第五章非平稳时间序列模型ppt课件

1、第五章 非平稳时间序列模型5.1 ARIMA模型5.2 季节模型 5.3 残差自回归模型 5.4 条件异方差模型引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数，并且它的协方差有时间上的不变性。 但是许多经济领域产生的时间序列都是非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值t，或非常数的二阶矩，如非常数方差t2，或同时具有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性变化)例1美国1961年1月至1985年12月1619岁女性失业人数的月度序列如下图：显然，均值程度是随时间改动的.美国1871年至1979

2、年的年度烟草消费量序列如下图：均值程度是随时间改动的，同时方差也随均值程度的增长而增长.某地1987年至1996年某商品月销售量序列如下图：该序列的季节特征是明显的，季节周期为12. 非平稳过程 ARIMA模型5.1 ARIMA模型 ARIMA模型的建立 疏系数模型 非平稳性的检验一 非平稳过程一平稳过程与非平稳过程的差别1、从统计属性看平稳时间序列具有如下特性：1具有常定均值，序列围绕在均值周围动摇；2方差和自协方差具有时间不变性；3实际上，序列自相关函数随滞后阶数的添加而衰减.非平稳时间序列不具有上述特性：1或者不具有常定的长期均值；2或者方差和自协方差不具有时间不变 性；3实际上，序列自

3、相关函数不随滞后阶数的添加而衰减.思索如下例子：2、从图像特征看1平稳过程的时序图没有明显的趋势性与周期性：序列的振动是短暂的，经过一段时间以后，振动的影响会消逝，序列将会回到其长期均值程度；在不同时辰或时段，序列偏离均值的程度根本一样.非平稳过程可察看出明显的趋势性与周期性. 2平稳过程的ACF与PACF呈指数或阻尼正弦波衰减或截尾.非平稳过程的ACF普通呈线性缓慢衰减，PACF普通呈截尾.3、 从建模要求看平稳序列具有许多优良性质，普通可满足建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检验等，传统方法均能获得良好效果.非平稳序列，因不满足假设干统计分析方法的根本假定，传统方法不再适用.二 均值非平

4、稳过程1、均值非平稳的表现1均值非平稳是指序列均值随时间的变化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈现某种时间趋势.2时间趋势依其内在属性，分为确定性时间趋势和随机性时间趋势.3对均值非平稳进展分析的首要任务是：由单个样本实现来构造均值函数，以描写相应的时间依赖景象. 2、均值非平稳过程的描画1确定性趋势模型描写确定性时间趋势2随机趋势模型描写随机性时间趋势 确定性趋势模型 当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个规范的回归模型曲线可用来描画这种景象。 思绪 将非平稳过程的均值函数用一个时间确实定性函数来描画. 模型表达式数字特征因此，称均值的这种趋势为确定性趋势. 为平稳过程 的

5、方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。 此外，均值函数还能够是指数函数、正弦余弦波函数等，这些模型都可以经过规范的回归分析处置。处置方法是先拟合出t的详细方式，然后对残差序列yt=xt t按平稳过程进展分析和建模。 趋势平稳过程假设一均值非平稳过程可由模型1描写，那么称此过程为趋势平稳过程. 趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导； 对于趋势平稳过程，应选用退势的方法获得平稳过程； 趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程；对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆才干，其影响会很快消逝，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的；旋转对于趋势平稳过程，只需正确估计出其

6、确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳动摇部分的分别。随机趋势模型 随机趋势模型又称齐次非平ARMA模型。为了解齐次非平稳ARMA模型，可先对ARMA模型的性质作一回想。 可见我们所能分析处置的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。 由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次非平稳序列又称单位根过程。 思绪从ARMA 模型的参数不满足平稳性条件入手.例2 对于过程从其参数的不同取值范围讨论过程的属性. 齐次非平稳过程差分平稳过程 经过一次或多次差分即可转化为平稳过程的序列，差分次数即为齐次的阶数.例3 调查过程有漂移项的随机游走过程.随机游走1 对过程进展一阶差

7、分后，为平稳序列称该过程为差分平稳过程；2辅助方程 ，令 ，得 ，有一单位根，该过程又称为单位根过程 .3对 不断向后迭代，可得4自相关函数随机趋势非平稳序列 对于差分平稳过程，每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷，从而其均值毫无意义. 服从趋势平稳的时间序列与服从差分平稳的时间序列在图形上非常类似. 区分趋势平稳与差分平稳的主要方法单位根检验法.退势平稳序列差分平稳序列对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列. 中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列 . 平稳化方法 确定性趋势的消除，可采取退势方法获得平稳过程。 对于非确定趋势，由于它是一个渐渐的向上或向下漂移的

8、过程，要判别这种序列的趋势是随机性还是确定性的非常困难，采取差分消除趋势，效果很好。回想查分运算、解释平稳化缘由二、 非平稳性的检验一、经过时间序列的趋势图来判别二、经过自相关函数(ACF)判别三、单位根检验一经过时间序列的趋势图来判别 这种方法经过察看时间序列的趋势图来判别时间序列能否存在趋势性或周期性。 优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。 缺陷：对于普通的时间序列能否平稳，不易用这种方法判别出来。二经过自相关函数(ACF)判别 平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性来判别时间序列能否为平稳序列。 假设时间序列

9、具有上升或下降的趋势，那么对于一切短期的滞后来说，自相关系数大且为正，而且随着时滞k的添加而缓慢地下降。三单位根检验(Unit root test)单位根检验定义经过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上外，来检验序列的平稳性方法DF检验ADF检验PP检验DF检验DF检验是Dickey和Fuller1976提出的单位根检验方法。DF检验有三种方式：1、2、3、第一种方式 或 原假设相当于以为序列有一个单位根，备那么假设以为序列是一个平稳的一阶自回归序列。第二种方式 或 原假设相当于以为序列是一随机游走序列，而备那么假设以为序列是一个带有漂移项平稳序列。第三种方式 或 原假设相当于以为序列是一个带有

10、漂移项的随机游走序列，而备那么假设以为序列是一个退势平稳序列。ADF检验ADF检验亦称增广AugmentedDF检验，是Dickey和Fuller提出的改良DF检验方法。DF检验有三种方式：1、2、3、关于ADFDF检验的两点阐明1、当被检验序列接近含有单位根但实为平稳过程时，在有限样本，特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，辨以为单位根过程，即检验效果降低。2、该当留意，当被检验过程含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受原假设。三 ARIMA模型一普通ARIMA模型1、运用场所差分平稳序列拟合2、模型构造 在ARIMA(p,d q)模型中，假设p=0，那么该模型也称为求和

11、阶数为(d,q)的滑动平均模型，简记为IMA(d,q)；假设q=0，那么该模型也称为求和阶数为(p,d)的自回归模型，简记为ARI(p,d)。在ARIMA(p,d,q)模型的普通方式中，还包含了一个0项，它在当d=0和d0时所起的作用是非常不同的。当d=0时，原过程是平稳的当d1时， 0被称为确定趋势项。在普通的讨论中，常将0项略去。3、ARIMA模型的性质平稳性：ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个自回归辅助方程的根，其中p个在单位圆外，d个在单位圆上.所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳.ARIMA模型的方差齐性 时，原序列方差非齐性1阶差分后，差分后序列方差齐性二特殊ARIM

12、A模型1、 ARIMA(0,1,1)模型3、 ARIMA (1,1,1)模型2、 ARIMA (1,1,0)模型4、 ARIMA (0,1,0)模型三 单整序列 假设一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整integrated of 1序列，记为I(1) ； 普通地，假设一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，那么称原序列是d 阶单整integrated of d序列，记为I(d)； I(0)代表一平稳时间序列； 无论经过多少次差分，都不能变为平稳的时间序列. 称为非单整的non-integrated； I(0)过程与I(1)过程的特性有本质差别.四 ARIMA 模型的建立 A

13、RIMA模型的建立 判别序列的非平稳性； 识别差分阶数； 对差分序列建立ARMA 模型； 对原序列建立ARIMA 模型.ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型差分阶数的断定 数据背景 数据图 ACF、PACF识别法 差分序列的平稳性检验法 注 差分阶数不宜过高，否那么会导致SACF产生明显的震荡起伏(差分后可调查数据动荡范围)； 由低阶开场，初步估计出d，拟合模型并检验，接受模型，那么d 适宜；否那么，用更高阶d 对原数据进展ARIMA拟合，直至确定出适当的d； 现实中，各经济序列普统统过低阶差分(d=1,2)即可到达平稳(B-J )；

14、 李子奈现实经济生活中:1) 只需少数经济目的的时间序列表现为平稳的，如利率等;2) 大多数目的的时间序列是非平稳的，如一些价钱指数经常是2阶单整的，以不变价钱表示的消费额、收入等常表现为1阶单整；3) 大多数非平稳的时间序列普通可经过一次或多次差分的方式变为平稳的.五 疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d 阶差分后自相关最高阶数为p，挪动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：假设该模型中有部分自回归系数 或部分挪动平均系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型.假设只是自回归部分有缺省系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零自回归系数的阶数假

15、设只是挪动平均部分有缺省系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零挪动平均系数的阶数假设自相关和挪动平滑部分都有缺省，可以简记为5.2 季节模型 季节时间序列的特征 季节时间序列模型 季节模型的建立一 季节时间序列1、一个时间序列，假设经过s个时间间隔后呈现出类似的特征，称该序列为季节时间序列，周期为s .一 季节时间序列的特征2、季节时间序列按周期的重新陈列列一个矩阵式二维表，将每一周期内一样周期点的值列在同一列上. 周期点周期1234. s1X1X2X3X4Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4X2s.nX(n-1)s+1X(n-1)s+2X(n-1)s+3X(n-1)s+4.Xns二季节时

16、间序列的特征 重要特征表现为周期性：在一个序列中，假设经过S个时间间隔后观测点呈现出类似性该序列具有以S为周期的周期特性。二 季节时间序列模型一 随机季节模型1、随机季节模型：对季节时间序列中，不同周期的同一周期点之间的相关性的拟合。2、1设周期为s. Xt、Xt-s、Xt-2s.等能够适宜三类模型中的任何一种.前提条件是它们是平稳序列.假设不平稳, 进展季节差分.2D阶季节差分 sXt=Xt-Xt-s=1-Bs)Xt s D Xt=1-Bs) dXt s 2 Xt =(1-Bs) 2Xt=(1-2 Bs+ B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D: a:相减的时期

17、 D:差分的阶数设s D Xt=Wt ，那么s D Xt-s=Wt-s 假设Wt适宜AR(1)以D=1为例，假设Wt适宜MA(1) 假设Wt适宜ARMA(1,1) 更普通的情形，季节性的SARIMA为其中分别称为：k阶季节自回归多项式 m阶季节挪动平均多项式 3、1模型将序列不同周期上的一样周期点之间的关系表示出来，但是没有反映同一周期内不同周期点之间的关系.2序列能够还存在长期趋势，一样周期的不同周期点之间能够也有一定的相关性，所以，模型能够有一定的拟合缺乏。运用场所序列的季节效应、长期趋势效应和随机动摇之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 .构造原理短期相关

18、性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARIMA(k,D,m)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系二 乘积季节模型 1、 乘积季节模型的普通方式 能够是平稳的，也能够是非平稳的，无妨设普通情况， 适宜ARIMAp，d，q假设 适宜 ， 而 又适宜在前式两边同乘 得：其中：1式称为乘积季节模型，记为 常见的乘积季节模型s=121、(1-B)(1-B12)Xt=(1- 1B)(1- 12B12)at它是由两个模型组成的。1 (1-B12)Xt= (1- 12B12)et2 et-et-1=(1-B)et= at- 1at-1=(1- 1B)at在1两端同

19、乘1-B得： (1-B)(1-B12)Xt= (1- 12B12)(1-B)et = (1- 12B12) (1- 1B)at(Xt-Xt-12) (Xt-1-Xt-13)=(at- 12at-12) - 1(at-1- 12at-13)2、 (1-B12)Xt= (1- 1B)(1- 12B12)at(1) (1-B12)Xt= (1- 12B12)et Xt、Xt-12、Xt-24.是非平稳的，有趋势，差分后平稳，适宜MA(1)模型.(2)et是平稳序列，适宜MA(1)，et=at- 1at-1=(1- 1 B)at代入1得：(1-B12)Xt= (1- 12B12)et = (1- 12

20、B12) (1- 1 B)at =(at- 12at-12) - 1 (at-1- 12 at-12) 3、 (1- 1 B)(1-B12)Xt=(1- 12B12)at (1) (1-B12)Xt= (1- 12B12)et (2)et是平稳序列，适宜AR(1)，et= 1 et-1+at ，即(1- 1 B)et=at(1)两边同乘(1- 1 B)得：(1- 1 B)(1-B12)Xt = (1- 1 B) (1- 12B12)et = (1- 12B12)at (Xt-Xt-12) - 1 (Xt-1-Xt-13)=at- 12at-12 与ARMA模型类似，季节模型的识别、定阶、参数估

21、计、顺应性检验根本上是以随机序列的样本自相关与偏自相关为根据的.三 季节模型的建立 季节模型的建立判明序列的周期性；识别差分的阶数；识别季节差分的阶数；对差分序列建立ARMA模型；对原序列建立季节模型. 季节模型建模要点模型识别要点：原始序列图是断定季节特征的有力工具；周期确实定更倾向于依赖数据的实践背景；假设SACF与SPACF既不拖尾也不截尾，且不呈线性衰减；而是在相应于周期的整数倍点上，出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，那么可断定序列适宜季节模型.阶数断定要点：差分与季节差分阶数d、D的选取，可采用试探的方法，普通宜较低阶如1、2、3阶.对于某一组d、D，计算差分后序列的SACF与S

22、PACF，假设呈现较好的截尾或拖尾性，那么d、D适宜.此时假设增大d、D，相应SACF与SPACF会呈现离散增大及不稳定形状；通常D不会超越1阶，特别对S=12的月份数据B-J；季节模型应慎重运用，特别序列长度不够理想时B-J. 季节差分后序列ACF、PACF特征1假设季节差分后序列适宜MA模型:S=12Xt-Xt-12=(1- 12B12)et=(1- 1B)(1-12B12)at =at- 1at-1- 12at-12+ 112at-12-1季节差分后，顺应MA(13)，其中i=0i=2,3,11,ACF截尾k=1,11,12,13不为零，其他显著为零，PACF拖尾.2季节差分后顺应AR模

23、型: (1- 1 B)(1-B12)Xt=at (1- 1 B)(Xt Xt-12)=at Xt-Xt-12= 1Xt-1- 1Xt-13+at ACF拖尾，PACF截尾.例1 19621975年 奶牛月产奶量P244例2 1997.12003.8 到北京海外旅游人 数5.3 残差自回归模型 模型构造 残差自相关检验一 模型构造1、构造思想首先经过确定性要素分解方法提取序列中主要确实定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 2、Auto-Regressive模型构造3、对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史察看值4、对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立

24、季节自回归模型例1运用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中国农业实践国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以思索建立如下构造的Auto-Regressive模型 趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值 趋势拟合效果图二、残差自相关检验1、检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质2、Durbin-Waston检验DW检验 假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性 备择假设：残差序列存在一阶自相关性 DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系(大样本下)DW统计量的断定结果正相

25、关相关性待定不相关相关性待定负相关042例1 续 检验第一个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。例1 续检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。Durbin h检验 DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场所下运用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判 Durbin h检验残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验例1 续拟合三个模型1、ARIMA(0,1,1)模型2、ARIMA(1,1,0)模型3、确定性趋势模型残差序列自相关图残差序列偏自相关图模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径例1第二个AutoRegressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AI