电路原理课件：11动态电路的复频域分析

1、 第十一章 动态电路的复频域分析 11-1 拉普拉斯变换及其基本性质 11-2 拉普拉斯反变换 11-3 动态电路的复频域模型 11-4 动态电路的复频域分析 11-5 网络函数 11-1 拉普拉斯变换及其基本性质 拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换为代数方程以便求解。 例1:对数变换 乘法运算简化 为加法运算 例2:相量法 正弦运算简化 为复数运算 一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义 1. 拉氏变换的定义： s为复频率 f(t)与F(s)一一对应 拉氏变换:将时域函数f(t)（原函数：original function）变换为复频域函数F(s)（象

2、函数：transform function）。 t 0，f(t)=0 f(t)=(t)时此项 0 正变换 反变换 F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。 f(t)称为原函数，用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。 =L-1 F(s) )t(fF(s)=L f(t) 简写 正变换 反变换 2. 存在条件 对于一个函数f(t)，如果存在正的有限值常数M和c,使下式成立 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。因为 3. 典型函数的拉氏变换 (2)单位阶跃函数 (1)指数函数 (3)冲激函数 = 1 二、拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质(linearity) 2-1时域微分(

3、time differentiation)性质 若则推广： 2-2频域微分性质 则若3.时域积分(time integration)性质 若则 4-1时域平移(time shift)性质 f(t)(t)tt f(t- t0)(t- t0) t0 f(t)(t-t0) tt0若则 例12： 1 T t f(t)T 1f(t)?T t 例13： 例14：周期函数的拉氏变换 .t f(t)1T/2T设 f1(t)为第一个周期的函数 4-2频域平移(frequency shift)性质 若则 5.初值定理和终值定理 初值定理： 若 f(t)在t =0处无冲激，则 终值定理： 若存在，则证：利用导数性质

4、 证明：积分 微分 小结： 11-2 拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法： (1)利用公式： (2)对F(s)进行数学处理 象函数的一般形式： 利用部分分式可将F(s)分解为： 令s=p1, 则 同理可得 因此 求极限法 因此 一般形式： 法一 法二 k1，k2也是一对共轭复根 例19：求 的原函数f(t)。 法一 法二：配方法 同理可得 若为 q 重根，则 解： 小结： 1)n =m时将F(s)化成真分式 1. 由F(s)求f(t)的步骤 2)求真分式分母的根，确定分解单元 3)求各部分分式的系数 4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 2. 拉氏变换法分析电路 正变换 反变换 相量形

5、式KCL、KVL 元件复阻抗、复导纳 相量形式电路模型 11-3 动态电路的复频域模型 类似地 元件运算阻抗、运算导纳 运算形式KCL、KVL 运算形式电路模型 i(t)u(t)二、电阻元件的运算形式 R： u(t)=Ri(t) 一、运算形式的电路定律 + u -i R + U(s) -I(s) R i(t)=Gu(t) L: + U(s) - sL I(s) i + u - L 1/sL + -I(s) U(s) 三、电感元件的运算形式 C : + uC -iC IC(s) 1/sC+ U(s) - 1/sC IC(s) + U(s) - 四、电容元件的运算形式 ML1i1i2L2+u1_+

6、u2_+_+ _+ _sM I1(s) I2(s) sL1 sL2 U1(s) + _+_U2(s) 五、耦合电感 的运算形式 mR I(s) U1(s) +_U2(s) +_U1(s) +_Ri +u1 _+u2_ +_ 运算阻抗 运算形式欧姆定理 i R L C +u_ +-I(s) R sL 1/sC U(s) 六、RLC元件串联的复频域形式 七、运算电路 运算电路 如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源。 时域电路 物理量用象函数表示 元件用运算形式表示 R i1 i2 L C RL+_RL R +_I1(s) I2(s) A/s sL 1/sC 时域电路 运算电路 例22: 5

7、 1F 20 10 10 0.5H 50V uC+ -iL+_时打开开关 20 0.5s +-1/s 25/s 2.5 5 IL(s) UC(s)+_+ 11-4 动态电路的复频域分析 步骤： 1. 由换路前电路计算uC(0-)，iL(0-)。 2. 画运算电路图。 3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。 例23：RC并联电路如图(a)所示，换路前处于零状态。现将该电路接通于单位阶跃电流源，试求uC(t) 和iC(t)。 解：作等效运算电路如图 (b)所示。则 +-a + - b 其运算导纳为：在未求出uC(t) 之前，可用初值和终值定理检验结果的正确性。即： 符合电路情况。

8、 + - b 对UC(s)进行拉氏反变换，得： 又 故得： + - b t = 0时闭合k，求 i1，uL。 (2)画运算电路 200/s 30 0.1s 0.5 101000/s 100/s _+I2(s) I1(s) +_+例24：200V 30 0.1H 10-+1000F i1 uC k +_uL+-200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s _+I2(s) I1(s) +_+(4)反变换求原函数 求UL(s) UL(s) ? 200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s _+I2(s) I1(s) +_+例25：电路如图(a)所示，开关闭

9、合前处于零状态。试求电流i1(t)。 a 10 10 10 t =0 1H 1H + - 100V i1(t) 10 s+10 + - b s10 解：采用戴维南定理，如图(b)所示 开路电压及内阻抗为： Z0(s) + - c s10 U0(s) I1(s) 故电流得象函数为： 所以 RC+uCiS(t)例27：求冲激响应。已知 (t 0) (t 0) R1/sC+UC(s)IS(s)1tuC0tiC例28：已知 uS1=10V, uS2=2V, R=2, C1=C2=C3=2F，uC1(0-)= uC2(0-)=5V，t0时k合向2，求uC2。 RuS1 C2 + - iC2 +uC2 -

10、k2+-iC3 uS2 +-C1 C3 uC1 iC1 解：uC3(0-)=2V，运算电路为： 节点法: 10/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+-3.5452tuC2、 uC310/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+-t = 0时打开开关S ,求电流 i1(t)。 0.1H例29. +_USSR1L1L2R2i1i20.3H10V2320.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+ti1523.750UL1(s)20.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+UL2(s)u

11、L1-6.56t-0.375(t) 0.375(t) uL2t-2.19ti1523.750小结： A. 运算法直接求得全响应 C. 运算法分析动态电路的步骤 B. 用 0 _ 初始条件，跳变情况自动包含在响应中 磁链守恒： 1. 由换路前电路计算 uC(0-) , iL (0-)。 2. 画运算电路图。 3. 应用电路分析方法求象函数。 4. 反变换求原函数。 11-5 网络函数 零 状 态 e(t) r(t) 激励 响应 一、网络函数的定义 电路在单一激励作用下，其零状态响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比为该电路的网络函数H(s)。 1、定义 例30：图示电路，

12、uC为响应，试求电路的网络函数。 RC+_+_uS uC R1/sC+_+_US(s) UC(s)解： 2、驱动点函数 驱动点阻抗 驱动点导纳 激励与响应在同一个端口上。 若I(s)为激励 若U(s)为激励 U(s) I(s) +_零 状态3、转移函数(传递函数) 激励与响应不在同一个端口上。 转移导纳 转移阻抗 电压转移函数 电流转移函数 U2(s) I2(s) U1(s) I1(s) +_+_零 状态4、激励为冲激函数时的网络函数 网络函数是单位冲激响应的象函数。 1 R(s) 零状态 (t) h(t)=r(t) 激励 响应 5、网络函数的应用 1)由网络函数求取任意激励的零状态响应 零

13、状 态 e(t) r(t) 激励 响应 若 则单位阶跃响应为 2)由网络函数确定正弦稳态响应 中令可得正弦稳态下的传递函数 在 响应相量 激励相量 图(a)： 解： 图(b)： 图(d)： 图(c)： 零点用“ ”表示。 极点用“”表示。 二、网络函数的极点和零点 复频率平面 j 0例32： ，绘出其极零点图。 解： H(s)的零点为 z1=2； z2=4 H(s)的极点为 p1=1 -j24-1-。-40。电路的零状态响应的象函数 极点位置不同，响应的性质不同。 三、极点、零点与冲激响应 = 零状态响应 = 自由分量 + 强制分量 包含D(s)=0的根 包含Q(s)=0的根 网络函数是单位冲激响应的象函数。 设 pi,j = - a jj四、极点、零点与频率响应 响应相量 激励相量 中令可得正弦稳态下的