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文档简介

1、最佳分数近似值 在“怎样计算Pi?”的实验中,我们看到,祖冲之将Pi计算到3.141596与3.1415927之间,但是实际上,祖冲之并没有使用小数,他算出的圆周率是22/7(密率)、355/113(约率),看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大? 可以看出,分数355/113几乎与Pi足够接近,而22/7虽然差一些,但它所用的分数却更简单。 实际上,对任何一个无理数a,都可用一个分数p/q来作为a的近似值,其近似计算的好坏可用=|a-p/q|的大小来衡量, 越小,说明这个近似值越高。 那么,什么是分数对无理数的最佳分数逼近呢?分数对无理数的最佳分数逼近定义如下:练习:让分母q依次取遍1到10

2、00的所有自然数,对每个分母q,取p=q*Pi+0.5得到一个最接近Pi的分数p/q,并将所有的这样的分数列出来,同时列出与Pi的误差。Mathematica程序如下: 可见,在1到1000之内,在给定的近似误差下,最好的一个分数近似值就是祖冲之所找到的密率355/113。实数的连分数展开称如下分数:为连分数。 那么,给定一个实数a,是否能够将a表示成一个连分数,如果能够,那么从某一项i开始截断此连分数则它可作为a的近似值下面是利用连分数求Pi的近似值的例子: 因此,下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近似值。 可以看出,利用连分数的方法求最佳分数逼近,很容易使用计算机实现,下面看看用mathematica怎样编写。下面是mathematica源程序

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