数值分析试题及答案优选

1、一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 3.142和3.141分别作为冗的近似数具有()和()位有效数字.A. 4 和 3B. 3 和 2C. 3 和 4D. 4 和 42.已知求积公式j 2 f (x bx X1则A =(A.B.C.D.通过点卬，o)(x1,u)的拉格朗日插值基函数l0(x),l1(x)满足()A.l0(x0)=0,l1(x1 0B.l0(x0)=0,l1(x11C10(x0) = 1l(x1)= 1D10(x0) = 1l(x1)= 1.设求方程f (x)= 0的根的牛顿法收敛，则它具有()敛速。A.超线性 B.平方C.线性 D.三次x + 2 x + x = 0 2

2、x + 2x + 3x = 31 2 3 . x 3 x = 2. .5.用列主元消元法解线性方程组1x1 3x22作第一次消元后得到的第3个方程().B-2 x2 +1.5 x3 = 3.5D x - 0.5x 1.5单项选择题答案1.A 2.D 3.D 4.C 5.B得 分评卷 人二、填空题(每小题3分,共15分)1,设 X 二（2,3，4），则 IIX11 =2. 一阶均差 f（x0,x1）=3.已知几=3时，科茨系数一、1 一、 一、 3C（3）= , C（3）= C（3）= Cq） _08128，那么 C33 =4.因为方程f（x）= x一4 + 2x = 0在区间心上满足.内有根。

3、，所以f（x）=0在区间5.取步长h = 0，用欧拉法解初值问题，y ,y =-r+yx 2y(1)=1“y的计算公式填空题答案1.3.4.f (1) f(2) 0(1.1 +得 分评卷 人k+15.y 0 二1I0.1(1 + 0.1 k )2 J, k = 0,1,2y 二,1.已知函数1 + x2的一组数据:西012筋10.50.2段线性插值函数，并计算f（1，5）的近似值.三、计算题（每题15分，共60分）求分计算题1.答案% e 11,2 ,L (%) = %-2 x 0.5 + %-1 x 0.2 = -0.3 % + 0.8所以分段线性插值函数为L (% )=1 - 0.5% %

4、 e 0,1 0.8 - 0.3 % % e1,2 L (1.5 )= 0.8 - 0.3 x 1,5 = 0.3510% - % - 2% = 7.2一% +10% - 2% = 8.3 % % + 5 % = 4 22.已知线性方程组1%1 %2+5%3写出雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式;、，X （8 =（0 0 0）对于初始值X0，0，0J，应用雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式分别计算X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1,解原方程组同解变形为%. = 0.1 % + 0.2 % + 0.72 % = 0.1%. -0.2% + 0.83% = 0.2 % + 0.2 %

5、 + 0.84312雅可比迭代公式为%(m+1)= 0.1 %2 m ) + 0.2 %(m ) + 0.72 %(m+1) = 0.1 %(m) - 0.2%(m) + 0.831 3%(m+1) = 0.2%(m) + 0.2%(m) + 0,84(m = 0 1 )高斯一塞德尔迭代法公式%(m+1) = 0.1%(m) + 0.2 %(m) + 0.72 %(m+1) = 0.1 %(m+1) - 0.2%(m) + 0.83 2 1 3%(m+1) = 0.2%(m+1) + 0.2%(m+1) + 0.84(m = 0 1 )用雅可比迭代公式得*(b = Q72。,。.83。O。84

6、。00)X(1) =(0.720 00,0.902 00,1.164 40)用高斯一塞德尔迭代公式得2 1.用牛顿法求方程%3 - 3% -1 = 0在,2之间的近似根(1)请指出为什么初值应取2?(2)请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3 解 f(%)= %3 - 3% -1f (1)=-3 0，f,(% )= 3 % 2 - 3f(%)=12%，f( x 1.879453 +1,%3 3xG.879452 -1).)= 24 0，故取% = 2 作初始值迭代公式为3 7-1，n-1,n = 1,2,./ n 1 = %f(% )n-1n -1%3. 一 3 % . -

7、1 或n-1n-1 (或3 % 2 3n-1%1 =羔B =1-888892 x 1.88 8 893 +1%2- 3 xG.888892 -1).%2 - %J = 0.00944 0,0001%3 - %21 = 0.00006 =f （1, J），、.解初始值问题1。） 0近似解的梯形公式是 乙+1工（11、A =、I-5 1人则A的谱半径口=。7、设 f(1)=312+5, ykh,k二02，则 fH曾1-：和 f x , 1 , 1 , 1 = n n+1 n+2 n+3o8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯- 塞德尔迭代都 o9、解常微分方程

8、初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为y = 10 +10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成填空题答案1、2.31502、3、6和44、1.55、yk + 2 -)+f(、+1，y+1)6、7、八，xn+1，xn+21=3f L xn+1，+2, +3 = 0 8、收敛 9、)10、(x 1)(x -1)二、计算题(共75分，每题15分)1.1, x = 1, x 4124(1)9 I4上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足Hf(D 六o，1，2,H(x1) = f(x1)h(x)以升幕形式给出。(2)写出余项R(x)= f(x)- H(x)的表达式计算题

9、1.答案1、(1)tt( )142632331H (x )=x3 +x2 +x22545045025 R(x)4/2(x-4)(x-1)2(x-(x)E*)2.已知,二以刊的轲（制满足/“）一3I试问如何利用以制构造一个收敛的简单迭代函数卡，使x二任（限）N=0, 1收敛？计算题2.答案 TOC o 1-5 h z 1 / /、 C、/、2、由 二甲（%），可得 1 3% =甲（%） 3%, % 2 % - % 一甲 X一1一1、 一 1因 V(%)二一一州,(%)-3),故 V,(%) =-p(%)-3 -0的数值解公式:hJ = J + -(y + 4y + y ) n +1n 1 3 n

10、 +1n n 1（提示：利用Simpson求积公式。）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程J, =于（%）在区间K-1,%+1上积分，、，、%J(% ) = J(% ) + f f (%,J(%)d%n+n+1n1得%n-1，记步长为h,乎f （x,y（ x） dx对积分x,i用Simpson求积公式得x h(y,+ 4y+ y )3n+1nn-1f f (x, y(x)dx 氏 2h f (x ) + 4 f (x ) + f (x6n-1nn+1xn-1y = y + h (y，+ 4y，+ y，)所以得数值解公式：n+1 n-1 3 n+1n n-1x + 2 x +

11、3 x = 142 x + 5 x + 2 x = 181235.利用矩阵的LU分解法解方程 组计算题5.答案3 x + x + 5 x = 20123Ux = y 得 x = (1,2,3)t .令 Ly = b 得 y = (14,-10, -72)t ,三、证明题（5分）支工”（系靖，证明解孔工）二的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、证明：因 f (x) = (x3 - a)2,故 f,(x) = 6x2(x3 - a)，由Ne皿on迭达公式:fxX,n = 0,1,.得 f(x )n(x3 - a)2n6x2(x3 - a)+6 x 2n,n - 0,1,.因迭达函数 9

12、 (x) = 5 x + ,而 P( x) = 5 - ax-3, 66 x 26 3又 x = 3a,贝 U 9,(3. a) = - a (3 a )-3 =- = - 0,6 36 3 2故此迭达公式是线性收敛的。一、填空题（20分）.设X* = 2.40315是真值X = 2.40194的近似值，贝产*有 位有 效数字。.对f(x) = x3 + x +1,差商 f0,1,2,3 =()。.设 X =(2,-3,7”，贝肚 X %=。才 C (n)=.牛顿柯特斯求积公式的系数和%=0 k 。填空题答案3(2) 1(3) 7(4) 1二、计算题. (15分)用二次拉格朗日插值多项式L2(

13、 X)计算sin0.34的值。插值节点和相应的函数值是(0，0)，(0.30，0.2955)，(0.40，0.3894)。计算题1.答案 TOC o 1-5 h z L(X)二(X X1)(X X2)f +(X X0)(X X2)f +(X- X0)(X- X1)f2(X- X )(X- X ) 0(X- X )(X- X) 1(X- X)(X- X) 2010210122021=0.333336. (15分)用二分法求方程f (X ) = X 3 - X - 1 = 0在1.0,1.5区间内的一个根，误差限= 10-2。计算题2.答案N = 6X = 1.25 X = 1.375 X = 1

14、.3125x4 = 1.34375 X5 =1.328125 x6 = 1.32031254 X1 + 2 x 2 + x 3 = 11 x + 4 x + 2 x = 18. (15分)用高斯-塞德尔方法解方程组 卜X1 + X2 + 5X3 = 22，取X (0) = (0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案3)迭代公式X (k+1)1X (k+1)3 TOC o 1-5 h z =i(11 - 2X(k) - X(k)423=1(18-x(k+i) -2x(k)413=1(22 - 2X(k+1) - X(k+1)512k出燎1理000012.753.812

15、52.537520.209383.17893.680530.240432.59973.18394). (15分)求系数44和仆使求积公式11了( X) d。”(-1)+4-3)+y?对于次数“2的一切多项式都精确成立计算题4.答案 TOC o 1-5 h z ,1,1 ,1 ,八，1 ,1 ,2A + A + A = 2 A A + A = 0 A + A + A =一12313233192933A = A = 0A =1 223 23 x 1 + 2 x 2 +10 x 3 = 1510 X1 - 4 x 2 - x 3 = 5. (10 分)对方程组 I 2X1+10X2- 4X3 = 8

16、试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10 x 4 x x = 5 2 x +10 x 4 x = 83 x + 2 x +10 x = 15,123故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x (k+1)=(i 10 x (k+1) = (-2 x (k+1)21014 x( k)+ x( k)+ 5)+ 4 x(k) + 8)3x( k+1) = jo (-3 x( k+1) 2 x( k+1)+15)取x=(0,0,0)T，经7步迭代可得:x* 工 x(7) = (0.999 991 459, 0.999 950 326

17、,1.000 010)t三、简答题1)(5分)在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为 什么?2) (5分)先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。一、填空题(20分).若“=2.42315是2.42247的近似值，则a有()位有效数字. l o(x)，l i(x)，/n(x)是以0，1，, n为插值节点的Lagrange插值基函数，则X il (x)=i=0 i ().设f (x)可微，则求方程x = f(x)的牛顿迭代格式是().迭代公式X(k+1) = BX (k) +于收敛的充要条件是。.解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0)的迭代格式x(k+1)= B

18、x(k) + fJ 9 x - x = 8中的B称为().给定方程组1 xi- 5 x 2 =-4，解此方程组的雅可比迭代)。格式为(填空题答案1. 3X = X3, n+1n1 - f(x ) n4. P (B) 1 TOC o 1-5 h z Xk+1 =_(8 + X(k) 192得 分评卷 人5.迭代矩阵，Xk+1 = -(4 + X (k) 251二、判断题(共10分)若f(a)f(b)0，则f(X) = 0在(a,b) 内一定有根。()区间a,b 上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )若方阵A的谱半径P (八) 1，则解方程组Ar=b的Jacobi迭代法收敛。 (

19、)若f(X)与g (X)都是n次多项式，且在n +1个互异点XJn=0上f(XJ = g(XJ，则 f (x) 三 g(x)。()1 + X +X25.()用 2 近似表示eX产生舍入误差。判断题答案1.x 2.x 3.x 4.J5.x得 分评卷 人三、计算题(70分)(10 分)已知/(0) = 1, f(3) = 2.4, f(4) = 5.2,求过这三点的二次插值基函数11a)=(), f 0， (15分)确定求积公式1f(x) Af gBf (x1) + Cf(0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案,4=(),插值多项式 TOC o 1-5 h z P

20、2(x)=(),用三点式求得f(4)=().计算题1.答案由插值公式可求得它们分别为：, 八 7 ,77203x (x 4),1 +x +x (x 3),和31215126(15 分)已知一元方程 x3 - 3x -1.2 = 0。1)求方程的一个含正根的区间；2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3)给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案(1) f (0) = 1.2 0 又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根,(2)21 1,. x 1 = 3/3x + 1.2收敛x = 33x +1.2,。(x)=(3x +1.2)-3, max旷(x)| xe(0,

21、2)21.23f(x) = 3x2 3,x 产 x -x 3 3 x 1.2 n3 x 2 3n.假设公式对f (%) = 1,九2, %3精确成立则有 A + B + C = 2-0.5 A + B% + 0.5C = 0 i TOC o 1-5 h z 20.25 A + B% 2 + 0.25C =-13-0.125 A + B% 3 + 0.125C = 0L1，一、一，42解此方程组得A = C = 4, B = -233求积公式为/ f (%)d% |4f (-0.5) - 2f (0) + 4f (0.5),f (%) = %4时，-1 ,.2. .1,.左边=- 右边= 左边丰

22、右边.代数精度为3。56I y，= 3% + 2y厂 ，0 % 14. (15分)设初值问题y(0) 二1(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=0.2解上述初值问题数值解 的公式，并求解片y2，保留两位小数。计算题4.答案4.(1) yn+1 = yn + 0(3%n + 2yn) = 0.3%n + 1.2yny = y +(3% + 2y ) + 3(% + 0.2) + 2y TOC o 1-5 h z n+1n 2 n nnn+1=y + 0.1(6% + 2y + 2y 1 + 0.6)n 33)n3向

23、二 y = - y +% +n+1 2 n 4 n 40333 63 33迭达得 y = + = 1.575, y =+= 2.5851 2 402 2 40 440XX0.2+5. (15分)取节点% =0, %0.5, % 2:1，求函数y = e - %在区间0,1上的二次插 值多项式P2(%)，并估计误差。计算题5.答案e -i 一 e -0.5e -0.5- 1p (x)= e 0 + e - 0.5 - 1 (x - 0) +1 0.50.5 - 0 (x - 0)(x - 0.5)20.5 - 01 - 05.=1+2( e-0.5 -1)x + 2(e-1 - 2e-0.5 +

24、 1)x(x - 0.5)f 化)八一y 二一e -x, M = max yxcb,1ex - p (x) 1 x (x - 0.5)( x -1)|=1, ex - p2(x) = f-)- x(x - 0.5)(x -1)一、填空题(每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有 和。2、设lj(x)(j=0,1,2 n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则才1 (x )=lj(个=二(i 产 0,2n)-J 3、设lj(x)(j=0,1,2 n)是区间a，句上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数；且 L 二j=0。4、辛普生求积公式具有一次

25、代数精度，其余项表达式为。5、f (x) = x2 +1,贝|j f 1,2,3 =, f 1,2,3,4 =。填空题答案1.相对误差绝对误差2.1, i = j,0, i wj3.至少是nj bl (x)dxa kb-a4. 3一鬻 (b22a)4 八4 江侬 b)5. 101、二、计算题i0123耳0123X = fg3927已知函数二f (x)的相关数据3 = P(1)由牛顿插值公式求三次插值多项式P3(x)，并计算2的近似值。计算题1.答案解：差商表1fgfK，石41，4.2 凶赤石4i，001113222g623327864/3由牛顿插值公式:/、一、4 c 8,2、p (x) = N (x) = 3 x 3 - 2 x 2 + 3 x +1,(10分)利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h = 0.1，yr = y + x +1,)x e (0,0.6)y(0)=1.计算题2.答案f(x, y) = y + x+1, y =n = 1,h = 0.1,0yy + 0.1(x +1 y ), (n = 0,1,2,3,)y0=1,y = 1.000000;1.000000;1.010