概率论与数理统计知识点总结0001

1、基本公式要掌握首先必须会计算古典型概率，这个用高中数学的知识就可解决，如果在解古典概率方面有些薄弱，就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍 了，而且要将每类型的概率求解问题都做会了，虽然不一定会考到，但也要预防 万一，而且为后面的复习做准备。第一章内容:随机事件和概率也是后面内容的基础，基本的概念、关系一定要分辨清楚。条件概率、全概率公式和贝叶 斯公式是重点，计算概率的除了上面提到的古典型概率，还有伯努利概型 和几何概型也是要重点掌握的。第二章是随机变量及其分布磔机变量及其分布函数的概 念、性质要理解，常见的离散型随机变量及其概率分 布：0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何

2、分布、泊松分布P0)；连续性随机变量及其概率密度的 概念;均匀分布U(a,b)、正态分布N(p,o2)、指数分布 等，以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用，考 题中常会有涉及。第三章多维随机变量及其分布，主要是二维的。大纲中规定的考试内容有： 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分 布，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二 维随机变量的分布，两个及两个以上随机变量简单函 数的分布。第四章随机变量的数字特征，这部分内容掌握起来不难，主要是记忆 一些相关公式，以及常见分布的数字特征。大数定律 和中心极限定理这部分也是在理解的基础上以记忆

3、为 主，再配合做相关的练习题就可轻松搞定。数理统计这部分的考查难度也不大，首先基本概念都了解清楚。X2分 布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉，考题中常会有涉 及。参数估计的矩估计法和最大似然估计法，验证估计 量的无偏性、有效性是要重点掌握的。单个及两个正 态总体的均值和方差的区间估计是考点。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：概率古典概型公式：P (A) = A所含样本点数Q所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的 概率是多少？

4、解：设A： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=?。所含样本点数:A所含样本点数:n (n -1) (n 2) 二n!. P(A)=n!nn补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大 数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设Ai ： “信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=?。所含样本点数：4 4 4 = 43 = 64A1所含样本点数：4 3 2 = 2424二 P(A)二 一164A2所含样本点数：C32 ,4 ,3 = 36 pP A2)=64916A3所含样本点数：C14 = 44. P A3) = 64116注：由概率定义得出的几个性质：

5、1、0P(A)12、P(Q)=1, P(“)=01.3 概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件(AB=)，则：P (AUB) =P (A) +P (B)推论1：设A1、A2 An互不相容，则P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An)推论2：设A1、A2 An构成完备事件组，则P(A1+A2+.+ An)=1推论 3： P (A) =1P (A )推论 4：若 B o A,则P(BA)= P(B)P(A)推论5(广义加法公式)：对任意两个事件A与B,有P(AU B)=P(A)+P(B)P(A B) 补充对偶律：A1 u A2 u. u A = AT c AT

6、c. c ATA1 n A2 n. n A = AT u AT u. u AT条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)= P(AB) (p(B)W0) P (B)P(B/A)= PAB)(P(A)W0)P (A)P (AB) =P (A/B) P (B) = P (B /A) P (A)有时须与 P (A+B) =P (A) +P (B)-P (AB)中的 P (AB)联系 解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：nP(B) = z p(A)P(B/A)i=1逆概率公式：P AJ B) =%(i=1,2,.,n)(注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如 果要求第二步某事

7、件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件 发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。)独立试验概型事件的独立性：A与B相互独立 o P(AB) = P(A) P(B)贝努里公式加重贝努里试验概率计算公式）课本P24 另两个解题中常用的结论一一1、定理：有四对事件：A与B、A与B、A与B、A与B， 如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、公式：P（A u A 5.u A ） = 1 - P（A A A）窠二章被机变要及其分布、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为匕写成一行;计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求 的分布列。注意：应符合

8、性质一一1、Pk之0 （非负性）2、E Pk = 1 （可加性和规范性）k补例1：将一颗骰子连掷2次，以匕表示两次所得结果之和，试写出匕的概率分布。解：。所含样本点数：6X6=36所求分布列为：自23456789101112Pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36补例2： 一袋中有5只乒乓球，编号1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只，以匕表示取出3只球中最大号码，试写出匕的概率分布。解：。所含样本点数：c 3 =105所求分布列为:2、求分布函数F(x)：分布函数F (x) = P x =工 pk xk x二、关于连续型随机变量的分布

9、问题：vxR,如果随机变量匕的分布函数F (x)可写成F (x)x 0j+% (x) dx = 1一8Pa b = Pa 匕 b = F(b) - F(a) = J 纯(x)dx a第三章随机变量数字特征一、求离散型随机变量匕的数学期望E匕=？数学期望(均值)E 自=z x pk二设匕为随机变量，f(x)是普通实函数，则n =f(也是随机变量，求 En=?己xix2 xkPkPiP2 pkn =睢)x yk以上计算只要求这种离散型的。补例1:设匕的概率分布为:己10125Pk513A130求：”=:一1 ,封=己2的概率分布；E丑。解：因为己10125Pk51313010n=1121013n=

10、12101425所以，所求分布列为:n=1121013Pk51313)130和：n=12101425Pk51310130当 n-i 时，En=E -1)=2X 1+(-1)X 1+0X _1+1X 上+ 3 X 上 5101010 210= 1/4当 n=12时，En=E&2=1x 1+0 x 1+1 x 1+4X 2+5 x 上 5101010410=27/8三、求匕或n的方差D匕=?Dn=?实用公式Dm=庆2 E2自其中，E2m = (Ew )2 = (Zx p )2,k kkE 匕 2=E x2 kpkk补例2：己202Pk0.40.30.3求：E W和D W解：E己=-2X 0.4+0

11、X 0.3+2X0.3=-0.2E己 2= (-2 ) 2 X 0.4+02 X 0.3+22 X 0.3=2.8D己=E 自 2 E2己=2.8 （0.2） 2=2.76第四章几种重要的分布（6个）常用分布的均值与方差（解题必备速查表）名称概率分布或密度期望、 、一,. 方差参数 范围0-1分布二项分布Pi = k = Ckpkqnkn(k = 0,1,2,., n)n pn p q0p0,有Um P-p-耳= 1，则称6是0的一致估计； n fg 人如果满足E（0）=0，则称0是0的无偏估计；如果01和02均是0的无偏估计，若D）D（0）,则称01是 12121八比0 2有效的估计量。区间

12、估计：几个术语一一 TOC o 1-5 h z 1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量 八八0 （x，x ）及0 （X，X ），对于给定的a（0a 1）满足： 11n 21n HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 八八P0 （X，X ）00 （X，X ） = 1a11n21n则称随机区间（0 ,0 ）是0的100 （1-a）%的置信区间，0和0 1212称为0的100 （1-a ）%的置信下、上限，百分数100 （1-a ） %称为置信度（置信水平）。一、求总体期望（均值）E0的置信区间1、总体方差。2已知的类型据a ,得（U ）

13、=1 上，反查表（课本P260表）得临界值U0 a2a置信区间（X-d, X +d）.1 Vn CX =Xi求d二U 一n i=1 ia、n补简例：设总体XN（r ,0.。9）随机取4个样本其观测值为12.6,13.4, 12.8，13.2,求总体均值的95%的置信区间。解：.Ta=0.95,a=0.05(Ua) =1 a =0.975,反查表得:Ua=1.96 21*1X =_z X = _(12.6 +13.4 +12.8 +13.2) = 134 ii=1d二U 二=1.96X 巴=0.29a nn 丫4所以，总体均值的a=0.05的置信区间为:(X d, X +d) = (130.29

14、, 13+0.29)即(12.71, 13.29) 2、总体方差。2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据a和自由度n1 （n为样本容量），查表（课本P262表）得一、1八一确定X = n i和S2 =i=1S求 d= ta (n -1) 寸(X - X )2 n -1 ii=1置信区间（X-d, X +d）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差。2的置信区间据。和自由度n1 （n为样本数），查表得临界值:x 2( n 一 D 和 X 2 (n 1)a和 a51 2上限）一、1 n Y确定x=n xii=1(n 1) s 2上限x 2 (n 1)a12置信区间(下限

15、寸(X Xi )2 i=1(n 一 1) s 2下限 x 2 (n 1)a2典型例题:补例1：课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（。=0.04）。解：。=0.04,又限10,自由度n1=9查表得，x：(n一 1) = x 0.02(9)=19.72;(n 1) = x 0.98(9)=2.532收=I x10 ii=1=10 (482 + 493 +. + 469) =457.5s 2 = 1 ( X x.)

16、2=4(457.5 482)2 + (457.5 493)2 + (457.5 469)2 i=1二1240.28(n 一 1) s 2上限% 2 (n 1)a1-29s 29 x 1240.28%2 (9) = -233 =4412.06(n 一 1) s 2下限 2 (n 1)a29s29x1240.28197 =566.630.98所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63, 4412.06）第九章 假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平a，确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型： 未知方差

17、。2，检验总体期望（均值）口根据题设条件，提出H。 = %（ 已知）； Y-M选择统计量上 一 t（n - 1）;s /、n据a和自由度n 1（n为样本容量），查表（课本P262表）得tJn-1）；由样本值算出X = ?和5 =?从而得到|，| = |予I;0 s/n作出判断若F0| tJn -1）,则接受H0若It （n -1）,则拒绝H01 01 a0典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压 力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆 破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力 为549公斤/寸2，问这种新

18、罐的爆破压与过去有无显著差异？ （a =0.05）解： H0: r = 549选择统计量/尸 B t（n -1） s / Jn:a =0.05, n1=4,查表得：1005（4）=2.776又 X = 5 （545 +. + 545）=543s2= 1(545 - 545)2 +. + (543 - 545)2=57.54543 - 549M5 / .J5=1.772.776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型:未知期望（均值）P,检验总体方差。2根据题设条件，提出H0：。=。0 （。0已知）；选择统计量X2（n-1） = （n-D.s2 ；O 2据a和自由度n1 （n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：为 2 (n - 1)和 % 2 (n - 1)； TOC o 1-5 h z 1 22由样本值算出X =?和s =?从而得到%02( n - 1) = (n -2 ；若% 2 (n-1) / 2(n-1) /2 (n-1)则接受假设，否则拒绝！ aa.1-022补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差。2=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果(单位:公斤)：578，572，570，568，572，570，572, 596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64?(a =0.0