数学实验之三收敛与溷沌迭代

1、数学实验之三 收敛与混沌(迭代)Mathematical Experements1引例图示迭代数列实 验 内 容实 验 目 的返 回蛛 网 模 型2实 验 目 的1 理解迭代的基本概念；2 掌握图示迭代数列；3 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句；4 了解二元函数迭代方法及图形特征；返 回3 例：污水处理厂每天可将处理池的污水（中含污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能使污水浓度降低一半？引例设第k天的污水浓度为ck，则第k+1天的污水浓度为ck+1=(1-q)ck, k=0,1,2,cn=(1-q)nc0将cn=c0/2代入可解出n=-lg2/lg(1-q), n天

2、后污水浓度降低一半。4 濒危物种的自然演变和人工孵化引例 Florida沙丘鹤属于濒危物种，据报道，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为1.94%，而在中等及较差的自然环境下，年平均增长率则分别为-3.24%和-3.82%，即它将逐年减少。如果在自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型。 人工孵化是拯救这个濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，那么在中等自然环境下沙丘鹤的数量将如何变化？5 建立模型引例 设第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下的年平均增长率为r，且a=1+r,则第k+1年鹤的数量为： 在人工孵化条件下，设每年孵化的数量为b,则第

3、k+1年鹤的数量为： xk+1=axk, a=1+r, k=0,1,2,xk+1=axk+b, a=1+r, k=0,1,2,6例如迭代的基本概念对任意初值x00，由f1(x)产生的数列是收敛于1的。除0，1以外，对任意初值x0，由f2(x)产生的数列是发散的。设函数f(x),任意给定一个数x0，定义可产生数列xn,如何判断该数列收敛？7迭代的基本概念定义：对函数f(x),如果存在点u，使得f(u) = u,则称点u 为函数f(x)的不动点。注意，x=0, 1都是f1(x)的不动点,在x=1附近的任何初值x0，由f1(x)产生的数列都收敛于1，而在x=0附近的任何初值x0，由f1(x)产生的数

4、列都是发散的，前者称为吸引的，后者称为排斥的。8市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡9蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点思考： P0(x0,y0)是否是稳定平衡点？ 10 xy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点

5、xy0y0 x0P0fg曲线斜率蛛 网 模 型11在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型是一致的12 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定结果解释13模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程试分析平衡点稳定条件，即k, xkx0的条件14图示迭代数列以下讨论二次函数：其

6、中a为参数，考虑a 的取值范围0, 4，称该函数为Logistic函数。可以用图形的方式来反映迭代的过程。迭代格式：Z Logistic函数的两个不动点x=0, 1-1/a是吸引的还是排斥的？15三种图形显示方式： 线性联结图、蛛网图、费根鲍姆图1）线性联结图 用点(n, xn)描述迭代点，并用直 线连接这些点所形成的折线图（横坐标表示n，纵坐标表示 xn）。Z 不同的参数a，产生的序列xn可能收敛可能发散。观察a取什么值时收敛（或发散）？图示迭代数列16震荡发散情形收敛情形1. 线性连接图2-周期4-周期17a=0.5,2.5,3.1,3.5;x1=;x2=;x3=;x4=;x1(1)=0.

7、5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;x4(1)=0.5;for i=2:20 x1(i)=a(1)*x1(i-1)*(1-x1(i-1); x2(i)=a(2)*x2(i-1)*(1-x2(i-1); x3(i)=a(3)*x3(i-1)*(1-x3(i-1); x4(i)=a(4)*x4(i-1)*(1-x4(i-1);endn=1:20;subplot(2,2,1),plot(n,x1),title(a=0.5,x0=0.5)subplot(2,2,2),plot(n,x2),title(a=2.5,x0=0.5)subplot(2,2,3),plot(n,x3),title(a=

8、3.1,x0=0.5)subplot(2,2,4),plot(n,x4),title(a=3.5,x0=0.5)MATLAB 程序died4.m18 在直角坐标系中，首先画出直线y= x和曲线y= f(x)，其中f(x)为迭代曲线。 从直线y= x上点An(xn,xn)到曲线y= f(x)上点Bn(xn,xn+1)；（垂直） 从Bn(xn,xn+1)到An(xn+1,xn+1); (水平） 重复。a=2.9, x0=0.2 AnBnAny = xy = f(x)2. 蛛网图19a=2.9;ezplot(2.9*x*(1-x),-0.2,1.2),% 画二次函数曲线hold on ezplot(

9、x,-0.2,1.2),% 画直线x1=;x1(1)=0.2; % 初始点for i=2:50 x1(i)=a*x1(i-1)*(1-x1(i-1); plot(x1(i-1),x1(i-1),x1(i-1),x1(i); plot(x1(i-1),x1(i),x1(i),x1(i);end % 画折线MATLAB 程序20发散情形收敛情形2. 蛛网图213. 费根鲍姆图周期点：如果对某个x0M有fn(x0)=x0，但对于小于n的自然数k, fk(x0)x0，则称x0是f的一个n-周期点。 当x0是f的n-周期点时，有fn+k(x0)=fk(x0)。此时迭代序列为x0, x1, x2, xn-

10、1, x0, x1,xn-1, x0, ,只有n个不同的元素。 注意，若x0是f的n-周期点，则x0, f(x0),fn-1(x0)均是f的n-周期点。223. 费根鲍姆图图3.5 费根鲍姆图： f(x) = ax(1-x), a = 2.9,3.2, 3.5,3.56, 3.7, 3.828前1000项axn结论：具有周期性！23倍2-周期：2，4，8，16，32，倍3-周期：3，6，12，24，48，96，分岔与混沌 倍周期分裂行为就是 所谓的分岔。随着参数a的取值的增加，分岔频率逐渐加快。对参数a连续取值观察序列收敛性的变化？能否确定各个周期变化的临界状态？24该图形特点：观察当参数a连

11、续变化时，函数f(x)=ax(1-x)的收敛与发散情况。3. 费根鲍姆图xn25编写一个对含参变量函数 f(x,a) 进行迭代可调用程序。function root=iter(x,a)for i=2:100 x(i)=a*x(i-1)*(1-x(i-1);endroot=x; % 产生100个迭代序列组成的数组MATLAB 程序iter.m26clf; x=; x(1)=0.2;hold on;for a=2:0.01:4 root=iter(x,a); plot(a.*ones(size(root(51:100),root(51:100),.)endxlabel(parameter a);y

12、label(迭代序列（51-100）); died9.mMATLAB 程序能否将图形放大？27died9.mMATLAB 程序3.44928died9.mMATLAB 程序29died9.mMATLAB 程序30k(2k个周期点）ak(临界值)k(2k个周期点）ak1363.569723.449473.569933.544183.5699343.564453.5688周期点分岔的临界值表31当ak = 3.569945672时，以上的倍-2周期分裂行为（分岔）终止，迭代进入没有周期性规律的模式（混沌），并且，迭代数列非常敏感地依赖于初始值x0的选取，这种不规则性与不可预测性，就是所谓的混沌（C

13、haos）。混沌与分岔相伴发生，分岔是混沌出现的早期现象。例如a = 3.7的迭代行为就是如此。通过实验还可以发现，当a = 3.7时，迭代对初值的高度敏感性：无论两个初值如何靠近，经过迭代其结果(两个数列)将是各行其道，这体现了混沌的不可预测性。 混沌32迭代格式： xn+1=4xn(1-xn), n = 0,1,1、取初始点x0=0.2, 记产生的序列为xn；2、取初始点x0=0.201, 记产生的序列为yn；3、作线性连接图。即 plot(n, xn-yn)；敏感性分析33敏感性分析x0=0.2x0=0.201a=434 另外，吸引子的倍增现象不只是对二次函数才有，别的函数也有。例如，敏

14、感性分析351、迭代以下函数，分析其收敛性。任选一个完成。 使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a进行讨论与观察，会得到什么结论？实 验内容返 回结 束362、生物种群的数量问题 种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记xk(t)为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。实 验内容37A. 建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,5, t=0,1,），如 。为简单起见，繁殖量都按年初的种