数学建模试验答案_稳定性模型

1、实验08 稳定性模型(4学时)(第7章稳定性模型)1.(验证)捕鱼业的持续收获一产量模型p215219产量模型：(.x、x (t) = F (x) = rx 1 -Ex ,In )其中，x(t)为t时刻渔场中的鱼量。r是固有增长率。N是环境容许的最大鱼量。E是捕捞强度，即单位时间捕捞率。要求：运行下面的m文件，并把相应结果填空，即填入“”。%7.1捕鱼业的持续收获一产量模型%文件名：p215_217.mclear; clc;%无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N)%捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕捞情况下

2、渔场鱼量满足的方程：x(t)=F(x)%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点%求方程的平衡点syms r x N E; %定义符号变量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式x=solve(Fx,x) %求解 F(x)=0 (求根)%得到两个平衡点，记为：% x0= , x1=_，见 直16(4)式x0=x(2);米1=(1);%符号变量x的结构类型成为2x1sym%求值)的微分F(x)syms x; %定义符号变量x的结构类型为1*1眄dF=diff(Fx,x); %求导dF=simple(dF) %简化符号表达式%得 F(x)=%求F(x0)并简化dFx0=subs(dFa

3、x0); %将x=x0代入符号表达式dFdFx0=simple(dFx0)%得 F (x0)=%求 F (x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得 F (x1)=%若Er ,有F(x0)0，故x0点稳定，x1点不稳定(根据平衡点稳定性的准则)；%若Er ,则结果正好相反。%在渔场鱼量稳定在x0的前提下(Er ),求E使持续产量h(x0)达到最大hm。%通过分析(见教材p216图1),只需求x0*使f(x)达到最大，且hm=f(x0*)osyms r x Nfx=r*x*(1-x/N)； %fx=dFdf=diff(fx,x,);x0=solve(df,x)%得 x0*=，见 P217(6

4、)式hm=subs(fx,x,x0)%得hm=，见P217式%又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*=，见 P217(8%产量模型的结论是：%将捕捞率控制在固有增长率的一半(E=r/2 )时，能够获得最大的持续产量。符号简化函数simple，变量替换函数sub的用法见提示。给出填空后的M文件(见215217):%7.1捕鱼业的持续收获一一产量模型% 文件名：p215_217.mclear; clc;%无捕捞条件下单位时间的增长量：f(x)=rx(1-x/N)%捕捞条件下单位时间的捕捞量：h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程：x

5、(t)=F(x)%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点%求方程的平衡点syms r x N E; %定义符号变量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式x=solve(Fx,x) % 求解 F(x)=0 (求根)%得到两个平衡点，记为：% x0= -N*(-r+E)/r , x1=0_，见物16(4)式x0=x(2);*1=(1);%符号变量x的结构类型成为2*16加%求6)的微分F(x)syms x; %定义符号变量x的结构类型为1*1内dF=diff(Fx,x); %求导dF=simple(dF) %简化符号表达式%得 F(x)= r-2*r*x/N-E%求F(x0)并简化

6、dFx0=subs(dF,x,x0); %将 x=x0 代入符号表达式 dFdFx0=simple(dFx0)%得 F (x0)= -r+E%求 F (x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得 F (x1)= r-E%若Er ,有F(x0)0，故x0点稳定，x1点不稳定(根据平衡点稳定性的准则)；%若Er ,则结果正好相反。%在渔场鱼量稳定在x0的前提下(Er ),求E使持续产量h(x0)达到最大hm。%通过分析(见教材p216图1),只需求x0*使f(x)达到最大，且hm=f(x0*)。syms r x Nfx=r*x*(1-x/N); %fx=dFdf=diff(fX,x);x0=s

7、olve(df,x)%得 x0*= 1/2*N，见 P217(6)Shm=subs(fxx,x0)%得 hm= 1/4*r*N，见 P217(7)式%又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*= r/2，见 P217(8)S%产量模型的结论是：%将捕捞率控制在固有增长率的一半(E=r/2)时，能够获得最大的持续产量。2.(验证、编程)种群的相互竞争P222-228模型：22r x (1 - u -c _) 1 1 N 1 N12 xx r x (1 -c - t-) 2 22 N N12其中，X (t), x2 (t)分别是甲乙两个种群的数量。12r1k2是它们的固有增长率。N1, N2是它们

8、的最大容量。1 :单位数量乙(相对N2 )消耗的供养甲的食物量为单位数量甲(相对N1) 消耗的供养甲的食物量的g1倍。对o2可作相应解释。(编程)稳定性分析p224225要求：补充如下指出的程序段，然后运行该m文件，对照教材上的相应结果。%7.3种群的相互竞争一一稳定性分析%文件名：p224_225.mclear; clc;%甲乙两个种群满足的增长方程：% x1(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)% x2(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)%求方程的平衡点，即解代数方程组(见P224的(5)式)% f(x1,x2)=0

9、% g(x1,x2)=0编写出该程序段。提示(1)使用符号表达式；(2 )用函数solve求解代数方程组，解放入x1, x2;(3)调整解(平衡点)的顺序放入P中(见下面注释所示)，P的结构类型为 , P的第1列对应x1，第2列对应x2。x1x2=x1,x2 % 显示结果disp( )； P%调整位置后的4个平衡点：% P(1,:)=P1 ( N1,0 )% P(2,:)=P2 ( 0 , N2 )% P(3,:)=P3 ( N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1) , N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)% P(4,:)=P4 (0,0)%平衡点位于第一象限才有意义，故要求P3: k

10、1, k2同小于1，或同大于1。%判断平衡点的稳定性参考教材p245的(18), (19)式。syms x1 x2; %重新定义fX1=diff(f,xT); fx2=diff(f,x2);gx1=diff(g,x1); gx2=diff(g,x2);disp( ); A=fX1f2;gx1,gx2 %显示结果p=subs(-(fX1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2);%替换p=simple(p);%简化符号表达式pq=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2);q=simple(q);disp(); P p q% 显示结果%得到教材p225表1的前3列，经

11、测算可得该表的第4列，即稳定条件。补充后的程序和运行结果(见225表1)： 2341%7.3种群的相互竞争一一稳定性分析% 文件名：p224_225.mclear; clc;%甲乙两个种群满足的增长方程：% x1(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)% x2(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)%求方程的平衡点，即解代数方程组(见P224的(5)式)% f(x1,x2)=0% g(x1,x2)=0%编写出该程序段。syms x1 x2 r1 r2 N1 N2 k1 k2;f=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)

12、;g=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2);x1,x2=solve(f,g,x1,x2);P=x1(234,1),x2(2,3,4,1);x1x2=x1,x2 % 显示结果disp( ); P%调整位置后的4个平衡点：% P(1,:)=P1( N1，0)% P(2,:)=P2( 0，N2)% P(3,:)=P3( N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)，N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)% P(4,:)=P4(0，0)%平衡点位于第一象限才有意义，故要求P3： k1, k2同小于1，或同大于1。%判断平衡点的稳定性参考教材p245的(18), (19)式。syms x1

13、 x2; %重新定义fx1=diff(f,x1); fx2=diff(f,x2);gx1=diff(g,x1); gx2=diff(g,x2);disp( ); A=fx1,fx2;gx1,gx2 %显示结果p=subs(-(fX1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2);%替换 p=simple(p);%简化符号表达式pq=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2); q=simple(q);disp(); P p q% 显示结果%得到教材p225表1的前3列，经测算可得该表的第4列，即稳定条件。2.2 (验证、编程)计算与验证P227微分方程组工串)二丁1(1

14、-N-。1 N) TOC o 1-5 h z ,t - -it - - LJ i - J/ . 1- .- ) 1, -Hl - - ! 4- k2*r2)/(k - LJ. (H*r2* - 1) ? - LJ . - - LJ.：；. - rl.：.：r.rl - E - r.: ：v ： ：:. - HA心|4.（验证）食饵-捕食者模型p230232模型的方程：x(0)二 x0y (0)二 y0 x (t) - rx axy=n-50 xx=xx;x;end endplot(b,xx,.b,markersize,5); %可改变值5，调整数据点图标的大小title(图4模型的收敛、分岔和

15、混沌)；xlabel(参数 b);ylabel(x(k) (k足够大)； grid on;运行以上m文件。运行结果（比较241图4）：5.4 2n倍周期图形p240242要求：在上题的程序中，修改b值，使运行后显示以下图形:（1）单周期（143）：诗要口国|国2倍周期(3b3.449)：(3) 22 倍周期(3.449b3.544)：Figure 1Z| | X |Fili Edit View Insert TooIe Desktop Window Helppa a |旨| a久踮1国|国(4) 23 倍周期(3.544bbn_1 , b1e-12 %使区间(c, d)足够小b=(d+c)/2

16、; x=0.2; %b取区间的中点for i=1:1O0O00 x=b*x*(1-x);endy(1)=x; %取最后 2*2An 个 xkfor k=1:2A(n+1)-1y(k+1)=b*y(k)*(1-y(k);endif norm(y(1:2An)-y(2An+1：2A(n+1)1e-12 %范数，比较c=b;%满足2人口倍周期收敛的b给区间(c, d)的下限celsed=b; %不满足2An倍周期收敛的b给区间(c, d)的上限d endendbmax=c; % 2人n倍周期收敛的b的上限近似要求：编写程序，调用以上函数文件，求单倍周期、2倍周期、25倍周期收敛的b的上限近似值，输出

17、要求有10位有效数字。运行结果输出形式如下：提示：可使用num2str函数。用下面的程序结构，会使运行速度加快。function main()自己编写的程序；将上面的函数文件复制到此处。运行的程序及输出结果：function main() clc;n=5;%求单(赋0)、2倍(赋1)2人口倍周期收敛的b的上、下限B=ones(n+2, 1); for i=0:nB(i+2)=fUn(B(i+1),i);end%单周期收敛时，B(1)bB；2倍时，B(2)bbn_1 , b1e-12 %使区间(c, 4)足够小b=(d+c)/2; x=0.2; %b取区间的中点for i=1:100000 x=

18、b*x*(1-x); endy(1)=x; %取最后 2*2An 个 xkfor k=1:2A(n+1)-1y(k+1)=b*y(k)*(1-y(k); endif norm(y(1:2An)-y(2An+1:2A(n+1)1e-12 %范数，比较c=b;%满足2An倍周期收敛的b给区间(c, d)的下限celsed=b; %不满足2An倍周期收敛的b给区间(c, d)的上限dend endbmax=c; % 2An倍周期收敛的b的上限近似注：vpa的用法。附1：实验提示 第1题提示：符号简化函数5而03,变量替换函数SUb符号简化函数simple的格式：simple(S)对符号表达式S尝试多

19、种不同的算法简化以显示S表达式的长度最短的简化形式。变量替换函数sub的格式：subs(S,OLD,NEW)将符号表达式S中的OLD变量替换为NEW变量。附2：第7章 稳定性模型2157.1捕鱼业的持续收获第7章稳定性模型虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是 对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而 是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化 趋势.比如，在什么条件下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什 么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定,为了分析这种稳定与不 稳定的规律，常常不需要求解微

20、分方程（并且我们将会看到，即使对于不太复杂 的方程，解析解也不是总能得到的八而可以利用微分方程稳定性理论，直接研 究平衡状态的稳定性就行了 .在下面建模过程中，大多数情况下我们将直接引用微分方程稳定性理论的 结果.不熟悉这方面内容的读者可以参阅7门节.差分方程的稳定性与微分方程有很多相似之处.也有明显的差别，7. 6和 7.7节将介绍这方面的内容.7.1捕鱼业的持续收获可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一定要注 意适度开发，不能为了一时的高产去“竭泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追 求产量或效益的最优化.考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果捕捞量恰好

21、 等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续下去本节要建 立在捕捞情况下油场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在检定的前提 下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大最后研究所谓捕捞过度 的问就门叫产模型 记时刻士渔场中鱼量为4）.关于的自然增长和人工捕捞 作如下假设：L在无捕捞条件下工的增长服从logistic规律（地5. 6节的阻滞增长模 型），即= /(4) = rxr是固有增长率小是环境容许的最大鱼量，用人式）表示单位时间的增长量.?、单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量工（E）成正比，比例常数表示 单位时间捕捞率，又称为捕捞强度，可以用比如捕鱼网眼的大小或出海

22、渔船数量 来控制其大小.于是单位时间的捕捞量为h(x) - Ex根据以上假设并记=f（x） - h（x）得到捕捞情况下渔场鱼最满足的方程金(力=F(x) = rx我们并不需要解方程（3）以得到工）的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定 鱼量和保持稳定的条件，即时间士足够长以后渔场鱼量武士）的趋向，并由此确定 最大持续产量,为此可以直接求方程（3）的平衡点并分析其稳定性.得到两个平衡点与=1 -，物二 0不难算出 所以若有尸Yw） 。，尸,（町）0,故0点稳定，跖点不稳定（判断平衡点稳定性的准则 见7. 7节）；若E r,则结果正好相反.E是捕捞率，是最大的增长率，上述分析表明，只要捕捞适度（总/

23、），就可使渔 ， 及巾 ,场鱼量稳定在入，从而获得持续产展/_从与）二而当捕捞过度时（）.渔场 ”二二二2才鱼量将趋向如二o,当然谈不上获得持续产 一方才丁图】最大持续产量的图解法进一步讨论渔场鱼量稳定在%的前提 下，如何控制捕捞强度E使持续产量最大 的问题.用图解法可以非常简单地得到结果.根据(1),(2)式作抛物线,=/(/)和直线7 =乂#)=氐，如图L注意到y = 人工)在原点的切线为y = 所以在条件(5)下, = &必与7=汽动有交点尸,P的 横坐标就是稳定平衡点根据假设2,尸点的纵坐标h为稳定条件下单位时间的持续产量.由图1立 刻知道,当y = &与在抛物线顶点P相交时可获得最大

24、的持续产量 此时的稳定平衡点为且单位时间的最大持续产量为l rN院二不而由(4)式不难算出保持渔场鱼量稳定在工；的捕捞率为=y(8)综上所述，产量模型的结论是将捕捞率控制在固有增长率r的一半，更简单 一些，可以说使渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时，能够获得最大的持续 产量.效益模型 从经济角度看不应追求产量最大,而应考虑效益最佳.如果经济 效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且甯单地假设：鱼的销 售单价为常数P,单位捕捞率(如每条出海渔船)的费用为常数匕,那么单位时间 的收入T和支出5分别为 TOC o 1-5 h z T = ph(x) = pEx, S = cE(9 )单位时

25、间的利润为R = T S = pEx cE( 10)在稳定条件工二所下，以(4)代入(10)式，得R(E) =T(E) -S() =pNE(l -yj - cE(11)用微分法容易求出使利润&E)达到最大的捕捞强度为E&=勺1-品)将品代入(4)式，可得最大利润下的渔场稳定鱼量4及单位时间的持续产量 心为将（12）-（14）式与产量模型中的（6）-（8）式相比较可以看出,在最大效 益原则下捕捞率和持续产量均有所减少，而渔场应保持的稳定鱼量有所增加，井 且减少或增加的部分随着捕捞成本。的增长而变大，随着销售价格p的增长而 变小.请读者分析这些结果是符合实际情况的.捕捞过度上面的效益模型是以计划捕

26、捞（或称封闭式捕捞）为基础的，即 渔场由单独的经营者有计划地捕捞，可以追求最大利润.如果渔场向众多盲目的 经营者开放，比如在公海上无规则地捕描，那么即使只有微薄的利润,箜营者也 会蜂拥而去，这种情况称为盲目捕捞（或开放式捕捞）.这种捕捞方式将导致捕 捞过度，下面讨论这个模型.（11）式给出了利润与捕捞强度的关系R（E），令R（E） =0的解为可得(15)当E0,盲目的经营者们会加大捕捞强度；若E &,利润R（E） 0）是P吟（即售价大于（相对于总量而言）成本.并且由 （15）式可知，成本越低，售价越高，则/越大.将（15）代人（4）式，得到盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为xs = 一（17）P七完全

27、由成本-价格比决定,随着价格的上升和成本的下降，%将迅速减少，出 现捕捞过度.比较（12）和（15）式可知，4=2%，即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强度 大一倍.从（15）式和图2坯可以得到,当书p 2*时，（“）/2春时，愿,如图2中后母，称生态学捕捞 过度.218评注 为了研究渔业的产量、效益及捕捞过度问题，首先在对鱼的自然增长 和捕捞情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程（3）,并利用平衡点稳定性 分析确定了保持渔场鱼贯稳定的条件.产量、效益和捕捞过度3个模型在稳定的 前提下步步深入，数学推导过程十分简单，却得到了在定性关系上与实际情况完 全符合的结果.如果改变对鱼的自然增长和人工捕捞

28、的假设，模型及结果将随之变化（习 题 1,2）.7-2军备竞赛两个国家或两个国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而 不断增加自己的军事力量，防御对方可能发动的战争.能否用一个数学模型描述 这种军备竞赛的过程，从定性和定埴的角度对竞赛的结果作出解释或预测.本节 介绍L. F. RichardSonl939年提出的一个模型.当然影响军备竞赛的因素是错综 复杂的，无法用数学工具给以恰当的圆满的描述.这个模型只不过告诉我们，一 个复杂的实际过程可以被合理地简化到什么程度，得到的结果又怎样用来解释 实际现象，并且如果允许军备竞赛沿着机械的本能和固定的模式发展的话，会导 致什么样的结局emm.

29、模型假设与构成为了方便起见，用军备这个词表示军事力量的总和，如兵 力、装备、军事预算等,甲乙双方在时刻t的军备分别记作以酎和假定它 们的变化只取决于下面3个因素：.由于相互不信任及矛盾的发展L 方军备越大，另一方军备增加得越快.2,由于各方本身经济实力的限制，任一方军备越大，对军备增长的制约作 用越大.3.由于相互敌视域领土争端，每一方都存在着增加军备的固有潜力.迸一步假定前两个因素的影响是线性的，第3个因素的影响是常数，那么 和双。的变化过程可用微分方程组；X （t） - -ax + ky i z *I 】）,y （ t）=及一肉十尢表示，其中的系数均大于或等于是对方军备刺激程度的度量是己方

30、 经济实力制约程度的度量”体是己方军备竞赛的固有潜力如果我们感兴趣的是军备竞赛的结局由什么因素决定，而不关心竞赛的过 程，那么只需用微分方程稳定性理论讨论时间充分长以后工（），）的变化趋 势，即方程（1 ）的平衡点的稳定情况.令（1）式右端等于口，容易算出平衡点（既，为）为_ kh_ Lg + ah o-kr 打=由-kl方程（1）的系数矩阵为-a k- A =于是按照判断平衡点稳定性的方法计算（见7. 7节（9） -（13）式）以ii +) = a + 0det： A - a3 kl由稳定性准则（见7.7节（15）式），当卑 kl(2)(3)(4)(5)时,平衡点（与，孔）是稳定的；反之，是

31、不稳定的.这就是说，在（5）式的条件下，时间足够长以后双方的军备将分别趋向一个 有限值，军备竞赛是稳定的.模型的定性解释 根据方程（1）和平衡点稳定性的分析，可以解释几个简 单而又重要的现象.条件（5）表明，当双方的经济制约程度叩大于双方的军备刺激程度kl 时，军备竞赛才会趋向稳定.反之,#（）4（E）将趋向无穷，竞赛无限地进行下去， 可能导致战争.由（2）式，如果g=八=0,贝Ig =0,几=0是方程（1）的平衡点，并且在条 件（5）下它是稳定的,于是如果在某个时候,有x（i0） =y（3）就永远 保持为。这种情况可以解释为双方不存在任何敌视和争端，通过裁军可以达到 持久和平.两个友好的邻国

32、正是这样.如果即使由于某种原因（如裁军协定）在某个时候双方军备大 减，不妨设#（%） =y（/0） =0,那么因为力二自，方=3也将使双方重整军备.这说 明未经和解的裁军（即不消除敌视或领土争端）是不会持久的.如果由于某种原因（如战败或协议），在某个时候一方的军备大减，不妨 设=0,那么因为x =柳+ g,也将使该方重整军备,这说明存在不信任 （左方0）或固有争端（8*0）的单方面裁军也不会持久.模型参散的估计为了利用（5）式判断军备竞赛是否会趋于稳定,需要知道 %孙七/的数值,估计这些参数无疑是很困难的，下面是Richardson提出的一种 方法.L的估计22。设#（0） =0,当较小时，忽

33、略S和-3的作用，并近似地假定丁 =无不变，由 方程（1）得如果当八丁时土=刈，则由（6）式得到左一 =r（7）这说明H口是甲方军备从0到赶上乙方军备力所需的时间.例如，德国从1933年开始重整军备，只用了约3年的时间就赶上了它的邻国. 假设它增加军备的固有潜力g被制约效应w所抵消，那么可以认为德国的左一 =3 年，即 40. 3.I可以类似地估计，或者合理地假定它与国家的经济实力成正比.这样若乙国 的经济实力是德国的2倍，则可以估计2-0. 6.2,仪位的估计设g=0,：y=U,由方程（1）可得以t=以7代入，算出/-1 X 力（。）#5 ）=这表示是在乙方无军备时甲方军备减少到原来的,所需

34、的时间,Richardson认e为这大概是一个国家议会的任期,对于议会任期5年的国家来说,q = 0. 2.对模型和界数的粗略检跪 考察第一次世界大战前夕，欧洲的两个国家同盟法俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.-两个同盟的经济实力大致相等,且约为德国的3倍，因为勰国的儿=0. 3,所以 这两个同盟的9.同时假定a :尸=0. 2,那么由于如我,（5）式不成立，它 们的军备竞赛不会趋向稳定.事实上，当时两个同盟之间既有军备竞赛也有贸易往来.用孙，为表示双 方的军事预算，宝，力表示双方的贸易往来，从军事预算中扣除贸易往来作为 双方的军备，即又二町-看，,二九-%以无=2,口=尸代入方程（1）,并将

35、两式相 加得到4（x + y） = （k - a） （x y） + + h（8）di或写作亮（/ +7） = （* -o）（孙 +yj）-（9 +r2） +-7+ 力）（9）（9）式表明，句+力与它的变化率的关系是线性的.为了与实际数据比较，表1列出了两个同盟从1909年到1913年的军事预算，表中第5行&+%）是 十为的年增加量，最后一行。7T是相应的年平均值，用a（/十七）和%十 %的 数据作图（图1中圆点），对这组数据用线性最小二乘拟合得到（图中直线）图1%+力与A（9+“）的关系+ /i） - 0. 73（xj + y1 - 195）（10）表1两个同盟的军事预售（以百万英翎为单位）1

36、9091910191119121913法俄才)15, 3119. 4127. 8145.0166. 7德奥匐为83985.487. 193.7122. 3/ +Ti 199, 2204. 8214.9238.7289.0（%+为）5.610. 123. 850.3202,0209.8226. 826X8比较（9）和（10）式，（10）式的线性关系粗略地说明本节介绍的模型具有一 定的合理性,同时得到的无-d二673也与前面给出的估值比-0.9,4=0.2相 符，由军事预算体现的军备将继续增加.事实上，两个同盟间的军备竞赛终于引 发了第一次世界大战.评注用如此简单的模型描述错综复杂的军备竞赛过程也

37、许难以令人信 服，但是如果你没有更深入、可靠的知识去建立更满意的模型，那就不妨先做像 本节这样的尝试.这种筒化模型既是进一步研究的基础，也是建模方法的练习7.3种群的相互竞争当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们 常用1 口 gis曲模型来描述这个种群数量的演变过程，即*3 = ri（1 - y）We）是种群在时刻t的数鼠门是固有增K率，N是环境资源容许的种群最大数222-量,在5.6节和7. 1节我们曾应用过这种模型.由方程（1）可以直接得到，与=闻 是稳定平衡点，即Etb时轨力一从模型本身的意义看这是明显的结果.如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它

38、们之间就要存在 着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系,本节和 下面两节将从稳定状态的角度分别讨论这些关系.当两个种群为了争夺有限的同-种食物来源和生活空间而进行生存竞争 时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的 最大数量,人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局.例如，一个小岛 上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同 一种只在陆地上觅食. 另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面 到远方攫取海味,每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其他几 种,本节要建立一个模型解释类似的现象，并分析产

39、生这种结局的条 件% IS,妙模型建立 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的 演变均遵从logistic规律.记的（力，）是两个种群的数量小，是它们的固有 增长率，M是它们的最大容量于是,对于种群甲有其中因子（ 1 -术）.（0 =卢（1 _ .）反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用、今可解释为相对于M而言，单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总 评I量为1）.当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子中再减去一项，该项与种群乙的数量相（相对于外而言）成正比，于是得到种群甲增长的方程为”“1 -

40、耒一内前这里6的意义是：单位数量乙（相对M而言）消耗的供养甲的食物量为单位数 量甲（相对M）消耗的供养甲的食物量的6倍.类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是对心可作相应的解释.223在两个种群的相互竞争中，6,b2是两个关键指标.从上面对它们的解释可 知，6 1表示在消耗供养甲的资源中,乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞 作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲.对 1可作相应的理解*一般地说,6与吟之间没有确定的关系，但是可以把这样一种特殊情况作 为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻 滞作用与对乙增长的阻滞作用相同.具体地说就是：因为单位数量的甲和乙消

41、耗 的供养甲的食物量之比是1：内，消耗的供养乙的食物量之比是所谓阻滞 作用相同即1：%=6：1,所以这种特殊情形可以定量地表示为夕。2=1（4）即叫，一互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的 g 倍,则一个甲消耗的食物是一个乙的% =14.下面我们仍然讨论6,b,相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的分 析留给读者（习题3）.稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即-8时/（）,蜘 的趋向，不必要解方程（2） , （3），只需对它的平衡点进行稳定性分析.首先根据微分方程（2）,（3）,解代数方程组得到4个平衡点:f一/）iV2（l -cr,）,%（M,0）式o,

42、m）,匕一p-，匕（，。）因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时（,出。）才有实际意义，所以 对电而言，要求6,G同时小于1,或同时大于1按照判断平衡点稳定性的方法（见7. 7节（18）,。9）式），计算Z,九_ rvP = -(Z,十原J L， r = l ,2,3,4 q = det A I 匕，i = 1 ,2,3 ,4将4个平衡点p,g的结果及稳定条件列入表1- 事实上也无法求出内式D的解析表达式.224-表1种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点pq稔定条件5（M ,。）rl _ 勺（1 _ %）- GG（1 -%）1 】也）-。（1 - k） + q-rif2（ 1 “I ）b 1

43、1舄（1（1-6）必（1 一见） _5g , 1/r, （1 - er,） + r4 （1 - t2 ）式 i -bja 内）（7, 1 Q? r】勺不稳定注意：按照7.7节（15）式给出的20,10得到的P,的稳定条件只有 心1,表1中的叫父】是根据以下用相轨线分析的结果添加的片的稳定条件 W 】有类似的情况.对于由非线性方程（2）, （3）描述的种群竞争，人们关心的是平衡点的全局 稳定（即不论初始值如何，平衡点是稳定的），这需要在上面得到的局部稳定性 的基础上辅之以相轨线分析.在代数方程组（5）中记对于g的不同取值范围，直线0, a0（6）：x 10, x 20（7）S3x 0, jc a

44、L a2l入稳定P不稳定图平衡点稳定性的相平面分析（占）=%（气）W）由（7）知，式询）0,表明与（D在4达到极小值，而这是不 可能的，因为在当中总 0,即看） 一直是增加的；若轨线从3的某点出发，由（8）可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向己 点，或者进入而进入关后，根据上面的分析最终也将趋向产综上分析可以画出轨线示意图（图1（a）,因为直线华上d町=0,所以 在中=0上轨线方向垂直于阳轴；在收=0上d典=0,轨线方向平行于孙轴% 11,类似的分析可知此。，生）稳定.cTC1,b2lsL由表】知，对于P3点g0,故门不稳定（鞍点）,轨线或者 趋向已，或者趋向丹，由轨线的初始位置决定，示意图见

45、图1 ）在这种情况 下产和已都不能说是全局稳定的（它们只是局部稳定）.正因为这样，所以P】 全局稳定的条件需要加上/ 1.匕全局稳定的条件加上（r2 1.226-计算与验证下面用计算机求方程（2）, （3）的数值解，画出相轨线的图形, 可使我们对两种群的数量变化有进一步的认识.并对以上的分析给以验证.仅讨论上述第1种情况.设归二85,仃1=1.6,门=2,5,=1.6, % =1,用MATLAB软件计算，为简明起见，只给出图形结果工图2（a）,图2（b）是 孙（工），如3）的图形（初值分别取（/（。）mOJ,啊（0） =0.1）和（/（0）小， &（0） =2）,图2（。是两条相轨线的图形.将

46、图2（c）与图1（的比校可知二者的一致.从图2（色），图2（b）还能看出，虽然8时孙（）一M产/上）-M是可预见的，但是，若初值较小，&（D会有段时间增长;若初值较大，孙（力会有一段时间减少，却是由计算结果得到的，你能（B）%的图形X1X-0,2)、q、k1(OlLOJ)、一 hL.1r 、1（c）两条相轨线的图形 图20 00.51 L5结果解释 根据建模过程中力,6的含义,说明？，B，尸3点稳定在生态学 上的意义.g 1, % 1意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终将灭绝，种群 甲趋向最大容量，即4H），。）趋向平衡点Pi （M ,0）.227% 1,4.情况与1正好相反.

47、g ls L请读者作出解释.生态学中有一个竞争排斥原理：若两个种群的单个成员消耗的资源差不多 相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡.用 本节的模型很容易解释这个原理.M N25而 = 1 , cr2= 1 * M N2将方程（2）,（3）改写为原理的两个条件相当于从这3个式子显然可得叫 1，这正是P】稳定，即种群乙灭绝的条件.种群的相互依存自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植 物可以独立生存，昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的 昆虫却不能离开植物单独存活.人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系.这 种共生现象可以描述

48、如下阳.设种群甲可以独立存在，按logtic规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于 甲的增长，类似于7.3节的方程（2）,种群甲的数量演变规律可以写作 （n，M，忆的意义同前）7.3节中s前面的-号这里变成十号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供 食物.g的含义是，单位数量乙（相对于%）提供的供养甲的食物量为单位数量 甲（相对于M）消耗的供养甲食物量的6倍.种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为小则乙单独存在时有228 TOC o 1-5 h z 二r2*2（ 2 ）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有三式E）二% -1 +O帚）显然仅当等1时，种群乙的数量才会增氐与此

49、同时乙的增长又会受到自身 的阻滞作用，所以（3）式右端还要添加1白皆虱沁项，方程变为式”印-I”病啜）口）方程（1） *4）构成相互依存现象的数学模型,下面利用平衡点的稳定性分 析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向.类似于7. 3节的作法，将方程（1）、（4）的平衡点及其稳定性分析的结果列 人表1.表1种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点Pq稳定条件尸1（一厂0）门 - r J % - I )-A 口（。T）cra 1 ttTj tr2 1p /f）仪式5一】）q(l -，) +r2(r2 -1)”(1 -5)-1)0I 11I -4陋】一（7/B(0Q一门十口f 口门不稳定显然，？点稳定才

50、表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，我们着重分 析区稳定的条件.由？点的表达式容易看出，要使平衡点巳有实际意义，即位于相平面第- 象限（孙，町0）,必须满足下面两个条件中的 个：4 ：/ 1 , trLcr2 1 , T2 1而由表1中点的p,g可知，仅在条件4下匕才是稳定的（而在乙下巴是鞍点，不稳定）.图1画出了条件为下相轨线的示意图，其中中:1 -卷+叫奈,M jV2-1 一卷.直线中二0和也=0将相平面（孙，孙。0）划分成4个区域； ej M5i ： x T0,五2 0, x2 0 ； 53 ： 3 0；54； x 1 0,?1.考虑到心的含义，这表示图1匕稳定的相轨线图种群甲要为乙

51、提供足够的食物维持其生氏.而 6g 1条件下，为使P/立于相平 面第一象限所必需的，当然这要求6很小（1 是必要条件）.注意到6的含义，这实际上是对乙 向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长，在种群依存模型（1）、（4）中，如果平衡点 稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的共 存.请读者分析导致已稳定的条件及在生态学 上的意义（习题5）.评注 模型（1）、（4）是种群相互依存的一种类型，即种群甲可独立生存，而 种群乙不能.依存模型还有其他类型，如两个种群均能独立生存，及均不能独立 生存的情况.这些情况的稳定结果如何，留作习题6,7.食饵-捕食者模型自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有依存

52、、又有制约的生 存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生，食用鱼和 鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蜗虫等都是这种生存方式的典型，生态学上称种 群甲为食饵（Prey），种群乙为捕食者（Predator），二者共处组成食饵-捕食者系 统（简称P-P系统）.近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入 的研究，建立了一系列数学模型，本节着重介绍P-P系统最初的、最简单的一 个模型，它的由来还有一段历史背景.意大利生物学家Dncona曾致力于鱼类各种群间相互依存、相互制约关系 的研究，从第一次世界大战期间地中海各港口捕获的几种鱼类占总捕获量百分 比的资料中，发现翟鱼（捕食者）的比

53、例有明显的增加他知道，捕获的各种鱼的 比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例战争中捕获髭大幅度下降，应该 使渔场中食用鱼（食饵）和以此为生的鲨鱼同时增加，但是，捕获量的下降为什 么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者更加有利呢？他无法解释这种现象，于是求 助于他的朋友、著名的意大利数学家Volterra. V&terra建立了一个简单的数学模 型，回答了 Dncona的问题 出砌.Volterra食饵-捕食者模型食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻2的数量分别记作以士）,，（，），因为 大海中资源丰富，假设当食饵独立生存时以指数规律增长，（相对）增长率为 即义=/明而捕食者的存在使食饵的增长率减小

54、，设减小的程度与捕食者数量成 正比，于是北(工)满足方程z ( f) = ay) = rx - axy( 1 )比例系数反映捕食者掠取食饵的能力.捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为d,即y =而食 饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长. 设这种作用与食饵数量成正比，于是7)满足夕($) = y ( d + bx) = dy + bxy( 2 )比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力.方程(1) , (2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里 没有考虑种群自身的阻滞增长作用，是Volterra提出的最简单的模型.模型分析 方程(1) ,(

55、2)没有解析解，我们分两步对这个模型所描述的现 象进行分析.首先，利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形 的观察，猜测它的解析解的构造；然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状， 验证前面的猜测.数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为工(0) =/厅(0) =y0(3)为求微分方程(1),(2)及初始条件(3)的数值解x(i) 4”)(并作图)及相轨线 双比)，设,d=0. 5,0=0/，5 = 0.02,/ =25,% =2,用MATLAB软件编制程 序如下function xdot = shier(t ,x)r =1 * d = 0.5 * a = 0.1j b =0.02；x

56、dot = (r -己 *x(2). * x(l ) ； ( - d + d*x(1). + x(2 )；t s - 0 ：0 .1 115 ；xO 二25 ,2；t, x - ode4 5 (shier,LstxO);L,x,plot ( t ,x) , grid, gt 巳乂匚 Cx(七),gtext ( Jy( t),pause,plot(x( ) ,x( ：,2) ) ,grid,可得工()，“)及相轨线G)如图1、图2(数值结果从略).可以猜测出“)， 贝。是周期函数，与此相应地，相轨线，(工)是封闭曲尖从数值解近似地定出周 期为10,的最大、最小值分别为99.3和2. 04的最大,

57、最小值分别为28.4 和2.0,并且用数值积分容易算出在一个周期的平均值为诵= 25, y = 10,图1数值解式力,八）的图形图2相轨线#）的图形.平衡点及相轨线首先求得方程（1） , （2）的两个平衡点为(4)喑书（0.。）计算它们的PE发现，对于P,q父0,不稳定；对于产,P =0应0,处于临界状 态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非统性方程（1 ）, （2）的平衡 点P的情况.下面用分析相轨线的方法解决这个问题.从方程（1）,（2）消去山后得到dy y - d + bx)这是可分离变量方程，写作 TOC o 1-5 h z 二竺的xy两边积分得到方程（5）的解，即方程（1）,

58、（2）的相轨线为=c（7）其中常数由初始条件确定.为了从理论上证明相轨线（7）是封闭曲线，记g（y） =y e（8）可以用软件作出它们的图形（图3（a）, （h）,将它们的极值点记为而，几，极大 值记为，以，则不难知道出,九满足/（%）=A- xo =d/h以为）,% = r/a与（4）相比可知，%,为恰好是平衡点P.（。人外的图形（b）爪的图形图3下面对于给定的e值考察相轨线（7）的形状.当。=。心时/二小，”加，相轨线在图4中退化为平衡点P.为了考察。匕垢时相轨线的形状，不妨设匕=履乂0 p ），若令 7:兀,则由（8）,（9）可得“Q = P,而从图3（&）知道，必存在均，出，使） =/

59、（%） 且孙蜘*于是相轨线应通过图4中的（?（/,%）,。式均，九）两点接着分析区间（与，出）内的任一点#，因为/（工）P，由/（工）目（了）二户即可知， 厚G）用.*记= q,从图3 （ h）知道，存在打，打*使闫（力）=g（y3） r,且 714为力，于是这条轨线又通过图4中的。3（4，）4（%）两点.而因为， 是区间（西，的）内的任意点，所以轨线在。工之间对于每个#总要通过纵坐标 为力。/且力为M力）的两点，这就证明了图4中的相轨线是一条封闭曲线这样，当E由最大值人劣变小时，相轨线是一族从P点向外扩展的封闭曲线 （图5）. P点称为中心.图4相航线的图形图5 相轨线族为确定相轨线的方向，考察相平面上被胃=0，=几两条直线分成的4个区 域内的正负号，由此就决定了相轨线是逆时针方向运动的，如图6.相轨线是封闭曲线等价于武工）4（。是周期函数（图7）,记周期为T.在图7中周期7分为4段：兀 7,它们恰好与图6中4个区域内的4段轨线相对应. 结合图6、图7可以看出,x（l）4（f）的周期变化存在着相位差，Me）领先于以工）, 如（E）领先7、达到最大值.图6相轨线的方向3.上（力，y（f）在一个周期内的平均值在数值解中我们看到，*（）（）一个周期的平均值为匚=25存= 10,这个 数值与平衡点%0= d/b =0. 5/0, 02