－时域稳定性分析

1、第四章 控制系统的时域分析 三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性 41 控制系统的稳定性分析一、稳定的系统概念和定义 稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。 1稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，则称系统是稳定的。反之， 称系统是不稳定的。 即取决于系统的零输入响应 1 2稳定的充要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。 设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函数 ，即R（S）=1。当作用时间t0时， =0，这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若时，这时系统的

2、输出为脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。41 控制系统的稳定性分析2设闭环系统的传递函数：设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。系统输出：对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出：上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在平面的左半部。33. 劳斯 (Routh) 稳定判据 系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设 线性系统的特征方程为： 由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正数。若特征方

3、程中任一系数为负或缺项（系数为零），则系统为不稳定系统。劳斯判据分析系统稳定性步骤：第一步：将特征方程式的系数按下列规则排成两行，即41 控制系统的稳定性分析4第二步：进行下列运算，建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例如，现有一个五阶系统，其特征方程：则劳斯表为41 控制系统的稳定性分析5第三步：根据劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据：系统稳定的充要条件是： 劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即分布在平面右半部）的根的数目，等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。 例：系统的特征方程：解：列出劳斯表： 因为劳斯表中第一列元素无符号变化，说明该系统

4、特征方程没有正实部根，所以：系统稳定。41 控制系统的稳定性分析6例：已知系统的特征方程为，试用劳斯判据判别其稳定性。解:列出劳斯表劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明该系统有两个特征根在右半s平面，所以系统不稳定。41 控制系统的稳定性分析72劳斯判据的两种特殊情况(1) 劳斯表中某行第一项元素为零，其余项不为零或不全为零。 此时，可以用一个任意小的正数代替这个零，然后按通常的规则继续完成劳斯表中其余各项元素的计算。如果零（ ）上面这项系数符号与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里有一个符号变化。 例： 特征方程 ，试判别稳定性。解： 列出劳斯表劳斯表中第一列元素符号的变化的次数也为两次

5、，说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不稳定。41 控制系统的稳定性分析8（2）某一行元素全为零 如果出现某一行元素全为零，说明特征方程存在大小相等符号相反的实根和（或）共轭虚根，或者共轭复根。此时，可用全零行上面一行的元素构造一个辅助方程，利用辅助方程对s的求导后得到的方程系数代替全零行的元素，然后再按通常的规则完成劳斯表中其余各项元素的计算。辅助方程的次数总是偶数，所有那些数值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。 例 系统特征方程为 ，试用判别其稳定性。 解： 列出劳斯表。 全零行上面一行（行）的元素构造一个辅助方程A(s) ， 可求解A(s)=0得到数值相等符号相异的根，系统处于 临界稳定状态。41 控制系统的稳定性分析9例 确定系统稳定的K、T值。解: 系统的特征方程为列出劳斯表要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零。由此得则稳定条件为： 41 控制系统的稳定性分析, 0 K 1011 例：设系统特征方程为 ，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 与虚轴之间。 解：列出劳斯表