第七章2线性微分方程组

1、线性微分方程组线性微分方程组基本知识线性微分方程组非线性微分方程组高阶线性微分方程南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月1线性微分方程组的有关概念1 线性微分方程组的定义定义形如 a(t)x a(t)x af (t)x(t)x11111221nn1 x a(t)x a(t)x a(t)x f(t)22112222nn2 a(t)x a(t)x a(t)x fx(t)nn11n 22nnnn的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.其中aij (t)(i, j, 1, 2, n), fi (t)(i 1, 2, n)在a t b上连 续.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系22 函

2、数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为 x1 (t) x(t) 每一xi (t)(i 1, 2, n)在区间I上有定义 .x(t) 2 x(t) nn n函数矩阵A(t)定义为 a11a12 (t) t)每一aij (t)在I上有定义. aa(t) t)2nn2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系3(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念如果函数向量x连续函数)的每一元素都是区间连续a t b上的 可微函数,)在a t b上 可微,则称x 可积 可积函数此时,它们的导数与积分分别定义为 a(t) at) x (t) 111n1x(t)x (t) ,.2 a(t) x

3、 (t) at)n2nn2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4x (s)ds t注:1关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.t0tx2 (s)ds ttx(s)ds t00txn (s)ds 0ta(s)ds ttttta(s)dsa(s)ds(s)ds 11121nt000tttt00an1 (s)dsan 2 (s)dsttttann (s)ds 0tt002013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系53 一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组: a(t)x a(t)x a(t)x f (t)x11111221nn1 x a(t)x a(t)x

4、a(t)x f(t)(1)22112222nn2 a(t)x a(t)x a(t)x fx(t)nn11n 22nnnnA)nn ,x , x )T ,若记2nf (t) ( f (t), f(t)T(t), f12n则(1)可写成dx A(t)x f (t)(1)dt2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系6例1验证向量 etu(t) te是初值问题x(0) 1 1在区间 t 上的解.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系74n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题 a (t)x(n1) a(t)x x(n)f (t)1n(2)

5、, x (t ) , x(n1) (t ) x(t01020n其中ai (t)(i 1, 2, n), fi (i 1, 2, n)为常数 . t b上连续, t0 a, b,x x, x x, x x, ,x x(n1) ;若令:1n232013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系8x2 ,x3 ,xn ,x x(n) a (t)x a(t)x a (t)x f (t),n1nn121n而且:x (t ) x(t ) , x (t ) x (t ) ) ) x(n1) (t, x (t10012002n00n即方程(2)可化为2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系9则有:, xx,

6、 x x(n1).n 000a100010a001000 x xt) f (t)t)11(3)1 ) 2 x(t 0 n 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10例2将初值问题 2x 8tx et , x(0) 1, x (0) 4x化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.x (t) x,设 x (t) x,则有解:218tx et 8tx 2xet ,x12 8txxx ,12即有 2x et ,x212 0 1 x (t) 0 x (t)也即 1 1t 2 x2 (t) e x2 (t) 8t x1 (0) 1 x (0) 4 22013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系11

7、注: 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微方程组,反之却不成立.分方程如:方程组10 x (t) x (t)1 1 x2 (t) 1 x2 (t) 0不能化为一个二阶微分方程.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系12线性微分方程组的一般理论线性微分方程组线性微分方程组非高阶线性微分方程2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系13一阶线性微分方程组:dx A(t)x f (t),(1)dt这里A(t)和f b上连续,若f (t) 0则(1)变为dx A(t)x,(4)dt称(4)为一阶齐线性微分方程组.若f (t) 0,则称(1)为非齐线性微分方程组.2013年5月南京航空

8、航天大学 理学院 数学系14如果x1 (t), x2 (t), xm (t)是方程组(4)的m个解,定理2则它们的线性组合c1 x1 (t) c2 x2 (t) cm xm (t)也是方程组(4)的解, 这里c1 , c2 ,cm是任常数.由于xi (t)(i 1, 2,m)是方程组(4)的m个解证明:dxi则有i 1, 2, m)x (t),idtmdx (t)mdm cc x (t)所以icA(t)x (t)iiiiidtdti1i1i1m A(t ) ci xi (t )i 12013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系15线性微分方程组1 叠加原理dx A(t)x, (4)dt2 函

9、数向量组线性相关与无关设 x1(t), x2 (t), xm (t) 是一组定义在区间a,b定义上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数C1,使得对所有a t b ，有恒等式C , ., Cm ,2c1 x1 (t) c2 x2 (t) cm xm (t) 0则称x1(t), x2(t) , ., xm(t)在区间a, b上线性相关;否则就称这组向量函数在区间a,b上线性无关.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系16例1证明:函数向量组cos2 t 1 sin2 t x (t) ,x (t) ,1t1t12在任何区间都是线性相关的.取c1 1, c2 1,则cos2 t (1 si

10、n2 t)证明:0 0 ,c x (t) c x (t)11t tt 01122故x1 (t), x2 (t)在任何区间线性相关2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系17例2证明:函数向量组 ete2t 0 3t 3t x (t) 0 ,x2 (t) e , 1 x3 (t) e ,1et 0 在(-,+)上线性无关.证明:要使 ete2t 0 c 0 ce3t 0e3t cc x (t) c x (t) c x (t)1 23112233et 0 1 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系18则需 ete2t c 00e3t10e3t11 0 , t e3t0c 2 et0

11、c0 3 et 0ete2t e3t0因为 2e4tt 0,c1 c2 c3 0,所以x1 (t), x2 (t), x3 (t) 线性无关.故2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系193函数向量组线性相关与无关的判别准则(1) Wronski行列式设有n个定义在a t b上的向量函数 x11 (t) x12 (t) x1n (t) x(t) x(t) x(t)x (t) , x (t) , x (t) 21222n12n x(t) x(t) x(t)n1n 2nn由这n个向量函数所的行列式x11 (t)x21 (t)x12 (t)x22 (t)x1n (t)x2n (t) ,W x

12、(t), x (t), x (t) W (t) 12nxnn (t)xn1 (t)xn 2 (t)称为这n个向量函数所的Wronski行列式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系20t b上 b.(2)定理3 如果向量函数x1 (t), x2 (t), xn线性相关,则它们的Wronski行列式W)0,t b上线性相关,因x1(t), x2 (t), xn证明:从而存在不全为零的常数c1 , c2 , cn ,使c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn b故对任一确定的t0 a, b, 有c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0,即常向量组x

13、1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性相关,故W (t0 ) 0,t b.21由t0的任意性有W2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系(3)定理4如果(4)的解x1 (t), x2 (t), xn (t)线性无关, b.则它们Wronski的行列式W若有t0 a, b, 使得W (t0 ) 0,证明:“反证法”则 数值向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性相关 ,从而存在不全为零的常数c1 , c2 , cn ,使得c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0,现在考虑函数向量x(t) c1 x1 (t) c

14、2 x2 (t) cn xn (t)(#)x(t)是(4)的解,由定理2知,2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系22该解x(t)满足初始条件 x(t0 ) 0由(#)知,x(t) 0因此,由解的存在唯一性定理知,c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn b即有t b上线性相关,故解组x1(t), x2 (t), xn注1:(4)n个解x1 (t), x2 (t), xn (t)线性相关 W(4)n个解x1 (t), x2 (t), xn (t)线性无关 Wt b.注2:t b.即(4)n个解x1 (t), x2 (t), xn (t)所的Wronsky行列式,或者恒等于零,

15、或者恒不等于零.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系23(4)定理5(4)一定存在n个线性无关的解.a, b, 由解的存在唯一性定理知,任取t0证明:(4)一定存在满足初始条件100010 x (t ) , x (t ) , x(t ) 11020n000 的解x1 (t), x2 (t), xn (t);t a, bW (t0 ) W x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 ) 1 0且t b上线性无关.故x1(t), x2 (t), xn2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系244 通解结构及基本解组如果x1 (t), x2 (t), xn (t)是(4)n

16、个线性无关的x(t)=ci xi (t)是(4)的通解,i1其中c1,c2,cn是任常数.(4)的任一解x(t)均可表为x1 (t), x2 (t), xn (t)的线性组合.由已知条件,定理6解,则n证明:nx(t)=ci xi (t)是(4)的解,它含n个任常数,i12013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系25又因为x(t)x(t)x(t)11121nx21 (t)xn1 (t)x22 (t)xn 2 (t)x2n (t)xnn (t)xn ) W (t) 0(c1, c2 , cn )故c1,c2,cn彼此独立,于是x(t)=ci xi (t)是(4)的通解.i1n且x(t0 )

17、x0 ,(2) 设x(t)是(4)的任一解,因x1 (t), x2 (t), xn (t)是(4)n个线性无关的解,从而可知数值向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性无关 ,2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系26n维线性空间的基, 故对向量x(t0 ) x0 ,即它们一定存在唯一确定常数c1,c2 ,cn , 满足x(t0 ) c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ),现在考虑函数向量x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)x(t)是(4)的解,由定理2知,由上式知, 该解x(t)满足初始条件x(

18、t0 ) x(t0 ) x0 x(t) x(t)因此,由解的存在唯一性定理,应有x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)即2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系27推论1(4)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组: (4)n个线性无关解x1 (t), x2 (t), xn (t);为(4)的一个基本解组.注1:注2:注3:(4)的基本解组不唯一.(4)所有解的集合一个n维线性空间.由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系28一组(n-1)次

19、可微的纯量函数x1 (t), x2 (t), xn (t)首先有:线性相关的充要条件是,向量函数x1 (t)x2 (t)xn (t) , x (t)xx(t)(t) , ;1(n2n() (n(n 1)1)1)x(t)x(t)x(t) 12n线性相关.设x1 (t), x2 (t), xn (t)线性相关 ,证明:则存在不全为零的常数c1, c2 , cn ,使得c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0将上式对t微分一次,二次,n-1次得2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系29c x (t) c x (t) c x (t) 01122nnc x (t) c x

20、(t) c x (t) 01122nnc x (n1) (t) c x (n1) (t) c x(n1) (t) 011即有22nnx1 (t)x2 (t)xn (t)x (t)xx(t)(t)c c c 0, ()1(n2n1 2 n (n(n1)1)1)x(t)x(t)x(t)12n即向量组(*)是线性相关的.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系30反之,如果向量组(*)是线性相关,则存在不全为零的常数c1 , c2 , cn ,使得( )成立当然有c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0这表明x1 (t), x2 (t), xn (t)线性相关.从本节定理

21、6立即得到2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系31推论2如果x1 (t), x2 (t), xn (t)是n阶微分方程n1d n x t)x 0a1dtnn个线性无关解;其中ai (t)(i 1, 2, n)是a t b上连续函数,则它的任一解x(t)可表为x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)这里c1 , c2 , cn ;是相应确定的常数.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系325 解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义如果一个n n矩阵的每一列都是(4)的解,则称这个矩阵为(4)的解矩阵.如果该矩阵的列在a, b是(4)的线性无关解组,则称该解

22、矩阵为(4)的基解矩阵.的矩阵.基解矩阵-以基本解组为列以(4)基本解组1(t),2 (t),n (t)为列矩阵,用(t)表示,即(t) 1(t),2 (t),n (t).的2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系33(4)一定存在一个基解矩阵(t),(2)定理1*如果 (t)是(4)的任一解, 那么 (t) (t)C,这里C是确定的n维向量.(4)的解矩阵(t)是基解矩阵充要条件是:t b),而且,如果对某一t0 a, b,(3)定理2*det (det (t0 ) 0,则det(2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系34注1:行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关. 1t 2

23、 t10 0t 如矩阵 00 nn矩阵(t)是(4)基解矩阵充要条件是:注2:t b; 且t0a, b使det (t0 ) 0.t)2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系35ettet (t) 0例3验证是方程组et的基解矩阵.2 解:由于et (t 1) 11 ettet 11 (t)et(t) 001 001etet 故(t)是解矩阵,et0tet et e 02tdet (t) 又由于所以(t)是基解矩阵2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系36推论1* 如果(t)是(4)在a t b基解矩阵,C是非 奇异n n常数矩阵,那么(t)C也是在区间a t b上的基解矩阵.由于

24、(4的)基解矩阵(t)满足证明:t b;t)令(t) (t)C, a t b;则 (t) (t)C A(t)(t)C A(t)(t)故(t)为(4)的解矩阵, 又由C的非奇异性det (t) det (t) det C 0,a t b因此, (t)即(t)C是(4)的基解矩阵.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系37如果(t),t b上两个基解推论2*矩阵, 那么, 存在一个非奇异n n常数矩阵C, 使得在区间a t b上, 有(t) (t)C.证明: 由于(t)是基解矩阵, 故其逆矩阵1 (t)存在,令1(t)(t) X (t),则X (t)是n n可微矩阵,且即(t) (t) X

25、 (t),t b;det X (A(t)(t) (t) (t) X (t) (t) X (t)于是有 A(t)(t) X (t) (t) X (t) A(t)(t) (t)(t) X (t) 0,t b;由此2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系38 t b;即X 故x(t)为n n常数矩阵且非奇异, 记作C(t) (t)C,即有 ete3t (t) 例4验证是方程组et3te 21 x,x基解矩阵,并求其通解.12分别用1(t),2 (t)表示矩阵(t)的第一,二列,即解: et e3t ,1 (t)(t),2et3te2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系39 et1 et

26、221 (t) (t) 21211etet1 1 e3t 21 (t)223t3e2 (t) 12 123t 3t e3e因此1(t),2 (t)是方程组的解, 即(t)为解矩阵,etete3te3t又由于det (t) 2e 04t故(t)是基解矩阵,其通解为 c et ete3t c c e3tx (t)C 112 etc et c e3te3tc2 122013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系40dx A(t)x f (t),(1)dt b上已知的n n连续矩阵,这里At b上已知n维连续列向量.1 非齐线性微分方程组解的性质f如果(t)是(1)的解,而 (t)是(1)对应的性质1

27、齐线性方程组(4)的解,则(t) (t)是(1)的解.如果(t), (t)是(1)的两个解,则(t) - (t)性质2 是(4)的解.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系41二 非线性微分方程组dx A(t)x, (4)dt设f (t) f1 (t) f2 (t) fm (t);且xj (t)是方程组性质3mx =A(t)x f (t)的解,则x= x (t)是方程组(1)的解.jjj 12 通解结构定理设(t)是(4)的基解矩阵,而 (t)是(1)定理7的某一解,则(1)的任一解(t)可表为(t) (t)C (t)这里C是确定的常数列向量.(t) (t)是(4)的解证明:由性质2知

28、,再由定理1*得: (t) (t) (t)C,(t) (t)C (t), 这里C是确定的常数列向量.即2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系423 常数变易公式一阶线性微分方程组的常数变易公式设(t)是(4)的基解矩阵,x(t)=(t)C,其中C是任意的常数列向量,则(4)的通解为(t)=(t)C(t),下面寻求(1)形如的解,把它代入(1),得 (t)C(t) (t)C)(t)C(t) f (t)由于(t)是(4)的基解矩阵,故t)(t),2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系43因此C(t)满足下面方程(t)C(t)=f(t)从而C (t) 1(t) f (t)对上面方程从

29、t0到t积分,并取C(t0 ) 0得tt1(s) f (s)ds,C(t) t , t a, b,00因此(t) (t)tt1(s) f (s)ds,t , t a, b,(5)00可验证(5)是方程组(1)满足初始条件(t0 ) 0的特解.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系44如果(t)是(4)的基解矩阵,则向量函数t定理8(1)(t) (t)1(s) f (s)ds,t0是(1)的解,且满足初始条件 (t0 ) 0(2) 方程组(1)的通解为tx(t) (t)C (t)1(s) f (s)ds.t0(1)满足初始条件(t0 ) 的解为,注1:t(t) (t)-1(t ) (t)

30、1(s) f (s)ds,(6)0t0这里 (t) (t)1(t )是(4)满足初始条件 (t ) 的解00注2: 公式(5)或(6)称为(1)的常数变易公式.2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系45e 212t x x例5解:的通解.求方程组由例4知(t) 12e3t 0 etet3te方程的基解矩阵, 求(t)的逆矩阵得是对应e3s se s e3se1211(s)e3sses3see4 s2e由(5)得方程的特解为 1 ete3t t e se s e2s (t) 0 dse3set3t3s2ee0 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系46t(t) (t) 1(s)

31、f (s)dst0 1 ete3t t es 1 ete3tds se2e2tet3t3tt22eee0所以,原方程的通解为1 ete3t (t)C x(t) 2e2t 3tt2eec et c e3t 1 (e3t et )122(e3t12c et c e3t 2e2t et )122013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系47例6试求初值问题1t x1 , x x , x(0) 1 的解. 2 解:由例3知ettet (t) 0et求(t)的逆矩阵得方程的基解矩阵,是对应sses 1es1 s(s) e2s11 e 00es2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系481(0)

32、故方程满足初始条件的解是1t(t) (t) (0) (t)(s) f (s)ds-110ettet s e s 10 1ettet 1t se1 0 ds 00 01 1 et t0 0e (t 1)et ettet t e2 s 0 ds 0etet0tet et )1 (et2 1 (et et )(t 1)et 2te0te2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系49(2) n阶线性微分方程的常数变易公式 a (t)x(n1) a(t)x f (t) ,x(n)(2)1n设x1 (t), x2 (t), xn (t)是(2)对应方程的基本解组,则(3)对应方程的基本解组为X (t)

33、 (x (t), x (t), x(n1) (t)T , j 1, 2, n;jjjj从而其基解矩阵为 (t) X1 (t), X 2 (t), Xn (t);故(3)满足 (t0 ) 0的解为t(t) (t)1(s)F (s)dst02013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系50W (s) 01t x1 (t)xn (t) 1 tds= W (s) 0 W (s) 0 f (s)nnt xk (t)Wk (s) f (s) 1 ds= k 1W (s)t0故(2)满足(t0 ) 0的解为n(t) k 1xk (t)Wk (s)tf (s)dsW (s)t02013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系51如果ai (t)(i 1, 2, n), ft b上的t b上齐线性方程推论3连续函数, x1 (t), x2 (t), xn a (t)x(n1) a(t)x 0 ,x(n)(7)1n的基本解组,那么非齐线性方程 a (t)x(n1) a(t)x x(n)f (t) ,(8)1n的满足初始条件(t0 ) 0, (t0 ) 0,(t0 )