三角形图形变换多种情况动点专项练习30题有答案

1、三角形图形变换多种情况动点专项练习30题（有答案）.在等边4ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与 A、B、C重合），点P是平面内一动点.设 /PDC=/1, /PEB=/2, /DPE=/a.（1）若点P在边BC上运动（不与点 B和点C重合），如图（1）所示.则/1 + /2=.（用a 的代数式表示）（2）若点P在4ABC的外部，如图（2）所示.则/ “、/1、/2之间有何关系？写出你的结论，并说明 理由.（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出 乙八/1、/2之间的关系式.（不需要 证明）1B（2春用国.在等腰直角三角形 ABC中，/ BAC=90 , AB=

2、AC ,直线MN过点A且MN / BC ,过点B为一锐角顶 点作RtABDE, Z BDE=90 ,且点D在直线 MN上（不与点 A重合），如图1, DE与AC交于点P,易证: BD=DP .（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点 P, BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请 说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P, BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.第1页共48页.如图，在等边 4ABC中，点D在直线BC上，连接 AD ,作ZADN=60 ,直线DN交射线 AB于点巳 过点C作CF / AB交直线DN于点F.,求证：CF+BE=

3、CD ;(1)当点D在线段BC上，/NDB为锐角时，如图(提示：过点 F作FM / BC交射线AB于点M .)(2)当点D在线段BC的延长线上，/NDB为锐角时，如图 ；当点D在线段CB的延长线上，/ NDB为钝角时，如图，请分别写出线段 CF, BE, CD之间的数量关系，不需要证明;(3)在(2)的条件下，若 ZADC=30 , SAabc=4AC , AD 平分 / BAC 交 BC 于点 D.(1)如图1,若 MBC是等腰直角三角形，直接写出线段AC, CD, AB之间的数量关系;BC的垂直平分线交 AD延长线于点E,交BC于点F.如图2,若/ABE=60二判断AC, CE, AB之间

4、有怎样的数量关系并加以证明;如图3,若AC+AB= V3AE,求/ BAC的度数.现却郅.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边4ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，ZCMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变， 则求出它的度数；(2)何时 PBQ是直角三角形？(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ、CP交点为M,则/ CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.第5页共48页.如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中ZO

5、NM=30 , /OCD=45.(1)将图 中的三角板 OMN沿BA的方向平移至图 的位置，MN与CD相交于点E,求/CEN的度数；(2)将图 中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转， 使/BON=30,如图，MN与CD相交于点E, 求/ CEN的度数；(3)将图中的三角尺OMN绕点O按每秒30。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 _ 秒时，边MN恰好与边CD平行；在第 秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.(直接写出结果).如图，已知 4ABC中，/ABC与/ACB的平分线相交于点 P.(1)若 Z ABC=80 , Z ACB=50。，则 / BPC=(2)若ZA=x。，试求/

6、BPC的度数(用含x的代数式表示)；(3)现将一直线 MN绕点P旋转. 当直线 MN与AB、AC的交点 M、N分别在线段 AB和AC上时(如图1)，试求/ MPB、/ NPC、/A 三者之间的数量关系，并说明理由；当直线MN与AB的交点M在线段AB上，与AC的交点N在AC的延长线上时(如图 2),试问中 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系，并说明理由.第6页共48页.如图，A为x轴负半轴上一点， C (0, - 2),D(-3, -2).(1)求4BCD的面积；(2)若AC，BC ,作/ CBA的平分线交 CO于P,交CA于Q,判断/ CPQ与/ CQP

7、的大小关系，并说明 你的结论.(3)若/ADC= /DAC,点B在x轴正半轴上任意运动，ZACB的平分线 CE交DA的延长线于点 E,在B点的运动过程中，/E与/ABC的比值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由.O,点A在直线PQ上运动，点 B在直线 MN上运动.直线 MN与直线PQ垂直相交于(1)如图1,已知AE、BE分别是/BAO和/ABO角的平分线，点 A、B在运动的过程中， / AEB的大 小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出/AEB的大小.(2)如图2,已知AB不平行 CD, AD、BC分别是/ BAP和/ ABM 的角平分线，又DE、CE分别

8、是ZADC 和/ BCD的角平分线，点 A、B在运动的过程中，ZCED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理 由；若不发生变化，试求出其值.(3)如图3,延长BA至G,已知/ BAO、/ OAG的角平分线与 / BOQ的角平分线及延长线相交于 E、F, 在4AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求/ABO的度数.第7页共48页.如图，已知 4ABC中，AB=AC=10 厘米，BC=8厘米，点 D为AB 的中点.如果点 P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点 Q在线段CA上由C点向A点运动.当一个点停止运动时时， 另一个点也随之停止运动.设运动时间为t.(1)用含有t的

9、代数式表示CP.(2)若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；(3)若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 4BPD与4CQP 全等？.如图，已知 4ABC中，AB=AC=10cm , BC=8cm ,点D为AB的中点.如果点 P在线段BC上以3cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1s后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 4

10、BPD与4CQP 全等？第8页共48页.如图，已知 4ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.如果点 P在线段 BC上以3 厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，经过 t秒后，4BPD与4CQP全等，求此时点 Q的运 动速度与运动时间t.如图， 4ABC 中，ZACB=90 , AC=12 , BC=16 .点 P 从 A 点出发沿 A - C- B 路径向终点运动，终点为 B点；点Q从B

11、点出发沿B- C-A路径向终点运动，终点为 A点.点P和Q分别以 2和6的运动速度同时开始运动， 两点都要到相应的终点时才能停止运动， 在某时刻，分别过P和Q作PEL 于 E, QFH 于 F. PEC与QFC全等？请说明理由.第9页共48页.在 4ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 AD，MN 于 D, BEXMN 于 E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： AADC ACEB; DE=AD+BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立, 说明理由.如图(1), AB=4cm ,

12、AC LAB, BD AB , AC=BD=3cm .点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点B运动，同时，点 Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为 t (s).(1)若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t=1时，4ACP与4BPQ是否全等，请说明理由，并 判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；(2)如图(2),将图(1)中的 AC LAB, BDAB”为改名CAB= / DBA=60。：其他条件不变.设点 Q 的运动速度为x cm/s,是否存在实数 x,使得4ACP与4BPQ全等？若存在，求出相应的 x、t的值；若不 存在，请说明理由.第10页共48页2

13、1.已知4ABC为等边三角形，点 D为直线BC上一动点(点D不与点B、点C重合).以AD为边作等 边三角形ADE ,连接CE.图1图？图3(1)如图1,当点D在边BC上时. 求证：ABDACE; 直接判断结论 BC=DC+CE是否成立;(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3,当点D在边CB的延长线上时，且点 A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接 写出BC、DC、CE之间存在的数量关系.在 4ABC 中，Z ACB=90 , AC=BC ,直线，MN 经过点 C,且 AD XMN 于点 D, BE

14、XMN 于点 E.(1)当直线 MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证： DE=AD+BE ;(2)当直线 MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证： DE=AD - BE;(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段 DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直 接写出这个数量关系，不要证明.第11页共48页.如图1, ABC是边长为4cm的等边三角形，点 P, Q分别从顶点A, B同时出发，沿线段 AB , BC运动，且它们的速度都为 1cm/s.当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点(1)当t为何值时，4PBQ是直角三角形?P的运动时间为t (s).(2)连接AQ、CP,相交于点

15、M,如图2,则点P, Q在运动的过程中，ZCMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数.如图(1), RtAAOB 中，, QB=2V3, /AOB 的平分线 OC 交 AB 于 C,过O点做与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点 O运 动，运动时间为t秒，同时动点 Q从点C出发沿折线CO - ON以相同的速度运动，当点 P到达点O时P、Q同时停止运动.(1)求OC、BC的长；(2)设4CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式；(3)当P在OC上Q在ON上运动时，如图(2),设PQ与OA交于点M ,当t为何值时，OPM为等腰 三角形？求

16、出所有满足条件的 t值.而VFsi i 1)第12页共48页.已知：在 4ABC中，AC=BC , / ACB=90 ,过点 C作CDXAB于点D,点E是AB边上一动点(不 含端点A、B),连接CE,过点B作CE的垂线交直线 CE于点F,交直线CD于点G (如图).(1)求证：AE=CG ;(2)若点E运动到线段BD上时(如图)，试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的 结论；(3)过点A作AH垂直于直线 CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点 M (如图)，找出图中与BE相 等的线段，并证明.如图，已知 4ABC 中，AB=AC=20cm , BC=16cm,点 D 为 AB

17、的中点.(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点 Q在线段CA上由C向A点运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 4BPD与4CQP全 等？(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 4ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？第13页共48页.如图 1,在 4ABC 中，AEBC 于，AE=BE , D 是 AE 上的一点，且 DE=CE ,连接 BD

18、、AC .(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2,若将4DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有 DEEC, DE=CE ,试判断BD与AC的位置 关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由.28.如图 ，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中ZC=90, /B=/E=30.(1)如图2,固定 ABC,使 DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时，DE交B

19、C于点F,则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由.设4BDC的面积为S1, AAEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 ,证明你的结论；(2)当4DEC绕点C旋转到图 的位置时，设4BDC的面积为S1, AAEC中的面积为S2,猜想：S1与 S2有怎样的数量关系？并证明你的猜想.第14页共48页.如图，4ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由 A向C运动(与A、C不重合)，Q 是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由 B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PEAB 于E,连接PQ交AB于D .(1)当Z BQD=30。时，求 AP的长；(2)当运动过程中线段 E

20、D的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化请说明理由.如图，在等腰 RtAABC中，AC=BC=2 , Z ACB=90 ,直线BM，BC ,点P是线段 AB上一动点，过 P 点作直线PDLPC交直线BM于点D,过P点作线段BC的平行线EF交AC于E,交直线BM于F.(1) 4PFB是 三角形；(2)试说明： ACEPAPFD;(3)当点D在线段FB上时，设AE=x, PC2为y,请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值 范围；(4)当点P在线段AB上移动时，点D也随之在直线BM上移动，则4PBD是否有可能成为等腰三角形？如果能，求出所有能使 4PBD成为等腰三角形时的

21、 AE的长；如果不可能，请说明理由.第15页共48页三角形图形多种情况和动点专项练习 30题参考答案:1,解：（1）如图（1）, . /1 + /2+/ADP+ / AEP=360, / A+“+/ ADP+ / AEP=360 , / 1 + / 2=/ A+ a,.ABC是等边三角形，/ A=60 ,. / 1 + / 2=60 + a.故答案是：60 + a；/ a=/1 - 7 2+60.理由如下: 如图（2）,设AC与PE交于点F,. / 1为4PFD的外角，/ 1 = 7 /+/ PFD. / 2为4AEF的外角，/ 2+/A= / AFE. /A=60, /AFE=/PFD/ 2

22、=60 + /PFD / 1 - / 2=/ a- 60Z 后 L- 2 2+60;（3）如图（3）时：人群 Z2- Z 1 - 60;图图2.证明：如答图1,过点D作DFLMN,交AB于点F, 则4ADF为等腰直角三角形，DA=DF .第16页共48页V D A N图I. / 1 + /FDP=90, /FDP+/2=90, / 1 = Z 2.在 BDF与APDA中，rzi=Z2 IDF=DAZDFB=ZDAP=135.,.BDFAPDA (ASA) .BD=DP .(1)答：BD=DP 成立.证明：如答图2,过点D作DFMN ,交AB的延长线于点F, 则4ADF为等腰直角三角形，DA=D

23、F .E Z 1 + Z ADB=90 , ZADB+ Z 2=90 , / 1 = / 2.在 BDF与4PDA中，rzi=Z2/DFB=NDAP二4 .,.BDFAPDA (ASA) .BD=DP .(2)答：BD=DP .证明：如答图3,过点D作DFMN ,交AB的延长线于点F, 则4ADF为等腰直角三角形，DA=DF .第17页共48页F在 BDF与APDA中，rZF=ZPAD=45DF= D&ZBDF=ZFDA.,.BDFAPDA (ASA) .BD=DP .3. ( 1)证明：如图，过点F作FM / BC交射线AB于点M ,图CF / AB ,四边形BMFC是平行四边形，.BC=M

24、F, CF=BM ,/ ABC= / EMF , / BDE= / MFE ,.ABC是等边三角形，/ ABC= / ACB=60 , BC=AC ,/ EMF= / ACB , AC=MF , / ADN=60 , / BDE+ ZADC=120 , / ADC+ / DAC=120 , / BDE= / DAC , / MFE= / DAC ,在MEF与CDA中，r ZMPEZDACZEH!F=ZAC：B ,【昨BC.MEFACDA (AAS),.CD=ME=EB+BM , .CD=BE+CF .第18页共48页(2)如图 ,CF+CD=BE ,如图 ，CF CD=BE ;.ABC 是等边

25、三角形，SAabc=W3, 易得 AB=BC=AC=4 ,如图， / ADC=30 , / ACB=60 ,.CD=AC=4 , / ADN=60 ,/ CDF=30 ,又 CF/ AB ,/ BCF= Z ABC=60 ,/ CFD= Z CDF=30 ,.CD=CF ,由(2)知 BE=CF+CD , BE=4+4=8 .如图， / ADC=30 , / ABC=60 ,/ BAD= / ADC=30 ,BD=BA=4 ,.CD=BD+BC=4+4=8 , / ADN=60 , / ADC=30 ,/ BDE=90 ,又 / DBE= / ABC=60 ,/ DEB=30 ,在 RtABD

26、E 中，/ DEB=30 , BD=4 ,BE=2BD=8 ,综上，BE=8 , CD=4 或 8.第19页共48页A图您圉(1)证明：,ABC、AAMN是等边三角形, .AB=AC , AM=AN , Z BAC= / MAN=60 ,/ BAM= / CAN ,AB=ACAM=AN.BAM ACAN (SAS), / ABC= / ACN ;(2)解：结论 /ABC=/ACN仍成立.理由如下：ABC、AAMN是等边三角形, .AB=AC , AM=AN , / BAC= / MAN=60 ,/ BAM= / CAN ,AS=AC Zbm=Zcam , AM 二 AN.BAM ACAN (S

27、AS),/ ABC= / ACN .(1)证明：.ABC、APQ是等边三角形,.AB=AC , AP=AQ , / BAC= / PAQ=60 ,/ BAP= / CAQ ,在 BAP和ACAQ中，第20页共48页AB 二 ACZBAP=CAQ,ap=aq.BAPACAQ (SAS), / ABC= / ACQ ;(2)解：结论 Z ABC= Z ACQ仍成立.理由如下：. AB=BC , PA=PQ,顶角 /ABC=/APQ,/ BAC= / PAQ, ABC AAPQ,四上/ BAP= / BAC - / PAC, / CAQ= / PAQ - / PAC/ BAP= / CAQ.BAPA

28、CAQ ,/ ABC= / ACQ ;(3)若要使/ACQ=/ABC 一定成立，则 4APQ与4ABC之间必须具备 BA=BC ,顶角/ APQ= / ABC , PA=PQ.证明： AB=AC , PA=PQ,顶角 /ABC=/APQ,/ BAC= / PAQ, ABC AAPQ,/ BAP= / BAC - / PAC, / CAQ= / PAQ - / PAC/ BAP= / CAQ三二，AC加.BAPACAQ ,ZABC= / ACQ6.解：(1) ED=MF ;ED与MF的相等关系依然成立证明：连接 DE、DF、DD,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，.DE / BC, DE=

29、BC, DF / AC , DF=】AC , 乙四边形DFCE为平行四边形，.ABC是等边三角形，BC=AC , /C=60 ,第21页共48页，DE=DF, /EDF=/C=60, MD=MD , Z DMD=60 ,.DMD是等边三角形， / MDD=60 , MD=DD, / MDD= / EDF , / MDF= / MDD - / FDD / EDD= / EDF - / FDD,/ MDF= / EDD,.-.DDEADMF (SAS),.ED=MF .ED与MF的相等关系依然成立.BMF C7. (1)证明：如图，过点 C作CM LAC交AF延长线于点M, / BAC=90 ,

30、AF LBE 于 G,. / 1 + Z 5=7 2+7 5=90, / 1 = 7 2又 / BAC= / ACM=90 , AB=AC在4ABE和4CAM 中，|fZl=Z22AC,.ABEACAM (ASA), .AE=CM , Z5=Z M.AE=ECEC=CM. AB=AC , Z BAC=90 / ABC= / ACB=45 / ACM=90 / 4=90-45 =45=/ACF在EFC和AMFC中，fEC=MCZ4=ZECF,CF=CF.EFCAMCF (SAS),第22页共48页Z 6=Z MZ 6= Z 5,.AB=AC，点D、E分别是 AB、AC边的中点，AD=AE在 AB

31、E与 ACD中，Cab=caZbae=Zcad , ae=ad.ABEAACD (SAS)/ 1 = / 3/ 3+/ 6=90/ EHC=90 EFXCD.(2)证明：如图，过点 C作CM AC交AF延长线于点 M , 由(1)得ABE0CAMAE=CM , / 5= / M , BE=AM由(1)得 ABE ACD.1. / 1 = / 3. FPCD 于 H, / BAC=90 / 3+/6=/ 1+/5/ 6= / 5，/6=/8, /7=/5.1. / 7=/ 8.EP=QP /6=/5, /5=/M.1. / 6=/ M. AB=AC , Z BAC=90 / ABC= / ACB

32、=45 / ACM=90 / 4=90 -45 =45 = / ACF在AQCF和AMCF中，第23页共48页|Z6=ZMCF二 CFIZ4=ZACF QCFAMCF (ASA) ，FQ=FM，BP=BE+PE=AM+PQ=(AF+FM ) +PQ=AF+FM+PQ=AF+FPBP=AF+FP .8.(1)答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF ;证明：(1) ABC是等边三角形，E是线段AC的中点,/ CBE=Z ABC=30 , AE=CE ,2. AE=CF ,.CE=CF ,/ F=Z CEF, / F+/ CEF= / ACB=60 ,/ F=30 ,/ CBE= ZF,.BE=

33、EF ;(2)答：猜想 BE=EF .证明如下：如图 2,过点E作EG / BC,交AB于点G,第24页共48页.ABC是等边三角形， .AB=AC , Z ACB=60 , 又 EG/ BC,/ AGE= / ABC=60 , 又 / BAC=60 ,.AGE是等边三角形，.AG=AE ,BG=CE , 又 CF=AE ,.GE=CF , 在 BGE与 ECF中， fBG：CEZBGE=ZECF=120c , IGE=CF.,.BGEAECF (SAS), .BE=EF ;BE=EF.证明如下：如图 3,过点E作EG / BC交AB延长线于点 G, .ABC是等边三角形，.AB=AC , Z

34、 ACB=60 ,又 EG / BC,/ AGE= / ABC=60 ,又 / BAC=60 ,.AGE是等边三角形，.AG=AE ,BG=CE ,又 CF=AE , .GE=CF ,又 / BGE= / ECF=60 ,在 4BGE 与 4ECF 中，r 6g=ecZBGE=ZECF=60* , GE*.,.BGEAECF (SAS),.BE=EF .9.第25页共48页到图2鄂解：（1） AB=AC+CD ,理由为:过D作DELAB ,如图1所示,C月国1 E 3. AD 平分 /BAC, DCXAC ,.CD=DE ,在 RtAACD 和 RtAAED 中，IM, j AD 二 ADRt

35、AACDRt AAED (HL),.AC=AE ,. ABC为等腰直角三角形，./B=45,即BDE为等腰直角三角形, .CD=DE=EB ,贝U AB=AE+EB=AC+CD ;(2) AB=AC+CE ;证明：在线段 AB上截取AH=AC ,连接EH,如图2所示,. AD 平分 ZBAC , / CAE= / BAE ,在 ACE和 AHE中，Zcae=Zbae ,ae=ae.ACEAAHE (SAS),.CE=HE , EF垂直平分BC, .CE=BE , 又/ ABE=60 ,.EHB是等边三角形,.BH=HE ,第26页共48页，AB=AH+HB=AC+CE在线段AB上截取AH=AC

36、 ,连接EH,作EM LAB于点M.如图3所示,月丽H V同理可得 AACE AAHE ,.CE=HE ,.EHB是等腰三角形,.HM=BM , .AC+AB=AH+AB=AM - HM+AM+MB=2AM,.AC+AB=：AE,.AM= AE ,2在 RtAAEM 中，cosZ EAM=AE 2/ EAB=30/ CAB=2 / EAB=6010.解：(1) / CMQ=60 不变.等边三角形中， AB=AC , / B= / CAP=60 又由条件得AP=BQ ,.ABQACAP (SAS),/ BAQ= / ACP ,/ CMQ= / ACP+ / CAM= / BAQ+ / CAM=

37、/ BAC=60(2)设时间为 t,则 AP=BQ=t , PB=4 - t 当/ PQB=90时， / B=60 ,PB=2BQ ,得 4 - t=2t, t=T； 当/ BPQ=90时， / B=60 , .BQ=2BP,得 t=2 (4-t), ti;，当第秒或第1秒时，4PBQ为直角三角形.(3) /CMQ=120 不变.在等边三角形中，BC=AC , /B=/CAP=60/ PBC= Z ACQ=120 , 又由条件得BP=CQ,.-.PBCAQCA (SAS)第27页共48页12.解：(1) 一/ABC与/ACB的平分线相交于点第28页共48页/ BPC=Z MQC又 /PCB=/

38、MCQ,/ CMQ= / PBC=180 - 60 =120 11.解：(1)在CEN 中，Z CEN=180 - 30 - 45 =105;(2) ZBON= ZN=30,.MN / BC,/ CEN=180 - / DCO=18045 =135;(3)如图，MN /CD 时，旋转角为 90 - ( 60 - 45) =75,或 270- ( 60 - 45) =255 ,所以，t=75与0=2.5 秒，或 t=255 30 =8.5 秒；MNLCD 时，旋转角为 90 + (180 - 60 -45) =165 ,或 360- ( 60 - 45) =345 ,所以，t=165 30 =5

39、.5 秒，或 t=345 30 =11.5 秒.故答案为：2.5或8.5; 5.5或11.5.P,/ PBC=Z ABC , / PCB=Z ACB ,22. /ABC=80 , ZACB=50 ,，/PBC=40, ZPCB=25,/ BPC=180 - ZPBC- ZPCB=115 , 故答案为：115;(2) 一/ABC与/ACB的平分线相交于点 PZ BPC=180 - (/PBC+/PCB)=180 -ABC+ACB )=180 -7； (180 - / A)=90 +4/A(3) /MPB+/NPC=90 -L A,2理由如下： / BPC=90 + -Z A, 2 / MPB+

40、/ NPC=180 - / BPC=180 - ( 90 A)2=90。-L A ;2原结论不成立，正确的是 Z MPB - ZNPC=90 -iz A, z理由如下：由图可知 /MPB+/ BPC / NPC=180,由知：/ BPC=90+-ZA,2 / MPB - / NPC=180 - / BPC=180 - (90/A)=90 - Z A213.解：(1)二.点 C (0, - 2), D (- 3, - 2), .CD=3 ,且 CD / x 轴，.BCD 的面积=,M2=3;BQ 平分/CBA,/ ABQ= / CBQ,-. AC BC, / CBQ+ / CQP=90 ,又 /

41、 ABQ+ / CPQ=90 ,/ CQP=/CPQ;(3)在B点的运动过程中， /E与/ABC的比值不变.理由如下:在 AAOE 和 BOC 中，/E+/ EAO+ / AOE=180 ,ZABC+ ZBCO+ ZBOC=180 ,. CD / x 轴，/ EAO= / ADC ,又 / AOE= / BOC (对顶角相等)，/ E+ / EAO= / ABC+ / BCO ,第29页共48页. ZE 1一 二二一ZABC 2即在B点的运动过程中， / E与/ ABC的比值不变.14.解：(1) Z AEB的大小不变，直线MN与直线PQ垂直相交于 O,/ AOB=90 , / OAB+ /

42、OBA=90 , AE、BE分别是/ BAO和/ ABO角的平分线,，/BAE= Z OAB , ZABE=Z ABO , 恸1./BAE+ ZABE=4 (/OAB+ / ABO) =45。,/ AEB=135 ;/CED的大小不变.延长AD、BC交于点F.直线MN与直线PQ垂直相交于 O,/ AOB=90 , / OAB+ / OBA=90 , / PAB+ Z MBA=270 ,.AD、BC分别是/ BAP和/ ABM 的角平分线,/ BAD= -Z BAP , / ABC= A ABM ,22Z BAD+ Z ABC= ( Z PAB+ Z ABM ) =135, 3/ F=45 ,

43、/ FDC+ ZFCD=135 , / CDA+ / DCB=225 ,.DE、CE分别是/ ADC和/ BCD的角平分线， / CDE+ / DCE=112.5 ,/ E=67.5; / BAO与/ BOQ的角平分线相交于 巳 / EAO/ BAO , / EOQ=/ BOQ ,22/ E= ZEOQ / EAO=(/ BOQ - / BAO ) =Z ABO ,.AE、AF分别是/ BAO和/ OAG的角平分线, / EAF=90 .在4AEF中，有一个角是另一个角的3倍，故有：/ EAF=3 / E, / E=30, / ABO=60 ;Z EAF=3 / F, / E=60, / AB

44、O=120 ;第30页共48页/F=3/E, /E=22.5, /ABO=45;/E=3/F, /E=67.5, ZABO=135 / ABO 为 60或 45.15.解：(1)二点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,BP=3t 厘米，BC=8 厘米，.CP= (8 - 3t)厘米；(2)点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，4BPD与4CQP全等, 理由是：,AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，/ B= / C, BD=5 厘米，BP=CQ=3t 厘米=3 厘米，CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD,在 DBP和4PCQ中，ED=CPZB=ZC,BP=CQ.,.

45、DBPAPCQ (SAS);(3)设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使 4BPD与4CQP全等,.BD=5 厘米，BP=3t 厘米，CP= (8 3t)厘米，CQ=xt 厘米，/ B= / C,当 BP=CQ, BD=CP 或 BP=CP, BD=CQ 时，ABPD 与 ACQP 全等，即 3t=xt, 5=8 - 3t,解得：x=3 (不合题意，舍去)， 3t=8-3t, 5=xt,第31页共48页解得：x=X,4即当点Q的运动速度为 弱厘米/时时，能够使4BPD与CQP全等416.解：(1) ABPD ACQP, 理由如下：,t=1s,BP=CQ=3 XI =3 (cm),

46、. AB=10cm，点D为AB的中点, BD=5cm .又PC=BC - BP, BC=8cm , PC=8 - 3=5 (cm),.PC=BD .又,. AB=AC ,Z B=Z C, 在 BPD和CQP中EP=CQ，ZB=ZC,b BD=CP.,.BPDACQP (SAS);. VP/Q, BPCQ,又 BPD0 4CQP, Z B= Z C,贝U BP=PC=4 , CQ=BD=5 ,BP 4.点P,点Q运动的时间(s),vQ=-=4=- ( cm/s),t J 4叵答：当点Q的运动速度为 cm/s,能够使ABPD与ACCiP全等4.解：(1)t=1 秒,BP=CQ=3 XI =3 厘米

47、，. AB=10厘米，点D为AB的中点, .BD=5 厘米.又. PC=BC BP, BC=8 厘米， PC=8 - 3=5 厘米，.PC=BD .X AB=AC ,Z B=Z C, 在 BPD和CQP中，第32页共48页PC=BD/B二NC，BP=CQ.,.BPDACQP (SAS);(2) VP 六Q, .BP 范Q,又 BPDCPQ, /B=/C, BP=PC=4cm , CQ=BD=5cm ,.解：. PECAQFC,斜边 CP=CQ,有四种情况:P在AC上,Q在BC上，CP=12- 2t, CQ=16 - 6t, .-12-2t=16-6t, .t=1 ;P、Q都在AC上，此时P、Q

48、重合,.CP=12 2t=6t - 16,. t=3.5;P到BC上，Q在AC时，此时不存在;第33页共48页 I理由是：16VX2V 12, Q到AC上时，P点也在AC上;当Q到A点（和A重合），P在BC上时，,. CP=CQ=AC=12 . CP=12-2t,2t- 12=12,. .t=12符合题意；答：点P运动1或3.5或12时，APEC与4QFC全等19. (1)证明： ZACD+ Z BCE=90 Z DAC+ ZACD=90 , / DAC= / BCE .又 AC=BC , / ADC= / BEC=90 , .ADCACEB. ADCACEB, .CD=BE , AD=CE

49、. . DE=CE+CD=AD+BE .BE.(2) ADC/CEB 成立，DE=AD+BE ,不成立，此时应有 DE=AD 证明： / ACD+ / BCE=90 / DAC+ / ACD=90 ,/ DAC= / BCE .又 AC=BC , / ADC= / BEC=90 ,.ADCACEB.CD=BE , AD=CE .DE=AD BE.20.解：(1)当 t=1 时，AP=BQ=1 , BP=AC=3 ,又/ A=/B=90 ,在 ACP和ABPQ中，Cap=bqZA=ZB IAC=BP.ACPABPQ (SAS).第34页共48页/ ACP= /BPQ, / APC+ / BPQ=

50、 / APC+ / ACP=90 ./ CPQ=90,即线段PC与线段PQ垂直.(2)若ACPA BPQ,3=4 -1t=xt解得；若ACP0BQP,贝U AC=BQ , AP=BP ,解得3 ；-1 1综上所述，存在! tT或13使得ACP与4BPQ全等1工二1 嗔解：(1)一ABC和4ADE是等边三角形，/ BAC= / DAE=60 , AB=BC=AC , AD=DE=AE . / BAC - / DAC= / DAE - / DAC ,/ BAD= / EAC .在 ABD和4ACE中Cab=acNbad=Ne% , Iad=ae.ABDAACE (SAS). ABD AACE,BD

51、=CE . BC=BD+CD ,BC=CE+CD .BC+CD=CE .ABC和AADE是等边三角形，/ BAC= / DAE=60 , AB=BC=AC , AD=DE=AE .Z BAC+ / DAC= / DAE+ / DAC ,/ BAD= / EAC .在 ABD和AACE中第35页共48页产ACNbad=Ne% , ad=ae.-.ABDAACE (SAS).BD=CE .,. BD=BC+CD ,.CE=BC+CD ;DC=CE+BC .ABC和AADE是等边三角形，/ BAC= / DAE=60 , AB=BC=AC , AD=DE=AE . / BAC - / BAE= /

52、DAE - / BAE ,/ BAD= / EAC .在 ABD和4ACE中产ACZBAIZEAC ,ad=ae.ABDAACE (SAS).BD=CE . DC=BD+BC ,DC=CE+BC ;22.(1)证明：- AD MN , BEX MN ,/ ADC= / CEB=90 , / DAC+ / ACD=90 , / ACB=90 , / BCE+ Z ACD=90 ,/ DAC= / BCE,在 ADC 和 ACEB, r ZADC=ZCBBZDAOZECB , AC=CB.ADCACEB (AAS),.CD=BE , AD=CE ,DE=CE+CD=AD+BE ;(2)证明：与(1

53、) 一样可证明 ADCCEB,第36页共48页，CD=BE , AD=CE , . DE=CE CD=AD BE ;(3)解：DE=BE - AD图1图2解：(1)设时间为 t,贝U AP=BQ=t , PB=4 - t 当/ PQB=90时， / B=60 ,_ _4PB=2BQ ,得 4 - t=2t, t=-;3 当/ BPQ=90时, / B=60 ,o.BQ=2BP,得 t=2 (4-t), t=;3,APBQ为直角三角形.(2) /CMQ=60 不变.在 ABQ与4CAP中，Cab=acZB=ZCAP=60,a?二BQ.ABQACAP (SAS),/ BAQ= / ACP ,/ C

54、MQ= / ACP+ / CAM= / BAQ+ / CAM= / BAC=6024. (1)解：. /A=90, ZAOB=60 , OB=2J1, / B=30 ,，OA=OB=.：；, 由勾股定理得：AB=3 ,. OC 平分 ZAOB ,/ AOC= / BOC=30 =Z B, .OC=BC ,第37页共48页在AAOC 中，AO2+AC2=CO2,(遂)2+ (3- OC) 2=OC2,，OC=2=BC , 答：OC=2, BC=2.(2)解：当P在BC上,Q在OC上时，0vtv2,则 CP=2-t, CQ=t,过P作PH，OC于H ,/ HCP=60 ,/ HPC=30 ,.-.

55、CH=CP=- (2-t), HP=1 (2-t), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 222SacpqCQ PH=xt小(2-t), HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 222即 s= -Yt2+Hf HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 42 当t=2时，P在C点，Q在O点，此时， ACPQ不存在, .S=0,S SACPQ=SaCOQ - SAOPQ=7jX (t -2) V3-X (t-2)ba当P在OC上，Q在ON

56、上时2 V tv 4,过P作PGXON于G,过 C作CZON于Z,. CO=2, Z NOC=60 ,.cz=:;,CP=t- 2, OQ=t - 2,Z NOC=60 ,/ GPO=30 ,.OG=3oP=5 (4 - t),22即 S=pt2 - Vlt+ 百.当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）第38页共48页图过 C 作 ，03于”，CKON 于 K, / B=30 ,由(1)知 BC=2 ,.CM= BC=1 ,2有勾股定理得：BM=.：-；,. 0B=2 .；,.-0M=2 . 3- , 一；= . NCK ,S=-PQ CK= -2 V3=/3；22S=综合上述：S与t的

57、函数关系式是: Vst+Vs(3)解：如图(2), 1. ONXOB,/ NOB=90 ,. /B=30 , Z A=90 ,/ AOB=60 ,. OC 平分 ZAOB ,/ AOC= / BOC=30 ,/ NOC=90 - 30 =60 ,OM=PM时，/ MOP= / MPO=30 ,/ PQO=180 - / QOP - / MPO=90 , .OP=2OQ , 2 (t-2) =4- t, 解得：t=士，3第39页共48页PM=OP时，此时 / PMO= / MOP=30 ,/ MPO=120 ,/ QOP=60 ,，此时不存在；OM=OP时，过P作PGXON于G,OP=4 - t

58、, /QOP=60 ,/ OPG=30 ,.GO= - (4-t), PG=(4-t),22 / AOC=30 , OM=OP ,/ OPM= / OMP=75 ,/ PQO=180 - Z QOP - / QPO=45,-.PG=QG= (4 - t),2. OG+QG=OQ , (4-t) + 亚(4-t) =t- 2,2解得：t=-_综合上述：当t为生或立上亚时，4OPM是等腰三角形3325.解：(1) .AC=BC ,/ ABC= / CAB . / ACB=90 ,Z ABC= Z A=45 , /ACE+/BCE=90.BFXCE,/ BFC=90 , / CBF+ / BCE=9

59、0 ,/ ACE= ZCBF.在 RTA ABC 中，CD LAB , AC=BC , / BCD= / ACD=45 / A= / BCD .在ABCG和AACE中第40页共48页r zbcd=zaBOCA ， ZCBF=ZACEBCG AAGE (ASA), ，AE=CG ;(2)不变.AE=CG . 理由： AC=BC ,/ ABC= / CAB . / ACB=90 ,Z ABC= Z A=45 , /ACE+/BCE=90 .BFXCE,/ BFC=90 , / CBF+ / BCE=90 , / ACE= ZCBF.在 RTA ABC 中，CD LAB , AC=BC , / BC

60、D= / ACD=45 / A= / BCD .在ABCG和AACE中C ZBCD=ZABOCA ,Zcbf=Zace.,.BCGAACE (ASA), .AE=CG ;(3) BE=CM , AC=BC ,/ ABC= / CAB . / ACB=90 ,Z ABC= Z A=45 , /ACE+/BCE=90 . AH CE,/ AHC=90 , / HAC+ / ACE=90 , / BCE= / HAC .在 RTA ABC 中，CD LAB , AC=BC , / BCD= / ACD=45 / ACD= / ABC .在 BCE和 CAM中r ZBCE=ZCMABOCA ,Zcbe