数字信号处理：第6章 FIR数字滤波器的设计方法

1、第六章 FIR数字滤波器的设计方法第六章学习目标掌握线性相位FIR数字滤波器的条件和特点掌握窗函数设计法掌握频率采样设计法了解设计FIR滤波器的最优化方法引言一、IIR DF的优缺点优点： 可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。缺点： 相位的非线性，因此限制了它的应用，如语音处理、图像处理，数据传输都要求信道具有线性相位特性。 若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，使滤波器设计变得复杂。二、FIR DF的优缺点优点： 单位脉冲响应h(n)是有限长的，系统一定是稳定的。 经延时， h(n)总可变成因果序列，系统总可以由因果系统实现。 h(n)为有限长，可

2、以用FFT实现。 当 h(n)是实数，且具有对称特性时，系统具有严格线性相位特性，使它有更广泛的应用，非线性的FIR一般不作研究。 缺点： 阶次比IIR滤波器要高得多。6.1线性相位FIR数字滤波器的特点 FIR滤波器的单位脉冲响应：系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z = 0 处是N 1 阶极点 (1)FIR 数字滤波器具有线性相位的条件本节主要介绍以下两个问题:(2)线性相位FIR滤波器幅度特性的特点h(n)为长度为N的实序列时，其频率响应：一、FIR DF具有线性相位的条件其中， 幅度特性，纯实数，可正可负，即相位特性注意：幅度特性幅频特性1. H(ej)线性相位概念H(ej)线

3、性相位是指 是的线性函数，即群时延为常数第一类线性相位为起始相位第二类线性相位0002FIR滤波器具有线性相位的条件或3线性相位条件的证明令m=N-1-n第一类线性相位 令m=N-1-n第二类线性相位 二、线性相位FIR滤波器幅度特性的特点将和式中偶对称的项两两合并。由于N是奇数，故余下中间一项（ ），其余组合后共有 项，得均对(N-1)/2 呈偶对称即结论：由于N是偶数，故 无单独项。合并后可得即结论：即类似(1)，合并后可得结论：即类似(2)，合并后可得结论：表6-1a 四种线性相位滤波器表6-1b 四种线性相位FIR滤波器的特性类型情况1第一类线性相位情况2情况3第二类线性相位情况4适合

4、设计的滤波器种类： 情况1：低通、高通、带通、带阻； 情况2：低通、带通； 情况3：带通； 情况1：高通、带通。总结带图的见书上125页“表6-1”适合设计的滤波器种类： 低通：1、2； 高通：1、4； 带通：1、2、3、4； 带阻：1。或者二、线性相位FIR滤波器零点分布情况由式（6-2）和（6-7）得到： 此外，因h(n)是实数，H(z)的零点必成共轭对出现，所以 及 也一定是H(z)的零点。所以，零点必是互为倒数的共轭对或者说共轭镜像。图 6-3 线性相位FIR滤波器的零点位置图6.2 窗函数法设计FIR滤波器（Fourier 级数法）一、设计思路与方法非因果，无限长2.将无限长的hd(

5、n) 加窗截断 为有限长的h(n)；要注意线性相位的约束条件！3.由h(n) 所设计滤波器的频率响应例如:理想低通以低通滤波器为例讨论：理想低通滤波器的频率响应解决方法：特点：无限长偶对称截短保留中心点为a的偶对称无限长非因果序列N=？ 在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够“看到”多少个原来的单位脉冲响应，“窗”这个用词的含义也就在此。按第一类线性相位条件，得二、加窗对滤波器频率特性的影响时域乘积相当于频域卷积图6-6 矩形窗对理想低通幅度特性的影响1.加窗对滤波器频响产生的影响 （1）出现过渡带，宽度等于窗函数频率响应 的主瓣宽度（对于矩形窗 ）； （2）在 处出现肩峰值，通带和阻带内产生

6、波动，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度。（3）改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为吉布斯（Gibbs）效应。2.对窗函数的要求窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带。尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，以减小肩峰和波纹。三、常用窗函数矩形窗三角形（Bartlett）窗汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）凯泽（Kaiser）窗矩形窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大窗谱：幅度函数： 三角形（Bartlett）窗主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小窗谱：幅度函数： 汉宁（Hannin

7、g）窗（升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度小幅度函数： 图 汉宁（Hanning）窗谱海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小幅度函数： 布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小幅度函数： 图 设计有限长单位脉冲响应滤波器常用的几种窗函数图 常用窗函数的频谱图 理想低通加窗后的幅度响应（N=51）凯泽（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔函数图 凯泽窗函数阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关窗函数旁瓣峰值衰减/dB 过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗-134/N-21三角窗-268/N-25汉宁窗-318/N-44

8、海明窗-418/N-53布莱克曼窗-5712/N-74凯塞窗-5710/N-80表6-2 几种窗函数基本参数的比较（N=51）四、窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤 为了准确控制滤波器通带边缘，常需进行多次设计。 若Hd(ejw)不能用简单函数表示，则可用求和运算代替积分运算。根据阻带衰减选择窗函数；根据过渡带宽度确定N值例6-2 用矩形窗设计线性相位数字高通滤波器，N为整数，取线性相位情况1，截止频率为 ，求数字滤波器的单位脉冲响应 及系统函数 。解：F反Z加窗线性相位情况1理想的频率特性为用矩形窗如果用其他窗，则思考：取线性相位情况4高通：情况1、4？例：根据下列技术指标，设计一个

9、FIR低通滤波器。 通带截止频率wp=0.2p，通带允许波动Ap=0.25dB； 阻带截止频率ws=0.3p，阻带衰减As=50dB。解：查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的度N。 根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 由表6-2可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽 ，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为选讲3 dB通带截止频率为 由式（6-17）可知，理想低通滤波器的单位脉冲响应为海明窗为则所设计的滤波器的单位脉冲响应为 6.3 频率采样法设计 窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定形状的窗函数截取成有限长的 ，以 来近似

10、，从而使频响 近似理想频响 。 ， 频率取样法是从频域出发，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响。一、设计思想 （1）对所设计的滤波器频响 在 之间等间隔采样N点，得到（2）将此 作为所设计滤波器频响的采样值，即令 （3）对N点 求IDFT，得到 。将 代入Z变换或DTFT公式，可得所设计滤波器的 或 。 也可以根据 或 的内插公式，由 内插恢复出 及 。线性相位的约束条件！二、设计线性相位滤波器的约束条件（1）第一类线性相位令1、线性相位的约束（1）第二类线性相位令（2）其他类型线性相位FIR滤波器类型第一类第二类第三类第四类 频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响

11、应在每个频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。2、频率抽样的两种方法图6-10 两种频率采样(I型，II型)1）第一种频率采样2）第二种频率采样 根据采样点距离截止频率的距离选择哪种采样，目的是使采样点距离截止频率近，通带内样点数多三、逼近误差及改进措施（1）从时域方面分析时域周期延拓无限长（一）逼近误差图 内插后矩形理想特性与梯形特性频率采样的响应抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小（2）从频域方面分析（二）改进措施：增加过渡带采样点 为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人

12、为加入过渡采样点（13个），虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰减。过渡点的值，可由计算机通过线性最优化技术来确定。图 Matlab仿真曲线增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍，截止频率 不能任意取值四. 设计步骤1.根据指标要求给出理想的频率响应 ；2.对 进行等间隔采样：3.把 当做所设计的FIR数字滤波器的N个频率特性抽样值 ：线性相位的约束条件！表6-15.求系统函数 。或4. 求单位脉冲响应例：利用频率采样法设计一个线性相位FIR低通滤波器， 已知（1）采样点数N=33， wc=p/2 ； （2）采样点数N=34， wc=p/2 ，设置两个过渡点 |H1(k)|=0.5925， |H2(k)|=0.1099 。解:（1）选择滤波器的种类低通：情况1、2N为奇数：情况1、3情况1 通带内设置9个采样点（ ），第10个采样点已在通带截止频率之外，处于阻带内。取整数：ZIDFT（2）选择滤波器的种类低通：情况1、2N为偶数：情况2、4情况2取整数： 通带内设置9个采样点（ ），第10个采样点已在通带截止频率之外，可将第10、11点设为过渡点。ZIDFT总结：与窗函数