5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动（44页)ppt课件

1、 第二章 单自在度系统在简谐鼓励下的受迫振动2.1.1 振动微分方程2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3 受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4 受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼 2.1.6 简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 受迫振动鼓励方式系统在外界鼓励下产生的振动。 外界鼓励普通为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐鼓励是最简单的鼓励。普通的周期性鼓励可以经过傅里叶级数展开成简谐鼓励的叠加。有阻尼系统在简谐鼓励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系统在简谐鼓励下，运动

2、微分方程的全解2.1.1 振动微分方程 2.1.1 振动微分方程 简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自在度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系统简谐鼓励呼应中的特解是指不随时间衰减的稳态呼应：2.1.1 振动微分方程 它与鼓励同频，但有一个相位差简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动 可见，对于工程实践来说，更关怀的是稳态振动，由于瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有意义。By substituting the particular solution to b

3、e determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations Equating the coefficients of and onboth sides of the resulting equation, we obtainSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-sp

4、ring system under harmonic excitation:稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和鼓励的特性。2.1.1 振动微分方程 2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论 在低频区和高频区，当 1的区域(高频区或惯性控制区)， ， ，呼应与鼓励反相；阻尼影响也不大。3、 1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 1略为偏左处有峰值。通常将1，即 pn 称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频呼应曲线愈峻峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有， /2 ,这也是共振的重要景象。2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论

5、 5 质量因子与半功率带宽共振(仍按 思索)时的放大因子称为质量因子。由前面的公式得质量因子与半功率带宽在1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为 的两个点称为半功率点。对应于这两个点的鼓励频率分别为 和 ，它们的差 称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外鼓励频率，留意到 可得质量因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的峻峭程度。利用上式，可以根据实验估算质量因子或阻尼比。例题. 质量为M 的电机安装在弹性根底上。由于转子不平衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性根底的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设

6、电机运动时遭到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如下图。 转子偏心引起的受迫振动根据达朗贝尔原理，有= h转子偏心引起的受迫振动电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 阻尼比z 较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。

7、幅频特性曲线和相频特性曲线转子偏心引起的受迫振动简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较The form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion isMaking the substitutionEq. becomeswhere y = Y has been assumed for the motion of the base. Thus the solution can be immediately wri

8、tten as Response of a damped system under the harmonic motion of the base If the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givesSubstituting into Eq., we obtainandResponse of a damped system under the harmonic motion of the ba

9、se The steady-state amplitude and phase from this equation areandResponse of a damped system under the harmonic motion of the base Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 幅频特性曲线和相频特性曲线也可以不按相对运动求解见郑兆昌，而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块遭到了两个简

10、谐鼓励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果一样。2.1.3受迫振动系统力矢量的关系 知简谐激振力稳态受迫振动的呼应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。运用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力a力多边形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.1.3受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4受迫振动系统的能量关系 从能量的观念分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和耗费的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态呼应

11、为周期 1. 激振力在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在一周期内做功为 ，做功最多。 对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 。因此，每一周期内激振力做功之和为零，构成稳态振动。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式阐明，在一个周期内，阻尼做负功。它耗费系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用耗费系统的能量而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系 3. 弹性力 做的功能量曲线 阐明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力耗费的能量2.1.4受

12、迫振动系统的能量关系 2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐鼓励呼应是瞬态呼应与稳态呼应叠加。先思索在给定初始条件下无阻尼系统对简谐鼓励的呼应,系统的运动微分方程和初始条件写在一同为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及鼓励要素都有关。无鼓励时的自在振动系统对初始条件的呼应对于存在阻尼的实践系统,自在振动和自在伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态呼应。稳态强迫振动伴随鼓励而产生自在振动, 称为自在伴随振动2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 共振

13、时的情况假设初始条件为由共振的定义, 时上式是 型,利用洛必达法那么算出共振时的呼应为 2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振呼应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后 ,且振幅与时间成正比地增大 2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 图 共振时的受迫振动有阻尼系统在过渡阶段对简谐鼓励的呼应.在给定初始条件下的运动微分方程为 全解为式中2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 假设初始位移与初始速度都为零，那么成为可见过渡阶段的呼应仍含有自在伴随振动。 2.1.5简谐鼓励作用下受迫振

14、动的过渡阶段 过渡阶段的呼应在简谐鼓励的作用下，有阻尼系统的 总呼应由三部分组成 无鼓励时自在振动的初始条件呼应，其振幅与鼓励无关。 伴随鼓励而产生的自在振动自在伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与鼓励有关。 以鼓励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。 第一部分和第二部分振动的频率都是自在振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 假设系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因此振动不会随时间衰减。 因此，无阻尼系统受简谐鼓励产生的受迫振动，普通总是pn和 两个不同频率简谐振动的叠加。2.1.5简谐鼓励作用下受迫振动的过渡阶段 2.1.6 阻尼实际在工程实践中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便于振动分析，经常运用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原那么是：粘性阻尼在一周期内耗费的能量等于非粘性阻尼在一周期内耗费的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态呼应依然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内耗费的能量：粘性阻尼在一周期内耗费的能量：得到