1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

1、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.)x 2a(1)设 lim(a)x =8，则 a=.x ：二 x - a(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x-y+2z = 8垂直，则此平面方程为(3)微分方程y-2y，+ 2y = ex的通解为.(4)函数u =ln(x+Jy2 +z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,2,2)点方向的方向导数为. TOC o 1-5 h z ,10 2、(5)设 A是 4M3 矩阵，且 A 的秩 r(A) =2,而

2、B = 02 0，则 r(AB)=-1 0 3二、选择题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知(x +ay)dx ： ydy为某函数的全微分，则a等于()(x y)(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2(2)设f(x)有二阶连续导数，且f(0) =0, lim =23=1，则()x。|x|f (0)是f (x)的极大值f (0)是f (x)的极小值(0, f (0)是曲线y= f(x)的拐点f (0)不是f (x)的极值,(0, f(0)也不是曲线y = f (x)的拐点学问是异常珍贵的东西，

3、从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根qQ 设an0(n=12|),且 an收敛，常数九w n 4(0,二)，则级数 (-1)n(ntan-)2a2nn =1(4)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)()收敛性与九有关设 f(x)有连续白勺导数,f(0)=0, f(0) #0, F(x)=0 (x2 -t2) f (t)dt ,且当 XT 0(A) 1(B) 2(C) 3a00四阶行列式0a?b20的值等于0b3%0b400a4时，F(x)与xk是同阶无穷小，则k等于(A)31a2 a3 a4 bb2b3b4(D) 4(B)aa2 a3 a4

4、6b2b3b4(C)(a1a2 -b1b2)(a3a4 -b3b4)(D)(a2a3 -b2b3)(a1a4 4)三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分.) 求心形线r =a(1+cos)的全长，其中a 0是常数.(2)设 x1= 10, xn+ = 76+xn(n=1,2,|),试证数列%极限存在，并求此极限.四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分.)计算曲面积分 口(2乂 + 2川丫2+2乂丫,其中$为有向曲面z = x2 + y2(0 W zW 1),其S法向量与z轴正向的夹角为锐角.u =x -2y 一8 2z8 2z*7石 2z(2)设变换uy，可把方程6号+- = 0化简为

5、 一z =0,求常数a,其u =x ay：:x2Fx：y;y2；u.:v中z=z(x, y)有二阶连续的偏导数.五、(本题满分7分)一，二 1求级数Z 1的和.njn2 -1)2n六、(本题满分7分)设对任意x A 0,曲线y = f (x)上点(x, f (x)处的切线在y轴上的截距等于学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根1 x，、，f f (t)dt,求f (x)的一般表达式.x 0七、(本题满分8分)设f(x)在0,1上具有二阶导数，且满足条件| f (x)区a , | f (x)区b ,其中a,b都是非负常数,c(0,

6、1)内任一点,证明| f(c)区2a + b.2八、(本题满分6分)设A = E -箕T,其中E是n阶单位矩阵，口是n维非零列向量 YT是旨的转置，证明:A2 = A的充要条件是丫=1；(2)当之Tt =1时，A是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)222已知一次型 f (Xi,X2,必)=5x +5x2+cx3 - 2XiX2 +6XiX3 - 6x2x3 的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f (Xi,X2,X3)=1表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1御2%,现从由A和B的产品分别占

7、60御 40%勺一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A生产的概率是 .,则随机变量(2)设X、刈是两个相互独立且均服从正态分布N (0,(十)2)的随机变量上-n|的数学期望E(-n ) =.十一、(本题满分6分.)设*、4是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知:的分布律为pg = i =13i =1,2,3,又设 X =max(t,“), Y = min( -,n ).学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根23(2)求随机变量X的数学期望E(X).1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(本

8、题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln2【解析】这是1父型未定式求极限.方法x 2a,xx - ax-a 3 ax3a、击&二 3a x -ax-a.3a一令=t ,则当xT 6时，tT 0,x-ax-a产x-a= |im(1 t)t学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根3axlim二 ex、x 2ax lim()x ：二 x-a3alim 3 a-ex-1 =e由题设有 e3a = 8 ,得 a =1 ln8 = ln 2.3、小i x + 2a万法一：lim .(x-V x -a J

9、=limx_ ：=limlim 1经国2a1-x Jlim i 1 -x /、一 (-a)a2a ee3a二e由题设有 e3a =8 ,得 a =1 ln8 = ln 2.3(2)【答案】2x+2y-3z = 0【解析】方法一：所求平面过原点O与M0(6,-3,2)，其法向量才 -In _OM016-3,2；平面垂直于已知平面 4x-y +2z=8,它们的法向量也互相垂直:n _ n0 = 14,T2J ；由此， n/OM0 n06-3 2=4i 4j4-12取n=2i + 2j 3k ,则所求的平面方程为 2x + 2y3z = 0.方法二：所求平面即为过原点，与两个不共线的向量(一个是从原

10、点到点 M0(6, -3,2)的向量OM = 6,3,2卜另一是平面4x y+2z=8的法向量= 4,1,2)平行的平面，=0,即2x 2y-3z =0.4-12x -(3)【答案】e (g cosx+C2 sin x + 1)【解析】微分方程y -2y 2y =ex所对应的齐次微分方程的特征方程为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2x ,r -2r +2=0,解之得h? 二1 i.故对应齐次微分万程的解为 y = e (C1 cosx + CzSin x).由于非齐次项e,a =1不是特征根，设所给非齐次方程的特解

11、为y*(x) = aex，代入 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document xxy -2y +2y=e得a =1(也不难直接看出y (x) = e ),故所求通解为 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document xx xy = e (C cosx C2 sin x) e = e (C1 cosx C2 sin x 1).学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。一一阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根【相关知识点】二阶线性非齐次万程解的结构：设 y (x)是二阶线性非齐次方程y* + P

12、(x)y+Q(x)y = f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程. . _ 一 一 yrP(x)y + Q(x)y = 0的通解，则y = Y(x) +y (x)是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即 y* + P(x)y+Q(x)y = 0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y + py + qy = 0 .其特征方程写为r2 + pr +q = 0 ,在复数域内解出两个特征根r1，也；分三种情况：(1)两个不相等的实数根r1,r2，则通解为y = Cie1+C2e2x;(2)两个相等的实数

13、根r1=r2，则通解为y = (C1+C2x)e%;(3) 一对共轲复根 =o( 士iP ,则通解为 y = e集(C1cosBx + C2sin Px 1其中 C1,C2 为常数. 对于求解二阶线T非齐次万程y+P(x)y + Q(x)y = f(x)的一个特解y (x),可用待定系数法，有结论如下：如果f (x) = Pm (x)e勺则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y* (x) = xkQm(x)ex的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按人不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =e%P(x)cos6x +Pn(x)si

14、n切x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y + p(x)y+q(x)y = f (x)的特解可设为y* =xke、 Rm1)(x)coswx + R2)(x)sin wx,其中Rm)(x)与Rm2) (x)是m次多项式，m = maxl,n,而k按九十闻(或九前)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.【分析】先求方向l的方向余弦和L-U 二 u 二 u,：:x ：:y ：:z然后按方向导数的计算公式-:u一cos- x+cos P + cos飞求出方向导数-y二 z学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根【解析】因为与

15、AB同向，为求的方向余弦，将aB = 3-1,-2-0,2-1=2,-2,1单位化，即得 ；=AB = 112,-2,1： - Icos： ,cos ： ,cos ).| AB| 3将函数u=ln(x+Jy +z )分别对x,y, z求偏导数得所以【解析】因为B =【相关知识点】；:ujx1x % y2 z2(1,0,1):u:y；:u；zFu；:la (x：y2 z2) y2 z2(x,y2z2) , y2z2.u.xcos：:uay(1,0,1)(1,0,1)Fu cos - A：zcosA1 2 八，2、 1 1 1= 0 (-)=2 33 2 3 2【答案】2= 10#0,所以矢I 阵

16、 B 可逆，故 r(AB) = r(A) = 2.r(AB) 0,所以由函数极限的局部保号性x Q | x|f (x)可知，在x=0的空心领域内有 一尊A0,即f (x) A0 ,所以f (x)为单调递增.|x|又由f (0) =0, f(x)在x = 0由负变正，由极值的第一充分条件，x = 0是f(x)的极小值点，即f(0)是f(x)的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设 lim f (x) = A若A 0(或A c 0)=三6 0,当 x的0 x -x0 6 时，f(x)A0(或 f(x)0).(3)【答案】(A)00O0【解析】若正项级数 z an收敛，则工a2n也收

17、敛，且当nT + 8时，有n 1n 1hJm_(ntan) = Jim.tan nn用比较判别法的极限形式，有ntan a2nlim nni :aa2n学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根因为2r a2n收敛，所以lim ntan- a2n也收敛，所以原级数绝对收敛，应选(A). n4x二 n【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式:OQOQ设 un和 vn都是正项级数，且lim%=A,则n 二 UnqQqQ(1)当0 A 若lim三切不存在(不为)，称ot(x), P(x)不可比较.：(x)(5)【答案】(D)【解析】可直

18、接展开计算= 3)34a2b3b2a2b30-b)b4b2%30a2a4b2-b1b432 b3 0b2%30=(a2% - b2b3)(a1a4 - bh),所以选(D).三、(本题共(1)【解析】2小题，每小题5分，满分10分.)由极坐标系下的弧微分公式得ds = Jr2(、)+ r 2(S)de = a J(1 +cos)2 +sin29dg=a . 2(1 cos ?)d 1-2acos d9 .2由于r =r)=a(1+cosH)以2n为周期，因而日的范围是日W0,2冗.又由于r(B) =r(-6),心形线关于极轴对称.由对称性，s = 20ds = 4a0cos3d-8a一.日即0

19、=8a.(2)【解析】用单调有界准则由题设显然有xn 0,数列xn有下界.证明xn单调减：用归纳法.x2 =,6+% =)6+10=40（或Xn 0）, 且 lim = a，那么a20(或a W0).四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）（1）【分析一】见下图所示，S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求出，分别为Dxy ：x2+y2 1 ；Dyz: -1 y 1, y2 z 1,或 0 E z 1,-Vz y Vz .X图1求f fzdxdy，臼然投影到xOy平面上.求jj（2x +z）dydz时，若投影到xOy平面上，被积函S数较简单且可利用对称性【分析二】令 P(x, y,z)

20、=2x +z,Q(x, y,z) =0, R(x, y,z) = z,则 I = jjPdydz+ Rdxdy.S TOC o 1-5 h z 这里，+=2+1 =3,若用高斯公式求曲面积分 I ,则较简单.因S不是封闭曲 Fx：:y：:z面，故要添加辅助曲面.；z 22)(x y )dxdy,：x【解析】方法一：均投影到平面xOy上，则I = (2x z)dydz zdxdy ii(2x z)(SD xy其中 z = x2 y2, Dxy: x2 y2 - 1. HYPERLINK l bookmark188 o Current Document :z,、 一把一 =2x代入，得x2 .一_

21、22_22_I =-4x dxdy ,1.1 2x(x y )dxdy 11 (x y )dxdy , HYPERLINK l bookmark184 o Current Document DxyDxyDxy由对称性得学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根.2x(x2_2_22y )dxdy = 0 , 11 4x dxdy = 2 11 (x y )dxdy ,DxyD xyD xy所以I - -(x2y2)dxdy.Dxy利用极坐标变换有方法二:2 二 1 二一0 d1.0r3dr - 2 - r4-,40分别投影到yOz平

22、面与xOy平面.投影到yOz平面时S要分为前半部分S1: x = Jz-y2与后半部分S2:x= -7z-y2（见图1）,则I = (2x z)dydz，11 (2x z)dydz，11 zdxdy.SiS2由题设，XSi法向量与x轴成钝角，而XS2法向量与x轴成锐角.将I化成二重积分得11 (2z - y2 z)dydz，11 (-2、z - y2 z)dydz，11 (x2 y2)dxdyDyzDyzDxyDxy:-4 11 , z - y2dydz，11(x2 y2)dxdy.Dyzz=1! Jz - y2dydz =Dyzdy y2、z - y2dz ;1 22(z-y2)2dy4 1

23、2 3=3 0(1- y) dy24 o 4sin t - 2 cos tdt 3Jljz-y2dydz=(dz6Dyz11 2 二dy =一二z dz =.0 24（这里z : Jz y2dy是半径为 册 的圆面积的一半.） Tz11 (x2 y2)dxdy 二Dxyn一（同方法一）.2因此,jejejiI - -4 =-422方法三：添加辅助面 : z =1（x2+y2 W1）,法方向朝下，则学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根! ! (2x z)dydz zdxdy = dxdy - - idxdy -：,SiSi其中D

24、是G在平面xy的投影区域：x2 +y2 1.S与Si即z=x2 +丫2与2=1围成区域Q , S与Si的法向量指向c内部，所以在C上满足高斯公式的条件，所以! (2x z)dydz zdxdy = -3iiidVS._.G i-3 0 dz I； dxdy - -3 0 二 zdz =D(z)所以其中，一 3因此，I = -3二2-2:z.2二 z:x ：:y(2)D(z)是圆域：x2 + y2 M z,面积为nZ .311 (2x z)dydz zdxdy =-Si2【解析】由多元复合函数求导法则_rv_rv rv_rv rvZ 二 Z 二 u 二 Z 二 v一 =+.:u ；x ;:v :

25、x.Z.y ； u 二 y : v cy=一(一)一(一) f-.,f-.f-.,.x 二 u.x 二 v-2-二 Z 二 u+，得；z,Z.Z-2 a 二 u二 v-2-2二 Z 二 v 二 Z一 十22.u 二x二u：v ex :V_2二 z- 2 cu.2. 2二 z z-2 ,;u；v 二v-2:z-：urxrxxcvcu.x(-y,Z.:ur rz一(一).y 二 v.2二 z-2cu-2-2;u c Z 二V 二 zF+1- V .:y ：:u 2V：:y=-2-2三 2二 u(a-2)-2二 Z-2二 Z二 u：v-：v2二 ycv：uFu-2二 Z二一2 一(三)a () :y

26、 .u .y .v-2Z=-2(2：u.2-二 u二 z二 v、/-)a(y tu：v 二yf2Z-2-.v : Z 二 u-T- T1Fy :v:u ：y-2:z-2Z 2一 4a au v-2:Z-：v2学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根代入6_2_2_2二 z 二 z 二 z.:x2-：x：-y .-y-2) z 6 . 2 .x；2z一 一 一一 2二 x：y二 y：2z：2z二(10 5a)(6 a - a2) 2 = 0 .jujv:v是，令 6+aa? = 0 得 2 = 3或2 = 2.：2za = -2时，

27、10+5a=0,故舍去，a =3时，10+5a =0,因此仅当a =3时化简为- =0 .；u ； v【相关知识点】 多元复合函数求导法则：若u = u(x,y)和V = v(x, y)在点(x, y)处偏导数存在，函数z = f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z= f u(x, y), v(x, y)在点(x, y)处的偏导数存在，且；z；:x开：:u.：ujx二 f 二 V+2V ;x；zy二 f 一u 二 f 一v+.:u .:y五、(本题满分7分)【解析】先将级数分解二 1A =nm(n2 1)2n1=、Uon 1n =2 21n -1CO= - n22QO-z

28、-n =2 2J，1=nm 2n 2 n1-、0 n nn=3 2 nA = A 一 A2.n-1由熟知ln(1+x)哥级数展开式，即ln(1+x)=匕口一xn(1 0,所以yC1,x两边积分得y=f(x) =C1 In x C2.方法二：令 y = P(x)，则 y=P，解 xP+P = 0 得 y=P = 5.x再积分得 y = f (x) = C11nx C2.七、(本题满分8分)【解析】由于问题涉及到f, f与f ”的关系，自然应当利用泰勒公式，而且应在点c展开:学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。一一培根f ( )2 .

29、f (x) = f (c) + f r(x)(x -c) +(x-c)，在 c与 x 之间.分别取x =0,1得f ( c) Of (0) = f(c) + f(c)(0c)+2(0 c)2, 4 在 c 与 0 之间, TOC o 1-5 h z f (二)2 .f(1)= f(c) + f(c)(1c)+2(1 c)2, q 在 c与 1 之间，1oo两式相减得f (1)- f(0) = f (c) -f ( 1)(1-c)2 - f ( 0)c2,一100于是f (c) = f(1)-f(0)-f ( 1)(1-c)2-f ( 0)c2.11由此 I f (c)HI f (1) +| f

30、(0) +R f)(1c)2 + R f “(J) c2_ 2a 1b(1 -c)2 c2 : 2a b.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为A=E 里T, UTU为数，纹,为n阶矩阵，所以A2=(E- T)(E- T)=E-2 T ( T ) T =E-(2- T ) T, 因此，A2 = A= E - (2 - T ) T = e - T ( T -1) T = 0因为、是非零列向量，所以里, #0,故A2 = Au竺, 1 = 0，即里T =1.(2)反证法.当里丁 =1时，由(1)知A2 = A,若A可逆，则A= A,A2 = A/A= E .与已知A = E-里T /E矛盾，故A是

31、不可逆矩阵. TOC o 1-5 h z 九、(本题满分8分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为5-13 A = -15-3 .13 -3 c因为二次型秩 r(f) = r(A)=2,由5-13 ”440 ”/400A = | -15-3 t15-3 t16-3(3-3c J13-3c ；13-6c ,可得c =3.再由A的特征多项式学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根5 -5|KEA|= 1-31-3九一53=K(九一4)(九一9)3 九一3求得二次型矩阵的特征值为0,4,9 .2_2(2)因为二次型经正交变换可化为4 y2

32、 +9y3 ,故-.一 .2-2,f (Xi,X2, X3)=1,即 4y2 +9y3 =1.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个 n元二次型T Af (X1,X2,|l|,Xn) = X AX,存在正交变换x = Qy ( Q为n阶正交矩阵),使得T _T _T_22.2X Ax = y (Q AQ)y = , 2y2 IM %yn ,其中a,%,III, %是实对称矩阵 A的n个特征值，、的门个列向量口1,支2/1 Fn是A对应于特征值% , %, 111，九n的标准正交特征向量十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.)、3(1)【答案】-7【解析】设事件 C= 抽取的

33、产品是次品，事件D= 抽取的产品是工厂 A生产的”则事件D表示“抽取的产品是工厂 B生产白T ,依题意有P(D) =0.60,P(D) =0.40,P(C|D) -0.01,P(C | D) -0.02.应用贝叶斯公式可以求得条件概率P(D |C)：P(D |C)=P(D)P(C | D)P(D)P(C | D) P(D)P(C | D)0.6 0.01=30.6 0.01 0.4 0.02 7【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S. A为E的事件，B),B2JII,Bn为S的一个划分，且 P(A)0, P(Bi) 0(i =1,2,|,n),则P(Bi)P(A| Bi)”P(Bi|A)i ,i =1,2,111,