第五章平稳时间序列模型的性质ppt课件

1、第五章 平稳时间序列模型的性质第一节 自回归过程的性质第二节 挪动平均过程的性质第三节 自回归挪动平均过程的性质第一节 自回归过程的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的方式为：或1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性， 的根必需在单位圆外，即应有：2.ar(1)过程的自相关函数经过上述推导可看出，当过程平稳即 时，AR(1)过程的自相关函数ACF呈指数衰减。假设 ，那么一切的自相关系数都为正，并

2、逐渐衰减。假设 ， 自相关系数的符号以负号开场，并呈正、负交替逐渐衰减。例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图-6-4-202482848688909294969800例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈正负交替指数衰减3.AR(1)过程的偏自相关函数PACFA.偏自相关函数的普通公式B.A

3、R(1)过程的偏自相关函数上述结论阐明：AR (1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于 。滞后一阶以后PACF截尾。另一种思绪：根据定义：偏自相关函数是指扣除Xt和Xt-k之间的随机变量Xt-1,Xt-2, Xt-k-1等影响之后的Xt和Xt-k之间的相关性。对于p阶自回归过程，当sp时，xt与xt-s有直接的相关性；而sp时，两者没有直接的相关性。因此，对于AR(p)过程，在模型的滞后阶数以内，通常有非零的偏自相关系数；但在滞后阶数以外，偏自相关系数那么为零。例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以

4、后截尾4.AR(1)过程的传送方式和格林函数二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的方式为：或B.平稳性：为满足平稳性， 的根必需在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。2.AR(2)过程的自相关函数经过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，假设特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。假设特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。3.AR(2)过程的偏自相关函数另一种思绪：直接根据定义经过上述证明可以得出如下结论：例1，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关

5、图-4-202482848688909294969800例1.模拟生成的AR(2)过程趋势图例1.模拟生成的AR(2)过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾例2，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图-6-4-2024682848688909294969800例2.模拟生成的AR(2)过程趋势图例2.模拟生成的AR(2)过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾例3，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图模拟生成的AR(2)过程自相关图呈阻尼

6、正弦波衰减滞后二阶以后截尾4.AR(2)过程的传送方式和格林函数1传送方式2格林函数三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的方式为：或B.平稳性：为满足平稳性， 的根必需在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最根本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。2.AR(p)的自相关函数ACF经过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有 |i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以， AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。4.AR(p

7、)模型的传送方式和格林函数(1)传送方式(2)格林函数例:调查如下AR模型的自相关和偏自相关ACFPACFACFPACFACFPACFACFPACF第二节 挪动平均过程的性质一、一阶挪动平均过程MA(1)的性质二、二阶挪动平均过程MA(2)的性质三、q阶挪动平均过程MA(q)的性质一、一阶挪动平均过程MA(1)的性质一阶挪动平均模型MA(1)的方式为：其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。 1.MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，(B)=11B=0 的根必需在单位圆外，即有：注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，都假定可逆性条

8、件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；假设10t为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：Xt=t (0.85)t-1 =(1(0.85)B) t其中1=0.850呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾4.MA(1)过程的逆转方式二、二阶挪动平均过程MA(2)的性质二阶挪动平均模型MA(2)的方式为：其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。 1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：MA(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性, 的根必需在单位圆外。2.MA(2)过程的自相关函数ACF2.MA(2)过程的偏

9、自相关函数(PACF)对于MA(2)过程，我们有如下结论：假设其特征方程:11B2B2=0 的根是实数，那么kk是两个衰减指数的和；假设其根是复数，那么kk 是一衰减的正弦波。滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)4.MA(2)过程的逆转方式三、q阶挪动平均过程MA(q)性质1.平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶挪动平均过程MA(q)总是平稳的。 B.可逆性：为满足可逆性，的根必需在单位圆外。对于高阶的挪动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最根本的一点：这是挪动平均过程可逆的必要条件之一。2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)因此：MA(q)过程的

10、自相关函数是滞后q阶截尾的。3.MA(q)过程的偏自相关函数PACF要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。例:调查如下MA模型的相关性质MA模型的自相关系数截尾 MA模型的自相关系数截尾 MA模型的偏自相关系数拖尾 MA模型的偏自相关系数拖尾 MA模型可逆性MA模型自相关系数的不独一性例中不同的MA模型具有完全一样的自相关系数和偏自相关系数可逆概念的重要性一个自相关系数列独一对应一个可逆MA模型。 第三节 自回归挪动平均ARMA(p,q)过程

11、一、 ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质一、ARMA(1,1)的性质1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性2.ARMA(1,1)过程的ACF经过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数有一峰值，并且是由1和1共同决议，。当k2时，自相关系数仅取决于1即自回归部分对应的差分方程的根，呈指数衰减。3.ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是滞后一阶有一峰值，一阶以后呈指数衰减，不过指数衰减的形状由1和1共同决议，因此指数衰减的形状比MA(1)过程PAC

12、F指数衰减方式更多例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：例1.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：例2.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF指数拖尾指数拖尾滞后一阶有峰值4.ARMA(1,1)过程的传送方式和逆转方式1传送方式和格林函数：xt=-1(B)(B)at2逆转方式和逆函数-1(B) (B) xt =at二、ARMA(p,q)过程的性质1.ARMA(p,q

13、)的平稳性和可逆性2.ARMA(p,q)过程的ACF由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后q阶后拖尾。当kq时，即前q项自相关系数q,q-11取决于自回归和挪动平均的参数。当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数，即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与挪动平均的参数无关。3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的普通方式比较复杂，由于它包括MA过程这个特例，所以它的PACF也由(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形状，那么我们要经过一个时间序列的样本自相关图判别ARMA模型的阶数就比较困难。但是假设