第三章 平稳时间序列分析ppt课件

1、第三章平稳时间序列分析本章构造方法性工具 ARMA模型 平稳序列建模序列预测 3.1 方法性工具 差分运算延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分 阶差分 步差分延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时辰 记B为延迟算子，有 延迟算子的性质 用延迟算子表示差分运算 阶差分 步差分线性差分方程 线性差分方程齐次线性差分方程齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场所有相等实根场所复根场所齐次线性差分方程的解我们用迭代法求解差分方程的过程来提示前面给出的齐次线性差分方程通解的本质。思索一

2、阶差分方程相应的经过特征方程求解为可见，两种方法求得的解的方式是一致的。齐次线性差分方程的解思索二阶差分方程齐次线性差分方程的解齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的解 非齐次线性差分方程的特解使非齐次线性差分方程成立的恣意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和3.2 ARMA模型的性质 AR模型Autoregressive Model MA模型Moving Average Model ARMA模型Autoregressive Moving Average modelAR模型的定义具有如下构造的模型称为 阶自回归模型，简记为 *留意最后一项条件是s

3、t特别当 时，称为中心化 模型 AR(P)序列中心化变换 称 为 的中心化序列 ，令自回归系数多项式引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 自回归系数多项式 * 留意这里衔接各项的是减号AR模型平稳性判别 判别缘由要拟合一个平稳序列，所采用的拟合模型也应该是平稳的。AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非一切的AR模型都是平稳的 判别方法特征根判别法平稳域判别法AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别 平稳域AR模型平稳性特征根判别

4、AR模型平稳性特征根判别AR模型平稳性特征根判别书中46页和47页第一项有误AR模型平稳性特征根判别AR模型平稳性特征根判别AR模型平稳性特征根判别AR模型平稳性特征根判别AR(1)模型平稳条件AR(2)模型平稳条件AR(2)模型平稳条件AR(2)模型平稳条件特征根平稳域例3.1 调查如下四个模型的平稳性例3.1平稳序列时序图例3.1非平稳序列时序图例3.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳例3.1平稳性判别以(4)为例例3.1平稳性判别以(4)为例平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数均值 假设AR(p)模型满足平稳性条件，

5、那么有根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有推导出Green函数定义平稳AR模型的传送方式Green函数递推公式原理方法：待定系数法递推公式Green函数递推公式推导待定系数法。首先容易得出G0=1Green函数递推公式推导方差平稳AR模型的传送方式两边求方差得平稳AR模型条件下，Gj呈负指数下降，因此 。从而阐明平稳序列的方差有界，等于常数例3.2 平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传送方式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差自协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望根据得自协方差函数的递推公式例3.3 平稳AR(1)模型的自协方差递推公式平稳AR(1)模型的

6、方差为自协方差函数的递推公式为自相关系数自相关系数的定义平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式，也称尤尔沃克(Yule-Walker)方程常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型例3.4 平稳AR(2)模型的自协方差例3.4 平稳AR(2)模型的自协方差AR模型自相关系数的性质拖尾性呈负指数衰减例3.5 调查如下AR模型的自相关图例3.5 自相关系数按负指数单调收敛到零例3.5 自相关系数呈正负相间地衰减例3.5 自相关系数呈现出“伪周期性衰减例3.5 自相关系数不规那么衰减偏自相关系数定义3.3 对于平稳AR(p)序列xt，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机

7、变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，xt-k对xt影响的相关度量。用数学言语描画就是(1)偏自相关系数的计算留意：这里是“k阶自回归模型， k+1阶或k+n阶的模型都不可以。k阶自回归模型只能用于计算“滞后k偏自相关系数，不能用于计算滞后k-1或k-n偏执相关系数。(2)经过自相关系数计算偏自相关系数(3)平稳AR(p)模型的偏自相关系数p阶截尾(3)平稳AR(p)模型的偏自相关系数p阶截尾例3.5续 调查如下AR模型的偏自相关图例3.5 实际偏自相关系数样本偏自相关图例3.5 实际偏自相关系数样本偏自相关图例3.5 实际偏自相关系数样本偏自相关图例3.5 实际偏自

8、相关系数样本偏自相关系数图MA模型的定义具有如下构造的模型称为 阶挪动平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型挪动平均系数多项式引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 阶挪动平均系数多项式 * 留意这里衔接各项的是减号MA模型的统计性质常数均值常数方差MA模型的统计性质自协方差函数q阶截尾当q时，MA(q)一定平稳自相关系数q阶截尾MA模型的统计性质MA模型的统计性质MA模型的统计性质MA(2)模型的自协方差函数：常用MA模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型MA模型的统计性质偏自相关系数拖尾(证明在后面讲完MA模型逆函数时再讲)例3.6:调查如下MA模型的相关性质MA模型的自相关系

9、数截尾MA模型的自相关系数截尾MA模型的偏自相关系数拖尾MA模型的偏自相关系数拖尾MA模型的可逆性MA模型自相关系数的不独一性例3.6中不同的MA模型具有完全一样的自相关系数和偏自相关系数可逆的定义可逆MA模型定义假设一个MA模型可以表示称为收敛的AR模型方式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列独一对应一个可逆MA模型。可逆MA(1)模型MA模型的可逆条件推导过程与AR模型的平稳稳性条件类似 MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是挪动平均系数多项式的根都在单位圆外逆函数的递推公式原理方法：待定系数法递推公式逆函数的

10、表达式(可以本人看)例3.6续:调查如下MA模型的可逆性(1)(2) 逆函数逆转方式(3)(4) 逆函数逆转方式 逆函数递推过程留意：这里12的符号与模型里给出的符号相反MA模型偏自相关系数拖尾的证明 ARMA模型的定义具有如下构造的模型称为自回归挪动平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型系数多项式引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 阶自回归系数多项式 阶挪动平均系数多项式平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决议ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶挪动平均系数多项式 的根都在

11、单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其挪动平均部分的可逆性决议传送方式与逆转方式传送方式逆转方式ARMA(p,q)模型的统计性质均值协方差自相关系数ARMA模型的相关性由于ARMA模型可以转化为无穷阶挪动平均模型，因此其自相关系数拖尾。由于ARMA模型可以转化为无穷阶自回归模型，因此其偏自相关系数拖尾。 例3.7:调查ARMA模型的相关性拟合模型ARMA(1,1): 并直观地调查该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。 自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本偏自相关图ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖

12、尾拖尾3.3平稳序列建模 建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数模型识别根本原那么选择模型拖尾p阶截AR(p)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型定阶的困难由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出实际截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况。由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数 ， 与 都会衰减至零值附近作小值动摇。 当 或 在延迟假设干阶之后衰减为小值动摇时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系

13、数在延迟假设干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾动摇呢？实践上并没有绝对的规范，很大程度上是依托客观阅历。但可以参考近似分布。样本相关系数的近似分布BarlettQuenouille模型定阶阅历方法95的置信区间模型定阶的阅历方法假设样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍规范差范围，而后几乎95%的自相关系数都落在2倍规范差的范围以内，而且由非零自相关系数衰减为小值动摇的过程非常忽然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。例2.5续选择适宜的模型ARMA拟合1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关图显示延迟3阶之后，自相关系

14、数全部衰减到2倍规范差范围内动摇，这阐明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值动摇的过程相当延续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍规范差之外，其它的偏自相关系数都在2倍规范差范围内作小值随机动摇，而且由非零相关系数衰减为小值动摇的过程非常忽然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 所以可以思索拟合模型为AR(1)例3.8美国科罗拉多州某一加油站延续57天的OVERSHORT序列 序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍规范差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍规范差范围内动摇。根据这

15、个特点可以判别该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以以为该序列自相关系数1阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1) 例3.91880-1985全球气表平均温度改动值差分序列 序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试运用ARMA(1,1)模型拟合该序列参数估计待估参数 个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计矩估计原理样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差

16、例3.10:求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计Yule-Walker方程的解例3.11:求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型方程矩估计例3.12:求ARMA(1,1)模型系数的矩估计 例3.12:求ARMA(1,1)模型系数的矩估计方程矩估计例3.12:求ARMA(1,1)模型系数的矩估计对矩估计的评价优点估计思想简单直观不需求假设总体分布计算量小低阶模型场所缺陷信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常,矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 极大似然估计原理在极大似然准那么下，以为样本来自

17、使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数即结合密度函数到达最大的参数值 极大似然估计要求知总体分布函数，而现实情况是时间序列的总体分布通常是未知的。为了便于分析和计算，通常假设序列服从多元正态分布。似然函数似然方程由于 和 都不是 的显式表达式。因此通常需求经过复杂的迭代算法才干求出未知参数的极大似然估计值 对极大似然估计的评价优点极大似然估计充分运用了每一个察看值所提供的信息，因此它的估计精度高同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质缺陷需求假定总体分布最小二乘估计原理使残差平方和到达最小的那组参数值即为最小二乘估计值 解法：迭代法条件

18、最小二乘估计实践中最常用的参数估计方法假设条件残差平方和方程解法迭代法对最小二乘估计的评价优点最小二乘估计充分运用了每一个察看值所提供的信息，因此它的估计精度高条件最小二乘估计方法运用率最高缺陷例2.5续确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型口径例2.5续确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1)估计方法：EViews对带有AR或MA的模型通常采用非线性最小二乘法估计，非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且渐进有效。模型口径留意EViews输出结果中ARMA模型的常数

19、项是均值而不是漂移项。例2.5续例3.8续确定美国科罗拉多州某一加油站延续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径例3.8续确定美国科罗拉多州某一加油站延续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1)估计方法： EViews对带有AR或MA的模型通常采用非线性最小二乘法估计，非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且渐进有效。模型口径例3.9续确定1880-1985全球气表平均温度改动值差分序列拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径例3.9续确定1880-1985全球气表

20、平均温度改动值差分序列拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,1)估计方法： EViews对带有AR或MA的模型通常采用非线性最小二乘法估计，非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且渐进有效。模型口径模型检验平稳可逆性检验模型的全部系数多项式包括自回归、挪动平均两部分的根都必需在单位圆外 模型的显著性检验整个模型对信息的提取能否充分参数的显著性检验模型构造能否最简模型的显著性检验目的检验模型的有效性对信息的提取能否充分检验对象残差序列断定原那么一个好的拟合模型应该可以提取察看值序列中几乎一切的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，假设残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留

21、着相关信息未被提取，这就阐明拟合模型不够有效模型的显著性检验即为残差序列的白噪声检验假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列检验统计量LB统计量例2.5续检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361例2.5续EViews参数显著性检验目的检验每一个未知参数能否显著非零。删除不显著参数使模型构造最精简 假设条件检验统计量例2.5续检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的

22、参数能否显著 参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著例3.8续:对OVERSHORTS序列的拟合模型进展检验 残差白噪声检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值3.750.0004显著10.600.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.6171例3.9续:对1880-1985全球气表平均温度改动值差分序列拟合模型进展检验 残差白噪声检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论16.340.0001显著3.50.0007显著延迟阶数LB统计量P值结论65.280.2595模型显著有效1210

23、.300.4247模型优化问题提出当一个拟合模型经过了检验，阐明在一定的置信程度下，该模型能有效地拟合察看值序列的动摇，但这种有效模型并不是独一的。优化的目的选择相对最优模型 例3.13:拟合某一化学序列序列自相关图序列偏自相关图拟合模型一根据自相关系数2阶截尾，拟合MA(2)模型参数估计模型检验模型显著有效 三参数均显著 拟合模型二根据偏自相关系数1阶截尾，拟合AR(1)模型参数估计模型检验模型显著有效 两参数均显著 问题同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么究竟该选择哪个模型用于统计推断呢？ 处理方法确定适当的比较准那么，构造适当的统计量，确定相对最优AIC准那么最小信息

24、量准那么An Information Criterion 指点思想似然函数值越大越好 未知参数的个数越少越好 AIC统计量SBC准那么AIC准那么的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由AIC准那么选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多 SBC统计量例3.13续用AIC准那么和SBC准那么评判例3.13中两个拟合模型的相对优劣 结果AR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.28663.4 序列预测均方误差最小均方误差预测预测误差序列分解AR(p)序列的预测MA(q)序列的预测ARMA(p,q)序列的预

25、测修正预测序列预测-均方误差时间序列分析的一个主要目的就是预测平稳时间序列预测，就是根据一切知历史信息 对序列未来某个时期 的开展程度作出估计为了评价预测的有用性，需求给出一个损失函数来概括我们对预测偏离量的关注程度常用的是被定义为均方误差的二次损失函数，序列预测-最小均方误差预测序列预测-最小均方误差预测序列预测-最小均方误差预测序列预测-预测误差序列分解预测误差预测值注：由于t+1,t+k期值与t期之前的x值都不相关，因此条件期望值就等于期望值AR(p)序列的预测预测值预测方差正态假设下置信程度为1-的置信区间AR(p)序列的预测根据AR(p)模型定义例3.14知某超市月销售额近似服从AR(2)模型单位：万元/每月今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 例3.14解：预测值计算四月份五月份六月份例3.14解：预测方差的计算GREEN函数方差例3.14解：置信区间公式【1.96为正态假设下0.975置信度对应的分位数】估计结果预测时期95置信区间四月份（85.36，108.88） 五月份（83.72，111.15） 六月份（81.84，