共七十一页 行星在太阳的引力作用下沿椭圆(tuyun)轨道运动，由于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为

15、零。 角动量的方向不变，表明(biomng)位矢和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，它的轨道是二维的。 所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量保持不变。33共七十一页在dt时间(shjin)间隔内，扫过的面积(min j)为而行星对太阳的角动量的大小有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。Kepler第二定律的证明：34共七十一页 在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。在此力矩(l j)的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。角动量守恒(shu hn)是自然界的普遍规律。角动量守恒、动量守恒、能量守恒定律并称为三

16、大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性时空对称性相联系的。 能量守恒和动量守恒分别是时间平移对称性和空间平移对称性的结果，而角动量守恒是空间旋转对称性的结果。(参6.4, 自学)35共七十一页例7: 一颗地球(dqi)卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，求：在远地点处的卫星速率。解：卫星对地球(dqi)的角动量守恒近地点远地点则且思考：行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？36共七十一页质点系的角动量定理(dngl)质点系的角动量质点系的角动量各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点

17、37共七十一页质点系的角动量定理推导 内内外外某给定参考点对质点系:38共七十一页角动量定理(dngl)的微分形式角动量定理(dngl)的积分形式质点系的角动量定理 作用于质点系的外力对参考点 O 的合力矩 ，等于质点系对该点的角动量随时间的变化率. 对同一参考点 O ，质点系所受的冲量矩等于质点系角动量的增量.39共七十一页 若质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢量(shling)和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律由：40共七十一页（1）（2）（3）（4）两人同时(tngsh)到达；用力(yng l)上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不

18、对。两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略41共七十一页同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱, 两人等速上升。若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。42共七十一页 例8 一质量 的登月飞船, 在离月球表面高度 处绕月球作圆周运动。现飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点 B，且OA 与 OB 垂直。飞船所喷气体相对飞船的速率为 。已知月球半径 ; 在飞船

19、登月过程中，月球的重力加速度视为常量 。试求：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?BhORA43共七十一页 解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律BhORA已知求 所需消耗燃料的质量 .44共七十一页得得 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里，飞船的质量减少了m而为 ，并获得速度的增量 ，使飞船的速度变为 ，其值为：质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用，角动量守恒BhORA45共七十一页飞船(fi chun)在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒即于是而BhORA46共七十一页定轴转动的角动量定理(dngl)和角动量守恒定律

20、(5.3, 5.4)1、刚体(gngt)定轴转动的角动量O(所有质元的角动量之和)对于刚体的定轴转动，我们应当用角动量来描述刚体运动状态，而不是用动量。引入转动惯量(后详述)有一般:47共七十一页2、刚体(gngt)定轴转动的角动量定理O质点系：定轴转动：故对刚体:定轴转动的角动量定理：作用在刚体上的合外力矩的冲量矩等于(dngy)作用时间内角动量的增量。对非刚体：48共七十一页 内力矩(l j)不改变系统的角动量。 守恒条件：若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变。定轴转动的角动量定理(dngl)，则若注 在冲击等问题中， 当刚体受到的合外力矩恒为0 时，其角动量守恒。守恒有两种情况：3

21、、刚体定轴转动的角动量守恒定律49共七十一页讨论守恒(shu hn)条件：不仅要分析力（是外力还是(hi shi)内力），而且重要的是要分析外力力矩的和。当合外力不为0时，合外力矩可以为0 (看对何轴)当合外力为0时，合外力矩不一定为0；50共七十一页解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩(l j)为0，系统角动量守恒。共同(gngtng)角速度例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 。51共七十一页王注: 对点和对轴转动情形都可用上式定义(dngy)，但其中的 r 含义不同(教材中只涉及对定轴转动情形)：对参考点转动：r 为各质点(

22、元) 到参考点的距离；对参考轴转动：r 为各质点(元) 到转轴的垂直距离。物理意义：是刚体(gngt)转动的惯性的量度。刚体的转动惯量的大小：1）与刚体的总质量、形状、大小有关。2）与质量对轴的分布有关。3）与轴的位置有关。(所以必须指明对何轴/点的J )对确定的刚体、给定的转轴(或定点)，J是一常数定义:转动惯量问题质点系：52共七十一页质量离散分布质点系的转动惯量：转动(zhun dng)惯性的计算: 质量连续分布的刚体的转动惯量:：质量元线分布体分布面分布53共七十一页质量线分布的刚体：质量线密度质量面分布的刚体：质量面密度质量体分布的刚体：质量体密度只有对于几何形状规则、质量连续且均匀

23、分布的刚体(gngt)才能用积分直接计算出刚体(gngt)的转动惯量。对于形状复杂的刚体(gngt)通常通过实验测得其转动惯量。 质量连续分布的刚体:：质量元54共七十一页转轴 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量(zhling)可以忽略，则：可视为分立(fn l)质点结构的刚体:转轴55共七十一页例1：求半径为 R 质量为 M 的圆环绕(hunro)垂直于圆环平面的质心轴转动的转动惯量J。解：分割质量(zhling)元 dm，各质量元到轴的距离相等，绕圆环质心轴的转动惯量为:相当于质量为M的质点对轴的转动惯量，与质量在环上的分布无关。56共七十一页 例 2： 一质量为 、半径为 的均匀圆

24、盘，求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。圆环质量所以:圆环对轴的转动惯量转动惯量与盘上质量对轴的分布(fnb)有关dm思考: 圆柱如何？解题(ji t)时常用到57共七十一页OO 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 , 例 3 : 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求：通过棒中心（和端点）并与棒垂直的轴的转动惯量。OO如转轴(zhunzhu)过端点垂直于棒转动惯量与轴的位置(wi zhi)有关。58共七十一页匀质矩形(jxng)薄板转轴(zhunzhu)通过中心垂直板面I = (a + b ) 22m12匀

25、质细圆环转轴通过中心垂直环面I = m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I =2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I = (R1 - R2 ) 22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI = R + 22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I =2m R3R2=0时, 即为圆柱59共七十一页平行(pngxng)轴定理:P转动惯量的大小(dxio)取决于刚体的质量、形状、大小、质量分布及转轴的位置。 质量为 的刚体，如果对过质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：CO注意例:圆盘对P 轴的转动惯量:O(证明需用质心性质，此略)60共七十一页例：如图所示，求：刚体(gn

26、gt)对经过棒端O且与棒垂直的轴的转动惯量？(棒长为L、圆盘半径为R）例：以长为 l、质量为 m 的匀质细杆绕其一端(ydun)垂直于杆的轴转动为例，利用平行轴定理求转动惯量 。解：绕细杆质心的转动惯量为：绕杆的一端转动惯量为O记住！61共七十一页转动惯量的计算方法：）直接(zhji)由定义求：（注意 r 为到轴的垂直距离）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，再相加。（注意(zh y)对同一轴）平行轴定理：62共七十一页 例5 质量很小长度为l 的均匀(jnyn)细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m。求：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性(tnxng)碰撞，碰撞前后系统角动量守恒。63共七十一页由角动量定理(dngl)即考虑到64共七十一页例：质量为m 半径(bnjng)为R 的匀质薄球壳，求：其绕过球心的轴（直径）的转动惯量。解：在球面(qimin)取一圆环带，半径65共七十一页例：质量为m 半径(bnjng)为R 的匀质球