十三章圆锥曲线

1、第十三章圆锥曲线方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=o的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点PO(xO,yO)在曲线C上=f(x0,y0)=0;点PO(xO,yO)不在曲线C上f(x0,y0)工0。两条曲线的交点：若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点PO(xO,yO)是C1,C2的交点fi(Xo,yo)=O=方

2、程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f2(x,y)=0有交点。二、圆：1、定义：点集M|OM|=r,其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2一般方程：当D2+E2-4F0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-D厂E)半2222径是.D2E24F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+匚)2=DE-4F2224当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D,

3、-E);22当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则|MC|Vru点M在圆C内，|MC|=点M在圆C上，|MC|r=点M在圆C内，其中|MC|=.(xo-a)2(y0-b)2。直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交=有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离6=C与寸A2+B2半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点

4、F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0vev1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹轨迹条件点集：(M|MF1+|MF2|=2a,|F1F2|2a.点集M|MF|=点M到直线

5、l的距离.图形M-z1方程标准方程22xy+=1ab(ab0)22x-y=1ab(a0,b0)y2=2px参数方程x=acos日=bsin日（参数日为离心角）=asec9y=btan日（参数日为离心角）x=2pt2J_2pt(t为参数)范围axa,byb|x|a,yRx0中心原点0(0,0)原点O(0,0)顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦占八、八、F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)F(卫,0)2准线a2x=c准线垂直于长轴，且在椭圆外2a

6、x=c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-卫2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c(cM-b2)2c(c*a2+b2)离心率e=c(0ce)ace=(eA1)ae=1【备注1】双曲线:2222x2a等轴双曲线：双曲线xy=_a称为等轴双曲线，其渐近线方程为y二-X，离心率e222xy2-0ab22xy2-0ab共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线22xy-22ab互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为a2_b2一。如果双曲线的渐近线为上5ab时,22与=心工0)它的双曲线方程可设为abx2

7、【备注2】抛物线:(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标是p(2,0)，准线方程x=-卫，开口向右；抛物线y2=-2px(p0)的焦点坐标2是(-?o),准线方程x誇，开口向左;抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-E，开口向上;22抛物线x2=-2py(p0)的焦点坐标是(抛物线x2=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=，开口向下.22抛物线y=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF抛物线y=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF2抛物线y=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF与焦点F的距离MF设

8、抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为p，顶点到准线的距离p，焦点22到准线的距离为p.已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，2p2则弦长AB=x,+X2+P或AB=(a为直线AB的倾斜角),y2=p,sina2p2则弦长AB=x,+X2+P或AB=(a为直线AB的倾斜角),y2=p,sinax/22p4AF=x,+卫(AF2叫做焦半径).五、坐标的变换:坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的

9、形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。9x,y)，在新坐标系xOyx二xh亠x二x_h或y=yky=y_k坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦占八、八、焦线对称轴椭圆22(x-h)(y-k)2+=1ab(c+h,k)2ax=+hcx=hy=k22(x-h)丄(y-k)2+2=1ba(h,c+

10、k)2ay=+kcx=hy=k双曲线22(x-h)(y-k)一2.21ab(c+h,k)2ax=+kcx=hy=k22(y-k)(x-h)一2.21ab(h,c+h)2ay=+kcx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)pV+h,k)2px=+h2y=k(y-k)2=-2p(x-h)p(-上+h,k)2px=+h2y=k(x-h)2=2p(y-k)p(h,-+k)2py=-一+k2x=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-+k)2py=+k2x=h六、椭圆的常用结论：点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以

11、长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切22若P0(xo,yo)在椭圆笃吿=1上，则过Po的椭圆的切线方程是X2abab22若F0(xo,y)在椭圆-yr=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为pi、P2,则切点弦P1P2的直线方程是ab22ab22椭圆二比=1(abo)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点RPF?二，则椭圆的焦点角ab2V形的面积为SfpF2=bta.22椭圆令g=1(abo)的焦半径公式|MF1|=aexo,|MF2|=a_ex)(吒(弋,0),F2(c,0)M(xo,yo).a

12、b设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，贝UMF丄NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N，贝UMF丄NF.2八yAB是椭圆2=1的不平行于对称轴的弦，M(X,y。)为AB的中点，贝UkoMkABabb22，即KABab2Xo。ayox若P)(x,y。)在椭圆二2=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2abaxxyoy2_2Xo2y0a2【推论】：【推论】：2xyx1、若P)(x0,y0)在椭圆一22-1内，则过Po的弦中点的

13、轨迹方程是2abab22xy12.2ab(abo)的两个顶点为A(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨22迹方程是冷一再=1.ab222、过椭圆刍+每=1(a0,b0)上任一点A(x0,y)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，贝U直线abBC有定向且kBcBC有定向且kBcbx0（常数）2ay。223、若P为椭圆笃每=1(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,卩卩人工PF2R二,ab则aY=tan-cot.ac224、设椭圆xy厂1(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2中,记.

14、F1PF2，PF1F2，F1F2P二，则有空de.sinP+sina225、若椭圆笃与=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当0vew、2-1时，可在椭圆ab上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.22xy6、P为椭圆一22=1(ab0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则ab2a-1AF21-|PAIPF1匸2a|AF1|，当且仅当AF?,P三点共线时，等号成立22椭圆口1=1与直线axabBy0C有公共点的充要条件是A2a2B2b2一化By。C）2.8、已知椭圆2=1(ab0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_OQ.(1)

15、ab丄.丄|OP|2|OQ|211；(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为ab4a2b2a2b2(3)2b2SOPQ的最小值是a2Ja+b22xy9、过椭圆2=1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于abP,则P,则|PF|MN|22Xy10、已知椭圆2=1(ab0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(Xo,O),aba2-b2a2-b2:x2211、设P点是椭圆2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记FfF?-，则ab(1)|PF1|PF2|=2b.(2)S勒F2=b2ta1+COS廿22x12、设A、B

16、是椭圆pa2爲=1(ab0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB=，bPBA=：,BPA二,PBA=：,BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|二22ab|cos：|222a-ccos22tan：tan：=1-e2.(3)SPtan：tan：=1-e2.(3)SP2ab丄AB22cOtb-a22xy13、已知椭圆2=1(ab0)的右准线I与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、abB两点，点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过椭圆

17、焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2、PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半

18、径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)225、若PXxny。)在双曲线xy=1(a0,b0)上,则过F0的双曲线的切线方程是彎-马=1.abab6、若P0(Xo,yo)在双曲线2=1(a0,b0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点ab弦P1P2的直线方程是XX一与=1.a2b2227、双曲线笃爲=1(a0,bo)的左右焦点分别为abF1,F2,点P为双曲线上任意一点RPF2二，则双曲线的焦点角形的面积为曲线的焦点角形的面积为SF1PF222Xy8、双曲线2=1(a0,bo)的焦半径公式：(F1(-c,0),F2(c,0)当M(Xo，

19、y)在右支上时,ab|MF|=ex)a,|MF2|=ex3-a；当M(Xd,y0)在左支上时，|MR卜-exja,|MF2卜-exj-a。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，贝UMF丄NF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,M,A2P和A1Q交于点N，贝UMF丄NF.2Xa11、AB是双曲线2y2-1(a0,b0)的不平行于对称轴的弦，M(x,y)bAP和AQ分别交相A1P和A2Q交于点AB的中点，则KKbkOMAB2ay，即KABb2xa2y12、若P0X0Y0

20、)在双曲线2yx0 x2=1(a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是-0rbayy22X0互2_以ab2x13、若F0(x0,y0)在双曲线a22yx2=1(a0,b0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2ba2yX0Xyy.2-2-bab2【推论】：22P1、P2P1、P21、双曲线笃-=1(a0,b0)的两个顶点为A(-a,0)A(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于ab22时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是笃每=1.ab22xy2、过双曲线2=1(a0,bo)上任一点A(x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，abb2X则直线BC有定向且kBC2(常数).ay22

21、3、若P为双曲线2$=1(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点，-PRF?二,abc_aapc-aPaf则盯ro巧(或)4、设双曲线2T(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在厶PF1F2abTOCo1-5hzsinac中，记.F1PF2二：，.PF1F2二、F1F2P二，则有e.士(sinYsin0)a225、若双曲线笃-爲=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1vew、,2-1时，可在ab双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.226、P为双曲线冷-与=1(a0,b0)上任一

22、点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则ab|AF2|-2a0,b0)与直线AxByC=0有公共点的充要条件是Aa-Bba0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP丄OQ.ab(1)(1)111|OP|2|OQ|2_a2；(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2(3)2b2SoPQ的最小值是-4-2b-a229、过双曲线笃-每=1(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线ab交x轴于P,贝UPFe.|MN|222xy10、已知双曲线2=1(a0,b0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x),0),

23、ab2222则ababTOCo1-5hz则x或x.aa22xy11、设P点是双曲线2=1(a0,b0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记7，则ab(1)|PF1|PF2|=12b.(2)SF2=b2cotf.2x12、设A、B是双曲线-a1-cos日222ab|cos：|22ab|cos：|P1(a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB-,-PBA=2,BPA=Jc、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PAF222.|a-ccos”|22匕2(2)tantanP=1e2.(3)S由ab=22cot戈b+a13、已知双曲线2T（a0,b0）的右准线I与x轴相交于点E，

24、过双曲线右焦点F的直线与双曲线相ab交于A、B两点，点C在右准线丨上，且BC_x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.TOCo1-5hz15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项抛物线的常用结论：/4ac-b2b、2（）2y=2px（p）则焦点半径PPF=x12PPF=y+_22y=2px（p）则焦点半径ay加y+c=x顶点4a2a2;x=2py（p）则焦点半径为通径为2