现代设计方法---优化设计PPT课件.ppt

1、1现代设计方法第二部分 优化设计（ Optimal design ）2第一章 优化设计的基本知识1-1 概论 寻找最优的决策以获得最好的经济效果，就促使最优化技术迅速发展。评价一种设计方法优劣的主要根据，是设计质量及设计速度。设计质量取决于所用的基本理论是否正确及设计方法恰当与否，设计速度则取决于设计方法及运算辅助工具。为提高设计质量与设计速度，采用最佳的优化设计方法是极其重要的。 优化设计是现代设计方法的一个重要领域，已经广泛应用到各个领域，如在生产中，如何使成本最低？如何合理地分配资源获得最大经济效益？如何使设计的机械在满足各项功能的前提下，使其重量最低、造价最低等。优化设计技术的应用，成

2、为促进国民经济多、快、好、省地发展的有效方法。3优化设计的改进历史： 1试算法 这种方法始于20世纪20代末。试算法以一定的理论公式为根据，利用已知或假定的技术条件，通过多次试算、修改，最终获得适用的设计参数。 例如，设计一个刚度 一定的圆柱形螺旋压簧，可以根据下列刚度公式进行试算： 式中 弹簧所受的轴向负荷， 弹簧的平均直径，简称中径 弹簧在负荷P作用下所产生的变形量 弹簧的有效圈数 弹簧材料的直径 弹簧材料的切变模量4根据上式，如己知或先预定 、 、 、 各参数，通过多次试算、修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设计参数。 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即式中 代表性能指标

3、 ， 是设计参量，分别代表 、 、 、 ，所以 。 对于一个多元函数，如要求函数值一定，固然可以通过适当选定各 值来满足要求。但在 既有一定数值范围限制又包括部分离散量的情况下，即使经过多次试算，修改，也难获得理想结果。计算量也会随着试算次数的增多而加大。52表格法 这种方法始于20世纪30年代。它仍以一定的理论计算公式为根据，参照常用离散数列及规范，预制出系统的表格，供设计者直接查阅。目的在于简化设计过程、减少重复试算量。如螺旋状拉、压弹簧设计中所用曲度系数表格。表1-2 弹簧旋绕比与曲度系数对照表 制订上表的根据是曲度系数计算式 ： 在选定C后，依上表即可查得K值。如表列数值不理想，尚须插

4、值求解。d (mm)0.20.40.4511.12.22.5671618247145125104104846表1-1 弹簧旋绕比的选择63图算法 这种方法始于20世纪40年代。它也以一定的理论公式为根据，建立图尺方程，确定图尺系数，作出具有专用图线的算图。这些专用图线，避免了函数值的离散化，使用时也需用插值法求中间值。图1-1 曲度系数K值线图具体使用方法是：如选 ， ，先分别在 线及 线上找到相应的两点，然后联结 并延长，与 K 线相交，交点即为K 值，等于1.44。7 4利用一元函数极值理论的设计方法这种方法始于20世纪40年代末，目的在于获得理论上的最优设计性能，是优化设计的萌芽。如某一

5、设计的性能指标为 ，诸设计参量为 ，并保持一定函数关系 的极大值或极小值，表征了设计的最优性能必要条件： 充分条件：在x*点存在二阶连续偏导数。当 时为极大；当 时为极小。所确定的设计参量，即为获得最优性能所应选用的具体值。实际上，绝大多数设计都非一元问题。这种设计方法虽有理论意义，但较少具有实用价值。8 5优化设计法 (最优化设计Optimal Design)起源：始于上世纪50年代末，而普及应用于70年代概念：是以数学规划理论为基础，以电子数学计算为辅助工具的一种设计方法 原理：将优化技术应用于设计过程之中，最终获得较理想的设计参数，由于这种设计一般多在完成初始设计之后进行，最终获得优化参

6、数及结果，故称之为优化设计。分类：一为直接法（数值法）：直接计算函数值、比较函数值，并以之作为迭代，收敛根据的方法。 二为间接法（解析法）：以多变量函数极值理论为依据，利用函数性态、以之作为迭代，收敛根据的方法。两种方法的择优、运算过程，皆按预编程序在计算机上进行。故在有的技术领域中，亦将此过程称之为自动设计。 9优化设计的基本思想 优化算法各种各样，但大多数方法都是采用数值法，其基本思想是搜索、迭代和逼近。就是说，在求解时，从某一初始点x0出发，利用函数在某一局部区域的性质和信息，确定下一步迭代的搜索方向和步长，去寻找新的迭代点x1。然后用x1取代x0，(对于极小化问题) x1点的目标函数值

7、应比x0点的值为小。x0d0 x1d1x2d2x3d3xkxk+1xk+1 = xk + akdkdk10机械优化设计的优点使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能使零缺陷（废品）设计成为可能大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量大大提高了生产效率，降低了产品开发周期1、美国BELL公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻了35%2、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该

8、公司自主优化之后，就多盈利几百万欧元。11优化设计的分类 根据优化问题的不同特征，可有不同的分类方法。 (1) 按有无约束：无约束优化问题和有约束优化问题。(2) 按设计变量的性质：连续变量、离散变量和带参变量。(3) 按问题的物理结构：优化控制问题和非优化控制问题。(4) 按模型所包含方程式的特性：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。(5) 按变量的确定性性质：确定性规划和随机规划。12常用优化方法的分类13一、实际技术问题及其数学模型 例1 现有一块薄铁皮，宽度 b =14厘米，长度L = 24厘米，制成如图所示的梯形槽，求斜边长 x 和倾角为多大时，槽的容积最大 。1-2 优化设

9、计的术语及概念这一优化设计问题是具有两个设计变量(即x和)的非线性规划问题。14 例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷F=1000N和扭矩M=100Nm。由于结构需要，轴的长度L不得小于8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力W=120MPa，许用扭转切应力=80MPa，允许挠度f=0.01cm，密度=7.8t/m3，弹性模量E=2105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用料最省的方案。优化目标用料最省条件强度条件刚度条件边界条件15例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每周至多工作40小时。

10、产品A的单价为200元，产品B的单价为500元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。（这是生产规划的最优化问题）解： 设该车间每周应生产产品A、B分别为 、 件。则有约束条件为： 该车间每周的总产值为最大就是目标函数，即：16二、术语1设计变量 概念：设计变量是设计模型的基本成分，是设计最后所需确定的参数。设计变量的个数，即是所需求解问题的维数。确定原则：在满足设计基本要求的前提下，应恰当确定设计变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量。设计变量的分类： )连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。 )离散变量：只能在给定数列或

11、集合中取值的变量。17 2目标函数 概念：以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标为因变量，并按一定关系所建立起来的函数式。 它反映了设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标函数的函数值大小可以评价设计质量的优劣，也称为评价函数。 设计变量的个数，确定了目标函数的维数。设计变量的幂及函数的性态，确定了目标函数的性质。 如果所选的设计变量与所要求的性能指标之间无精确的函数关系，亦可采用曲线拟合、多元回归或其他近似计算方法，获得近似的函数式作为目标函数。 如果在同一设计中，需要满足一个以上的性能指标，则可分别建立一个以上的目标函数表达式，并以之作为初始模型。这种目标函数称为多目标函数。18

12、3约束条件 概念：对设计变量的取值加以某些限制的条件称为约束条件。分类：包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称边界约束，它表明设计变量的允许取值范围。约束方程亦称性能约束，它是以所选定的设计变量为自变量，利用几何关系、设计规范，建立起来的函数式，它常用来限制某些设计性能。约束方程又分不等式约束和等式约束。可以利用一定方法，将约束形式相互转变。如 ，可转变为 ；亦可转变为 。在所需求解的问题中，有时并无约束，有时则有约束。194.设计空间及设计可行域 为便于分析、研究，应用矩阵向量的知识，可将设计模型转化为设计空间，并在此空间内，讨论择优过程。如将设计方案抽象为一个空间向量X，并将与之有关的各

13、设计变量抽象为各分向量(x1，x2， xn)，且各分向量线性独立，则以各分向量为轴所构成的空间，即为设计空间。如有n个独立的设计变量，就可相应地构成n维空间。称为n维欧氏空间，记为En 。20显然，在设计空间中的每一个点，都唯一地确定了一个空间向量，它代表了一组分向量及其数值，实际上也就代表了一种具体的设计方案。如在设计空间中存在着使目标函数达到极值的点，则该点就代表着一种优化设计方案。如在该空间中仅有一极值点，则它就是全空间中的最优设计方案。该点常用 表示。21在设计空间中，被约束条件所限定的区域K，即为设计可行域，如图所示。其中 ， ， 为约束条件。可行域约束的个数 p 必须小于设计变量的

14、个数 n22 设计可行域是设计空间的一个局部。优化设计的寻优过程，一般只应在此区域内进行。最后确定的优化点，也只能在此可行域内，或在可行域的边界上。否则，所得的设计参数将因超出约束而失去实用价值。 无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点，其极小点在目标函数等值面的中心。 约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，其极小点在可行域内或在可行域边界上。235. 优化设计的一般数学模型 优化设计一般常按两大类情况建模： 无约束极小化模型和有约束极小化模型。24 它一般地概括了设计中要求最复杂的情况，是有约束极小化模型。如仅有 (或包括 )，则称具有不等式约束。如仅有 ，

15、则称具有等式约束。如仅有 ，则称具有常量约束。目标函数设计变量不等式约束条件等式约束条件常量约束条件25 设计中常遇到目标函数为极大化问题，因为 ，故将研究、分析的重点放在极小化方面。 又由于可以利用一定的数学方法，将多目标函数转变为单目标函数，有约束的模型转化为无约束的模型，故对单目标函数、无约束极小问题的探讨，应成为探讨优化技术的基点和起点。26 三、优化设计过程的形象化表达 优化设计，就是根据设计模型及初始设计参数，利用一定的优化方法编出程序，通过计算机，求出优化参数及优化性能指标。为便于形象化表达择优过程，现在以二元函数为例进行分析。1.等值线与优化点 等值线图等同于地图上的等高线图，

16、它表达了二元函数函数值大小及其变化规律，它是以相等数值点的连线表示连续分布且逐渐变化的数量特征的一种图形。27例 目标函数f (x)一60 x1一120 x2的等值线族。这是一组相互平行的直线，函数值沿箭头所指方间逐渐下降。如图所示。28 Ox1 f(X)x2C3C1C2f(X) =C3f(X) =C2f(X) =C1f (X)=f (x1, x2)有心等值线族X*29 若将这些曲线投影于下x1 ，x2 轴所构成的平面内，则得一组等值线，如图所示。它们亦相当于过C 轴上Ci 各点所作。 图 1-4 平行于x1x2平面的各平面与空间曲面的交线在x1x2平面上的投影，它们形象地表达了函数值的大小及

17、其变化规律， ， 点即函数值的极小点， 表示该点的函数值( 轴垂直于纸面)。 30 可以证明，对于二元函数，如有极值点存在，则在该点附近的等值线为一族共心椭园。设 为函数 的一个极值点，则 一元函数的泰勒展开式：二元函数的泰勒展开式：31),( ),( ),( *2*122*2*1),(12*2*111222121xxfaxxfaxxfaxxxx=如令32所以，Hesse矩阵必须是正定的。 如以上条件成立，则亦表明等值线方程为椭圆方程，故在极值点附近，对于某些常数 的等值线，都是以 为中心的椭圆，该中心即优化点 。 可见，在图示 坐标所构成设计场内，椭圆族的中心 即优化设计方案所在。 33例

18、函数f(x)xl2十x22一4x1十4的图形(旋转抛物面)，以及用平面f(X)c 切割该抛物面所得交线在设计空间中的投影。函数的等值面族34(a) 问题的立体图 (b) 设计空间的关系图例 优化问题的图解法352择优过程的形象表达 仍以二元函数为例，已知该函数的极小值点 及其附近的等值线族，如图1-5所示。图中的 点代表任选的一组初始设计参数。极小化的优化过程，就是从 点开始，按照一定的方向，以一定步长，一步步地接近 点，直到满足要求的条件时止。36图1-5 择优过程 具体的一种过程：如从X0点开始，先沿x1轴方向一步步前进，由于C1C2C3C*，故每走一步后，函数值皆有所改善。当达到X15点时，函数值反而增大，这时应退回到X14点。然后沿x2轴方向一步步前进，直到X24点，函数值反而增大时再退回到X23点。然后再沿着x1轴方向搜索，当发现函数值增大时止，后撤一步，再次换轴。如此反复搜索、反复迭代，直到接近X*时止。这就是择优、搜索、迭代的一种过程。37 由上例可见，择优过程也就是按照一定方向，一步步地接近优化点 的过程。它的根本问题可归纳为：如何