中学数学中的变量代换

1、中学数学中的变量代换中学数学中的变量代换在学习数学的过程中，我们常常觉得一些公式的变形、等式的变化很难理解，在解题时往往感到很难下手，于是对数学产生畏惧、厌倦情绪，然而变量代换是众多数学方法中易于掌握且行之有效的方法.所谓变量代换是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量或变量表达式来代换，这种方法也称为换元法.一、变量代换的几种常用方法用变量代换法分析和解决问题可以化难为易，把抽象问题变详细，使解题者对数学更加有兴趣，从而进步学习积极性.在中学中，变量代换应用广泛，总结概括为以下几点：一初等变换法有关函数知识及问题常常要用变量代换思想去分析和理解.初学函数概念与符号fx时，很多学生对其表达意义

2、不能正确领会和应用.例如，fx=x2，那么fx+=x+2，在课堂不注重方式的令x=x+，学生很难理解，因为xx+，事实上把ft=t2中的变量t用x+代入得到结论就比较容易让学生理解了.例1.定义在R上的函数y=fx，当x0时，fx1且对任意a、bR有fa+b=fafb，又f00.1求证：f0=1；2求证：对xR，有fx0；3求证：fx是R上增函数.分析：解决此题关键在于把条件中的a，b，x进展屡次变量代换，还有利用等量代换，如f0=1.证：1由fa+b=fafb，得f0+0=f0f0.因为f00，所以f0=1.2当x0时，fx10；当x0时，因为-x0，所以f-x0.由fx+-x=fxf-x，

3、知fx=0.综上知：xR，有fx0.3设x1x2，那么x2-x10.因fx2=fx2-x1+x1=fx2-x1fx1；又当x2-x10时，fx2-x11，且fx10，所以fx2=fx2-x1fx1fx1，因此fx是R上增函数.二递推数列下标代换法例2.在数列an中，a1=3，nan+1=n+2an+2nn+1n+2，求通项公式an.分析：解题过程中主要是把变换为bn，这样过程可以简化些，最后再用an回代.解：对原递推式两边同除本文由论文联盟搜集整理以nn+1n+2可得：=+2令bn=那么为bn+1=bn+2，即数列bn是首项为b1=，公差是bn+1-bn=2的等差数列，因此bn=+2n-1=2

4、n-，代入式中得an=nn+14n-1.故所求的通项公式是an=nn+14n-1.三方程代换法例3.假设正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.分析：题中的a，b之和与a，b之积是联想韦达定理的信号，因此考虑构造方程进展代换.解：设ab=p，那么a+b=p-3，故a，b是方程x2-p-3的两个正根，那么有？驻=p-32-4p0，p0，p-30，解得p9，即a，b的取值范围为9，+.四整体代换例4.设x，y，z0，x+y+z=1，求+的最小值.分析：注意到x+y+z=1，其他的代数式与之相乘后不会改变其原来的性质.就该题而言，相乘后可得到能利用均值不等式的形式.证：+=x+y+z+=1

5、4+2+=14+22+6+3=36.当x=，y=，z=时等号成立.五不等式中的变量代换在代数式的恒等变形和解方程时，我们使用过变量代换.而在不等式的证明中假设能引进适当的代换，不仅能使证明简化，而且比较容易找到证题思路.下面用两道例题进展描绘，权作引玉之砖.例5.a0，b0，0，求证：+.分析：直接证明似乎不太容易，假设注意到不等式的对称性，把b+，a+，a+b看作三个新的变量进展代换，就会使形式变得简单，容易证明.证：令x=b+，y=+a，z=a+b，那么a=-x+y+z，b=x-y+z，=x+y-z，于是+=+=-+-+3=.当且仅当x=y=z，即a=b=时取=号.二、变量代换的作用变量代

6、换在数学解题中有着广泛的运用，被称为是解决数学问题的有力杠杆.下面通过举例说明几种常见的用处.一用代换变未知为在一些题目中，往往通过引进新的变量可把分散的条件联络起来，使隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联络起来，或者变为熟悉的形式，从而把本来复杂的计算和推证简化.例6.AB的三个内角A、B、满足：A+=2B，+，求s的值.分析：此题中A+=120是，随后结合三角形角的关系与三角公式进展运算.再次除由想到引进变量进展代换后，还要求对三角公式的运用相当纯熟.解：由AB中A+=2B，可得A+=120B=60由A+=120，可设A=60+=60-代入等式得+=+=+=-2.二沟通数学中各分科的统一

7、解数学综合题的关键是寻找各知识点的有机联络，通过知识点的转移以到达代数问题三角解，几何问题代数解.而变量代换在知识的转化中起到了桥梁作用.例7.假设a1，b1，求证：1.证：因为a1，b1，令a=sin，b=sin，那么ab=sinsin=sinsin=sinsinss=s所以ab=s1.三可以拓宽解题思路，实现一题多解一题多解即在数学解题过程中，一些题目往往具有多种不同的解法，但由于每个学生原有知识、本身素质以及掌握信息量不尽一样，对题中数字方式以及构建新的联络也各不一样，正如通常情况下运用变量代换就可使题目有不同的解法.例8.x、y是正数，且x+y=1，A=ax+by，B=ay+bx，试比

8、较AB与ab的大小.分析：此题通过观察条件的构造特征，引入中间变量，使两个变元的问题转化为一个变元的问题，且差的符号也容易断定.解法1：令x=s2，y=sin2，0，那么AB-ab=ax+byay+bx-ab=a2+b2s2sin2+abs4+sin4-ab=a-b2s2sin20所以ABab.解法2：令x=t，y=-t0t，那么AB-ab=a-bt+-a-bt+-ab=-a-b2t2+2-ab=a-b2-t20而a-b20，-t20，即ABab.三、用变量代换法解题错误解析变量代换是中学数学中一个重要的数学方法，正确的运用它常常能事半功倍，而运用不当那么常会导致不易觉察的错误，长此那么会影响解题者思维的严密性.例9.假设x+y+z=1，试证：x2+y2+z2.解：设x=-t，y=-2t，z=+3ttR，所以x2+y2+z2=-t2+-2t2+3t2=+14t2.当t=0，即x=y=z=时，等号成立.辨析：粗看确是一个好方法，可仔细看发现其中代换x=-t，y=-2t，z=+3t欠妥当，因为x=，y=，z=显然适宜条件x+y+z=1，但都无法从中代换得出，而且类似这样不能得出的x、y、z还有很多.由此可见，这种代换本质上缩小了原变量的可取值范围，因此失之片面.正确解法如下：解：设x=+t，