平面几何问题与证明课件

1、 第七章 7.2几何证题的推理方法7.1几何逻辑第七 章 平面几何问题与证明7.3几何证题7.1 几何逻辑7.1.1 命题一、命题表达对某一事物的性质作出判断的词语。 命题有真假命题之分。我们主要关注的是几何真命题。符合客观实际的是真命题。包括：几何原始命题（公理或公设）和几何基本定理。 二、命题的基本关系命题的基本关系是指四种命题“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”之间的关系，其中原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。真命题称为定理。三、两种特殊命题 一般情况下原命题与逆命题不等价，但有两种命题除外。即同一性命题和分断式命题 。1. 同一性命题命题的条件和结论所含事项都是唯一存在的命题。

2、 例：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线。逆命题：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。对象“高”是唯一的，对象“平分线”也是唯一的。 (真命题)(也是真命题)例：中国是世界上人口最多的国家。世界上人口最多的国家是中国。2. 分断式命题在一个命题中，若假设与结论有相同的款数，都把事物的可能性一一到尽，并且双方双方各自彼此互斥，那么这样的命题 称为分断式命题。例：设CM为ABC的中线，则当C 90 时，是分断式命题。分断式命题与它的逆命题是等价命题。设一个分断式命题含有n个命题，其条件和结论各为并且下证证：从这n个命题中，设为不失一般性，取出n-1个来，由分断式命题的特性，这n -1个命题联合起

3、来实在无异议说由此得同理可得所以7.1.2 推理与证明推理的过程一般为：三段论。推理一般包括：演绎推理和归纳推理。从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程，叫做推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。是一般到特殊的推理。归纳推理是由特殊事理的成立来推出一般事理的成立。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。的正确性必须通过逻辑证明来保证，数学结论即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。一、逻辑规律同一律 矛盾律 排中律 充足理由律同一律是指在同一个论证过程中，要求所涉

4、及的任何要素（概念，范围，性质等）保持同一性。在这个推理中，两个前提中的“人”不是同一概念。第一个“人”是集合概念，第二个“人”是非集合概念，因此，犯了“混淆概念”或“偷换概念”的错误。如在同一思维过程中，概念必须保持同一。违反这一要求的逻辑错误,称为“混淆概念”或“偷换概念”.例如：世间万物中，人是第一个可宝贵的。我是人。因此，我是世间万物中第一个可宝贵的。同一律的公式通常是：。 矛盾律是指在论证过程中，一个判断与其相矛盾的判断不能同时成立，即相互矛盾的判断至多有一个成立。 矛盾律的公式通常是：其中至少有一个是假的。注意：矛盾律只是指两个矛盾的判断不能同时为真，但是两个矛盾的判断可能同假。例

5、如“空间两直线必相交”与“空间两直线必平行”。例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。 排中律是指在论证过程中，一个判断与其互斥的判断必有其一成立，即相互排斥的判断不能都不成立。 排中律的公式是： 必有一真。 例如：要证明不是有理数，只要证明是有理数不真就可以了。 充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等主观上的“臆想” 得出结论。 公式是：它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满足：第一，论据 A 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误1. 偷换论题扩大、缩

6、小或改变，违反“同一律”。把命题的条件或结论中的某些涵义加以例1 设ABC边BC的中垂线与 的平分线交于E点， 如图所示： 过E点分别向AB、AC作垂线EF、EG，并连接EB、EC， 则由条件易得 AEFAEG ,BEFCEG ,从而AB=AC,即ABC为等腰三角形。 上述过程是针对任意三角形，但结果却能得出ABC是等腰三角形，这是为什么？是什么地方存在问题？ 2. 违反“充足理由律”：使用虚假或预期的理由。例2 已知在ABCD中，ABCD，BCAD，求证： DB。 误证：连接A、C，并作AC的垂直平分线l；作它与ABC关于l对称；连接D、B， 在四边形ADCB中 ，因为所以所以又所以上述过程

7、错在哪里？循环论证：违反“充足理由律”，使用待证的结论。 例3 如图，设AD=2DC， 则AB为圆之切线。误证： 因为所以所以AB为圆之切线。 上述过程错在哪里？（用到AB是切线了！）7.2 几何证题的推理方法 几何命题的推理证明方法类型较多。证题时，我们需要寻求证明的思路，这就是证明的关键和困难所在，由于思维过程的顺逆，就有综合法与分析法 之分。7.2.1 综合法与分析法1. 综合法（顺推法）：由因导果即从已知题设出发，逐步顺推，公理进行一系列的逻辑推理，根据已知的定理、定义、最后达到要证明的结论。综合法由条件出发，路径来解决问题。支路很多，事先不知道通过什么例1 已知PA、PB切O于A、B

8、点，PO交AB于M点,QR是过M点的任意一条弦，求证OP平分QPR。2. 分析法（逆求法）：执果索因 即从待定结论出发，使之成立的根据，过程可概括为：从未知看需知，逐步靠拢已知。逐步引用公理、定义、定理寻找直到达到已知事实而后此。它的思考例2设圆内接四边 ABCD 的两组对边分别交于E、F,已知RE平分E，RF平分F，求证：RERF。 有些命题，在证题过程中，单一地使用综合法或分析法，往往难以奏效。这是可以采用由题设到题断和由题断到题设的“双向”思考，使条件与结论之间的距离逐渐缩短直至完全沟通。 由于逆求法利于思考，顺推法宜于表达，所以习惯上对于一个命题，多半先用逆求法寻求解法，然后用顺推法有

9、条理的写出来。3. 分析与综合法例3：过P向O作切线，切于A、B，CD为O的直径，AD、BC相交于E点，证明PECD。 7.2.2 直接证法与间接证法 任何命题都有和它等价的命题，因此要证明某个命题的正确性，可以直接从原命题着手，也可以间接地从它的等效命题着手。由于这两方面的不同，证明几何命题的方法往往可以分为直接的与间接的两种证明方法。一、直接证法从题设出发， 根据已知的定理、定义、公理进行一系列的逻辑推理，最后得出命题的结论。二、间接证法有些命题，往往不易甚至不能够直接证明原命题成立，根据等价关系间接判断原命题成立，把这种证法叫做间接证法。间接证法多半是证明它的逆否命题成立。可以改证具体为

10、：二、间接证法有些命题，往往不易甚至不能够直接证明原命题成立，根据等价关系间接判断原命题成立，把这种证法叫做间接证法。已知：在ABC中，BE、CF是B、 C的平分线，且BE=CF，求证： B= C。改证它的逆否命题已知：在ABC中，BE、CF是B、 C的平分线，且B C,求证： BE CF 。但在实际操作中，由于困难守恒定律，逆否命题也不易证明，有些命题的证明原命题成立，那么可以采用下面的方法间接的具体为：即与某公理或某定理、或题设、或临时假定所不容或自相矛盾。这种间接证法，通常叫做反证法。若结论的反面只有一款时，否定了一款便完成了证明,这种较单纯的反证法，叫做归谬法。(2) 若结论的反面有若

11、干款时，必须驳到其中每一款，这种较繁的反证法，称为穷举法。注：反证法与证原命题的逆否命题是不同的两种证法。 例4 如果梯形两底的和等于一腰长，那么这腰同两底所夹的两角平分线必过另一腰的中点。 例5则四边形ABCD一定有内切圆。凸四边形ABCD中，已知AB+CD=AD+BC，间接证法的另一种形式是同一法。比较常见。这种方法在几何中我们在前面已经指出如果一个命题是同一性命题，那么这个命题与它的逆命题等价，所以若是同一性命题，证原命题有困难时，可改证它的逆命题。用同一法证明命题“具有条件A的图形F必具有性质B ”可按下列步骤进行：(1)另作一图形使它具有性质B；(2)证明所作的图形符合条件A；(3)

12、根据唯一性，与图形F重合，从而确定图形断言F具有性质B。同一法的逻辑依据是“同一事物应具有相同的性质。”例6 （梅涅劳斯定理Menealaus） 设X、Y、Z是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，求证X、Y、Z三点共线的充分必要条件是： 例7 在正方形内有一点P，满足求证：PCD是正三角形。 例8 (锡瓦定理Ceva) 设X、Y、Z是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，求证AX、BY、CZ三线共点或相互平行的充分必要条件是： 例9 (西姆松定理Simson) 设P是 ABC外接圆上任一点，D、E、F分别为BC、CA、AB边上的正射影，则D、E、F三点共线。(此线称为西姆松线)7.3

13、 几何证题本节根据几何问题的类型作分别探讨。 7.3.1 几何量的相等关系证明线段(角)相等的 一般途径：(1)证其是等腰三角形的两腰(两底脚)；(2)证其是 全等三角形的对应边(对应角)；(3)证其是平行四边形的对边；(4)证其是同圆或等圆中的有关相等线段(有关等角定理);(5)利用平行截割(平行线间的有关等角定理)；(6)利用有关 比例线段，等等。例1 已知 都是等边三角形， 在同一直线上，连接BD和AE，求证：BD=AE。B、C、E例2 正方形ABCD，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、CF相交于P，求证：AP=AB。 例3 在ABC中，AD BC，CE AB，取AF=AD，FG/

14、BC，求证：CE=FG。7.2.3 几何量的度量关系 本节讨论几何量的和、差、倍、分等关系 (一)线段、角的和差证明线段a =b c,常常可作一线段p= b c,然后再证线段p=a。或作线段q=a c,然后证明q=b。(关于角也一样)以线段和的形式为例，具体地讲(1)延长法：欲证a = b+c，c(或b)，则延长b(或c)使延长部分等于得b+c = p，然后改证p = a即可。(2)截短法：欲证a = b+c，则在a上截取一点，使其内分a其中一部分为b(或c)，两部分，然后证另一部分为c(或b)。(3)媒介量：欲证a = b+c，或等量。改证a与b+c同等于一个量常用的定理有：1. 直角三角形

15、斜边上的中线，为斜边的一半。2. 直角三角形中，30角所对的边，等于斜边的一半。 4. 三角形的任一中线被重心分为2比1。 3. 三角形的中位线定理。 5. 三角形的外角等于不相邻的内角之和。7. 圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。6. 梯形两腰中点连线等于两底边和的一半，两对角线中点连线等于两底边差的一半。例1 已知在ABC中，C=2B，1=2，求证：AB=AC+CD。例2 ABCD是圆内接四边形， O与AD、DC、BC相切， 且圆心O在AB上， 求证：AB=BC+AD。 例3 BE、CF是ABC的两角平分线，点P是EF的中点，过P向三边BC、CA、AB引垂线，其垂足为L、M、N，求证：P

16、L=PM+PN。(二)线段及角的倍分 证明倍分关系式，一般转化为证明相等关系式，通常采用的方法有加倍法和等分法。 (1)加倍法：欲证某大量等于某小量的n倍，则可试作出等于小量n倍的媒介量，然后证大量与媒介量相等。(2)等分法：欲证某大量等于某小量的n倍，则可试作出等于大量倍的媒介量，然后证小量与媒介量相等。 例4 设O为ABC的外心，OM BC，M为垂足，H为ABC 的垂心，则 AH = 2OM。例5（托勒密定理）设ABCD是圆内接四边形，求证： AC、BD四边形的对角线，注：对于任意的凸四边形ABCD，有且等号当且仅当四边形ABCD内接于一个圆时成立。7.3.3 几何量的不等关系证几何量的不

17、等关系常用的一些定理：(1) 三角形两边之和大于第三边；(2) 三角形中，大边的对角较大，大角的对边较大；(3)外角定理；(4) 垂线与斜线、斜线与斜线的比较定理；(5) 两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大；反之，第三边大的夹角也大；(6)同圆或等圆中两弦或两弧的比较定理；等等。例1 已知P是ABC内的一点, 求证：例2 在 ABC中，AB=AC，P为ABC 内一点，且证明：PCPB。 连BP、CP，例3 在 ABC中，AB AC，AD是中A的平分线，P为AD上任意一点，求证：AB-ACPB-PC。例4 在 ABC中，设ABAC，过B作BEAC于E，过C作CFAB

18、于F，求证：AB+CFAC+BE。 (1) 转化成等角关系（平行线判定定理）；7.3.4 几何量（几何形）的其他关系几何形的位置关系：主要包括线段（直线）的平行和垂直或者有关平行和垂直的问题。 1平行问题一般途径(2)利用平行四边形；(3)利用中位线；(4)利用比例（平行截割逆定理）；等等。 例1 已知：在ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，BF，CE交于D，AD的延长线交BC于G， BG=GC, 求证： EF/BC。 的外接圆在A、C两点之切线交于E，则DEBC 。例2 设在ABC中，BC边的中垂线交AB于D，且ABC2垂直问题一般途径断定二线垂直的定理，常用的有b. 利用勾股定理和射影

19、定理的逆定理可证明垂直 ；c.利用等腰的“三线合一”可证明垂直； a.利用两线垂直的判定定理。d. 转化例1 设两圆相外切于A， 一直线割 设B为PQ弧的中点， 求证：ABAC。 例2 如图，在等腰ABC中，过底边AC的中点M作BC的垂线于H，取MH的中点P，求证：AHBP。例3 ABC 内接于自B、C向AC、AB作垂线，其垂足各为E、F，求证：OAEF。 二、几何量（几何形）的结合关系 1几何量（几何形）的位置结合关系： 主要有：三点的共线问题；三线共点问题；四点共圆问题；三圆共点问题及其他几何量（几何形）的位置结合关系。 ABC例1 设PB、PC分别是 平分线， 的两角B、C的外角且它们相

20、交于点P， 求证：P在 A的平分线上。 例2 在线段AB上取一点M，在一侧分别以AM、MB为边作正方形ADCM、BEHM，设两正方形的外接圆交于另一点N，试证：(1)B、N、C共线；(2)A、H、N共线；(3)D、N、E共线。 例3 证明ABC的外心O,重心G,垂心H及九点圆心P共线. 例4 以ABC的两边AB、AC为边分别向外作正方形ABEF和正方形ACGH，过A作BC的垂线AD，求证AD、BG、CE三线共点。 例4 已知：X，Y，Z分别是ABC三边AB，BC，CA求证： 上的一点。三圆共点。(密克定理) 例5 四边形ABCD两组对边分别交于E、F，如图所示，求证ADE、ABF、BCE及CD

21、F的外接圆共点。 2几何量(几何形)的度量结合关系本节讨论几何中的定值问题 定值：在给定的图形中，某元素按一定规律运动(即满足某条件)，它的某个有关量始终保持不变，这个不变的量叫做定值。其特点是：(1)题设中都包含着变动元素（可变化运动的元素）和固定元素（不变量）。(2)图形在变化过程中，它的某些性质或数量关系不因图形的变化而变化 。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法等。殊情形着手，去发现与动点有关的这个量。 由于欲求的定值问题中，定值究竟有多大，事先往往没有给出，因此定值的探求就成为解题的关键。普遍性包含于特殊性之中。要找到普遍规律，应从特还需证明在一般情形和特殊情形下这个与动点有

22、关量的一致性，证明符合于所给条件的任两个量总是相等的。即此时定值问题已转化为相等或和差倍分等问题的证明。解决某个量是定值的另一种处理方法为： 例1 菱形ABCD的对角线AC为定长，如图，任意作菱形ABCD的内切圆的切线交AB、BC分别于M、N，则AMCN为定值。 例2 已知：Oz是xOy的平分线，A是Oz上的一点，经过A任意作一条直线，分别交Ox，Oy于P，Q。为定值。求证： 例3 设C为定圆直径AB上的一定点(不在圆心O上)，M、N为圆上的两动点，满足ACM =BCN，则MN与AB交于定点G。 例4 在ABC的边AB上任取一点P，过P分别作AC，BC的平行线交BC于Q，交AC于R。问：平面上

23、是否存在一个定点M（不同于C），使得C，Q，M，R四点共圆。 例5 A、B 为平面上两定点， C为平面上位于直线 AB同侧的一个动点， 以AC、BC各为边， 作正方形CADI， CBEJ 。 外侧无论C点取在直线AB同侧的任何位置， 求证：中点M的位置不变。 DE的 例6 过相交两圆的一个交点P作两直线交一圆于A，B， 交另一圆于 求证：AB与 的交角 为定值。 并求出其交角的值。第八章 初等几何变换 本章主要介绍初等几何变换包括两大类：(1)合同变换（保持形状和大小不变）(2)相似变换（保持形状不变）8.1 图形的相等或合同设有两个点集合构成的两个图形 能建立这样的一一对应， 它们的点之间使

24、 中任两点的连线段总等于 中两个对应点的连线段， 那末 称为相等或合同。 合同的图形有如下的性质：（1）具有反身性、对称性和传递性；（2）对应角相等；（3）与共线点对应的是共线点。图形的相等有两种情况： 在平面几何中，两个相等图形，若有两对对应点 重合， 或对称于重合直线AB 。则任何第三对对应点或相重合两个全相等的平面图形 ：两个镜照相等的平面图形：只要有两对对应点叠合，便完全叠合。再也无法叠合。 不将其中一个离开平面，在前一种，称两图形全相等 ； 在后一种，称两图形镜照相等。 8.2 合同变换定义：一个平面到自身的变换，若保持任意两点间的称这个变换为合同变换。距离不变，设A是所有平面上合同

25、变换R的全体， 构成一个变换群。 则A关于变换的合成(4)平面上的合同变换有不共线的三对对应点完全确定。 二重点和二重线。经过一个变换没有变更位置的点和直线，称为这个变换的第一类对应三角形沿周界的环绕方向相同，第二类对应三角形沿周界的环绕方向相反。(5)合同变换有两类：合同变换主要有三种基本类型：平移、旋转、轴反射1. 平移变换： 将图形F上的所有的点都按一定的方向 (称为平移方向) 移动一个相同的距离 (称为平移距离)， 图形 移动后的点构成图形F到图形 的变换T 称为平移变换， 记为 简称平移。平移变换的性质：(见书本P229)例1 已知：在 中，P是形内的一点，连结 PA，PB，PC，P

26、D，如果 求证： 证：(利用平移变换解题) 易得结论成立。 例2 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。2. 旋转变换将图形F上的所有的点都绕平面上的一个定点O (旋转中心)旋转一个相同角度(旋转角)，旋转后的点构成图形图形F到图形的变换R称为旋转变换，简称旋转。记为顺时针旋转取负值。逆时针旋转取正值，(见书本P230)旋转变换的性质：中心对称变换 将图形F上的所有的点都变为关于平面上的一定点O(对称中心)的对称点，变换后的点构成图形图形图形F到的变换称为中心对称变换，简称中心对称。以点O为对称中心的中心对称变换相当于以点O为旋转中心，旋转角为的旋转变换。中心对称

27、变换的性质：(见书本P231)P是ABC内任一点。例3 已知：O是ABC内一点,求证： 例4 设P是正ABC内的一点， 求ABC的边长。已知点P在正三角形ABC内,求正三角形的面积。且例5例5 已知：M是斜边AB的中点， P在AC上，Q在BC上。求证： 3. 轴反射变换将图形F上的所有的点都变为关于平面上的一条定直线l(对称轴)的对称点，变换后的点构成图形图形F到图形的变换 S 称为轴反射变换(或轴对称变换)，简称轴反射（或轴对称），记为轴对称变换的性质：(见书本P233)例6 在ABC中， 使 P是形内一点，度数。例7 已知： 在ABC中，DE平分 AD为中线，DF平分 交AB于E，交AC于F。 例8 已知：设P，Q，R分别是ABC的边AB，BC，CA上的点，且 求证： 8.3 位似和相似变换一、相似变换1. 相似图形：如果图形 的点与点之间有一一对应 关系,并且图形F上的任意两点之间的距离与图形 恒等于同一个常数 上两对应点间的距离之比，则称 相似， k为相似比。 2. 相似图形的性质1）相似图形具有反身性、对称性、传递性；2）对应线段成比例；对应角相等；3）与共线点对应的是共线点。4）当相似比 时， 图形 合同是相似的特殊情景。合同。3. 相似变换：看成是由图