数字信号处理：第3章离散傅里叶变换DFT

1、第三章 离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，了解周期卷积过程掌握离散傅里叶变换及性质，理解圆周移位，掌握圆周卷积、线性卷积和周期卷积三者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程一、序列分类对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为： 无限长序列：n=或n=0或n= 0 有限长序列：0nN-1有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。引言 连续时间傅里叶变换不适宜于在数字计算机上进行计算。其主要原因为： 信号覆盖了整个时间轴（时间受限

2、信号除外） 信号是时间连续的 信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外） 信号是频谱连续的时间要离散、有限！ 频谱要离散、有限！二、离散傅里叶变换（DFT）的引入由于有限长序列，引入DFT。DFT是反映“有限长”这一特点的一种有用工具。DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示,在理论上重要之外，而且由于有DFT的有效快速算法-FFT, 使DFT得以实现，并在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现时域周期延拓时域截断时域抽样解决信号的离散化问题工程上无法处理时间无限信号要使频率离散，就要使时域变成周期信号时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积

3、通过窗函数对信号进行逐段截取连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓周期延拓后的周期函数具有离散谱通过与抽样信号相乘得到经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。三、DFT的推导：一、傅里叶变换的几种形式时间t频率f四种不同形式傅里叶变换对 连续 离散 连续 离散 3.1 四种时间信号及其傅里叶变换傅里叶变换：建立以时间t为自变量的“ 信号 ”与以频率 f 为自变量的“ 频率函数 ”(频谱) 之间的某种变换关系。二、四种形式的傅里叶变换（一）针对连续信号 （1）非周期信号的傅里叶变换（FT） （2）周期信号的傅里叶级数（FS）（二）针对离散信号 （3）非周期信号的序列的傅里叶变换（

4、DTFT） （4）周期信号的离散傅里叶级数（DFSDFT）1、连续傅里叶变换（FT）时域连续函数造成频域是非周期的谱，时域的非周期造成频域是连续的谱。 2、傅里叶级数（FS）时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，频域的离散频谱就与时域的周期函数相对应。 周期信号的频谱只会现在离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 3、序列的傅里叶变换（DTFT）是w的连续周期函数时域的离散函数造成频域是周期的频谱函数，频域的连续频谱就与时域的非周期函数相对应。 4、离散傅里叶级数（DFS）时域的离散函数造成频域是周期的频谱函数，频域的周期频谱就与时域的离散时间函数相对应。 四种形式的傅里叶变换对示意图图3-1

5、 四种信号及其频谱示意图一个域内是周期性的对应另一个域是离散的，一个域内的周期必是另一个域中两取样点间增量的倒数。 3.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)由图(c) (d)推导出离散付里叶级数变换： 为周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。一、离散傅里叶级数定义（3-1）时域采样，频域周期延拓，若用“”表示周期，则序列对一个周期（ ）等间隔采样N个点，则采样间隔代入（3-1）式，得离散化的频率频域采样，周期延拓即 则二、频域采样时域不失真条件nN点N点k M点 频域周期延拓，周期图ac 时域采样( 满足采样定理 ) 采M个点，采样间隔图cd 频域采样： 采样间隔假

6、设一个周期 采N个点，则时域周期延拓不交叠，则 （了解） 可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到。补充： 了解 3.3 DFS的主要性质1 线性其中， 为任意常数若则2 序列的移位（1） 时域移位（2）频域移位3 周期卷积利用对称性两个周期序列的周期卷积过程：3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义 周期序列实际上只有有限个序列值是独立的，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列，这就得到有限长序列的傅里叶变换（DFT）。1.有限长序列和周期序列之间的关系 设x(n)为有限长序列，长度为N。我们把它看成周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)以N为

7、周期的周期延拓，这样就建立了有限长序列和周期序列之间的联系。上述两式可分别表示为 n=0到N-1的范围称为主值区间。的第一个周期，即n=0到N-1的序列称为主值序列，例如， 是周期为N8的序列，求n=19和n=-2两数对N的余数。所以 m为整数,可正可负 符号解：因为例3-1 解： 同理，可以认为周期序列 的DFS系数 是有限长序列X(k)周期延拓的结果，而 X(k)是 的主值序列。 即 2 有限长序列的DFT定义 从DFS和IDFS的定义可以看出，求和运算只限定在0到N-1的主值区间内进行，因而完全适用于主值序列x(n) 与X(k) 。因此我们得到一个新的定义，这就是有限长序列的离散傅里叶变

8、换定义：DFS有限长序列的DFT定义 在离散傅里叶变换关系中，有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示，都隐含有周期性意义。注意：例3-2 是一个长度N=12的有限长序列，求解： 3 DFT的图形解释DFT3.5 离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换1 线性性质这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则2 圆周移位圆周移位的过程：一个长度为N的序列x(n)的圆周(循环)移位定义为m：正整数时右移 负整数时左移m为整数圆周移位的过程（左移）图 3-4 圆周移位过程示意图（N=6）左移顺时 由图，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进

9、m个样本，好像刚从左边移出的那些样本又从右边循环移了进来，故称“循环移位”。（1）时域循环移位定理（2）频域循环移位定理若则若则 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅无影响。 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。（1）时域圆周移位定理（证明自学） （2）频域圆周移位（自学）时域序列的调制等效于频域的圆周移位3 圆周卷积若则证明：因为DFT隐含周期性，将 周期延拓，由周期卷积，若则圆周卷积是周期卷积取主值简记为 是取主值*N有时*若圆周卷积定理说明：对于DFT 频域相乘时域圆周卷积。根据对偶原理， 时域相乘频域圆周卷积则*求例3-4 假设两个N点长序列 解：利用

10、圆周卷积定理求解 两列长为N的序列的圆周卷积仍是列长为N的序列 线性卷积不受主值区间限制 圆周卷积是周期卷积取主值，在一定条件下与线性卷积相等。 两个长度都为N的因果序列的圆周卷积仍是一个长度为N的序列，而它们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。线性卷积循环卷积3.6节详细讨论 ？同样，利用对称性若则4 共轭对称性 (了解) 其中：任意序列可表示成 和 之和:其中，x(n)列长N对称性是指关于N/2点的对称性。解决：-周期共轭反对称序列-周期共轭对称序列同理：实部圆周偶对称、虚部圆周奇对称幅度圆周偶对称、幅角圆周奇对称实部圆周奇对称、虚部圆周偶对称幅度圆周偶对称、幅角没有对称性共轭对称性

11、DFT DFT DFT DFT 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 5 DFT形式下的Parseval定理3.6 有限长序列的线性卷积与圆周卷积输出无快速算法有快速算法*而L点圆周卷积FFTIFFT1.线性卷积的列长两式相加，得线性卷积：2.圆周卷积和线性卷积之间的关系：对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为L点；对x1(n)和 x2(n)进行列长为L的圆周卷积：*圆周卷积是周期卷积的主值序列先求周期卷积对x1(n)和 x2(n)以L为周期进行周期延拓：周期卷积：圆周卷积：周期卷积是线性卷积的周期延拓，简记为是*的周期延拓圆周卷积

12、是线性卷积周期延拓后取主值序列 是的主值序列* * L点的圆周卷积是线性卷积以L为周期进行周期延拓后再取主值序列*结论：例3-5补充：线性卷积求解方法时域直接求解 补L-N1个零x(n)L点DFT补L-N2个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n)= x(n)*h(n)z变换法DFT法快速算法3.7 延长序列的离散傅立叶变换1. 后边补零延长 频率采样点数增加，谱线加密，在实际应用中，根据需要调整L值，就可以改变频率采样点间隔，得到不同密度的谱线。 等间隔采样2. 插入零值延长 序列值之间补零后的DFT，是原序列DFT的周期重复，重复周期为N 3. 重复序列本身延长 图3-7 例3-6图例3-

13、6 已知 求X(k)及用三种方法延长后的 序列和相应的DFT 。 延长序列的序列值分别为：三序列的DFT分别为： 3.8 DFT与z变换、傅里叶变换的关系1、DFT与z变换进行对比得2、DFT与DTFT变换进行对比得所以：DFT与Z变换、DTFT变换的关系单位圆上取值单位圆上等间隔取样所以 0,2等间隔取样注意：关于离散傅里叶变换(DFT) 1）序列x(n)在时域是有限长的（长度为N），它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的（长度也为N）。 n为时域变量，k为频域变量。 2）离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT隐含有周期性。 3）离散傅里

14、叶变换（DFT）具有唯一性。 离散傅里叶变换理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径。 3、用频域采样X(k)表示X(z) 的内插公式4、用频域采样X(k)表示 的内插公式 图3-9 在N=5时的幅频特性和相频特性3.9 DFT应用中的问题实际应用中，常用DFT对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换DFT应用中的问题有：1）混叠效应3）栅栏效应2）频谱泄漏(截断效应)抽样截短周期延拓取一个周期周期延拓周期延拓取一个周期卷积周期延拓抽样1）混叠效应 不存在持续时间有限的带限信号，信号截短导致频域展宽。对时域采样，频域周期延拓，产生频谱混叠。 实际信号都是

15、高频衰减的改善方法：提高采样频率来减少频谱混叠2）频谱泄漏对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏 泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低； 泄露现象是由截断造成的，但是靠增加N并不能减少泄露。 改善泄露的办法是采用其他形式的窗函数，如汉明窗，汉宁窗等。3）栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密 序列x(n)的频谱是连续的，而DFT是这个连续谱的均匀抽样。 如果用X(k)去近似，就一定意义上来讲，好象是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙（对应离散点）去观看另一边的景象（对应连续频谱），只能在离散点的地方看到真实的景象。 因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这就有可能漏掉一些较大频率分量。我们称这种现象为“栅栏效应”。