专题06动点折叠类问题中图形存在性问题解析版

1、专题06动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运 动的一类非常具有开放性的题目.而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心一一动中求静，灵活运用相关数学 知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力.其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力 .要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等存在性问题主要有等腰三角形存在性、

2、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点 .解题思路：分析题目-依据落点定折痕-建立模型-设出未知数列方程求解 -得到名论.解题核心知识点：折叠性质；折叠前后图形大小、形状不变；折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1. （2019 金水区校级模拟） 如图，/ AOB=90,点P为/AOB内部一点

3、，作射线 OP,点M在射线OB 上，且OM= 石，点M与点M关于射线OP对称，且直线 MM 与射线OA交于点N,当 ONM 为等腰三 角形时，ON的长为:【分析】分三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即 MN=MO,设/ ONM=x,通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30 ,进而利用三角函数求得 ON的长;当MN=ON时，作出图形，得到/ ONM度数，利用三角函数求解；当MO=ON=OM = J3,此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在【答案】1或3.【解析】解：由 ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即 MN=M

4、O,如图所示,设/ONMx,则/OMM = /OMM 笈， / AOB=90 ,x+2x=90,解得：x=30 ,在 RtNOM 中，ON= 0M。=3;tan 30当MN=ON时，如下图所示，过 M 作 M H，OA 于 H , TOC o 1-5 h z ,1 -3HM =OM= HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 22HM 1在 RtA HNM 中，NM=1 ,cos30即 ON=1 ;当 MO=ON=OM = J3,此时M、M、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在故答案为：1或3.例2. （2017 蜀山区期末） 如图所示， A

5、BC中，/ACB=90, AC田C,将 ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F,如果折叠后 CDF与 BDE均为等腰三角形，则/ B=【分析】由题意知， CDF是等腰三角形，则 CD=CF, BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论:当DE=BD时，设/ B=x ,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45;当BD=BE时，作出图形，设/ B=x ,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30;当BE=DE时，得/ FDB=90, / FDB + / CDF =135 W18Q此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45或30

6、 .【解析】解：由题意知， CDF是等腰三角形，则 CD=CF, / CDF = /CFD=45,FDB=135 , BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：当DE=BD时，见下图，设/ B=x ,贝U/ DEB=x, / EDB=180 -2x,由折叠知：/ A=Z FDE=90 -x,.180 2x+90-x =135,解得：x=45 ,即/ B=45 ;当BD=BE时，如下图所示，设/ B=x ,贝叱EDB =180 x由折叠知：/ A=Z FDE=90 -x,180 xx=30,+90-x =135,解得:2即/ B=30 ;当 BE=DE 时，得/ B=/EDB,FDB=/FDE

7、+ /EDB = /A+/B=90 , / FDB+ /CDF =135 180 此时 C、D、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在故答案为：45或30 .题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3. （2017 营口）在矩形纸片 ABCD中，AD=8, AB = 6, E是边BC上的点，将纸片沿 AE折叠, 使点B落在点F处，连接FC,当 EFC为直角三角形时，BE的长为.【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【解析】解：: AD=8, AB=6,四边形ABCD为矩形，BC=AD

8、 = 8, / B = 90,根据勾股定理得：AC=10.当/ EFC = 90时，如下图所示，由分析知， EFC为直角三角形分下面两种情况：B C由折叠性质知：/ AFE = /B=90, / EFC = 90, AF=AB=6,A、F、C三点共线，又AE平分/ BAC,.CF=AC-AF=4,设 BE=x,贝U EF=x, EC=8-x,在RtA EFC中，由勾股定理得：22 一 2x 48 x ,解得：x=3,即 BE=3;当/ FEC = 90时，如下图所示.由题意知：/ FEC=90, / FEB = 90, ./ AEF = Z BEA=45,四边形ABEF为正方形，BE= AB=

9、6.综上所述：BE的长为3或6.故答案为：3或6.例4. (2019 唐河县三模) 矩形ABCD中，AB=4, AD=6,点E为AD的中点，点P为线段AB上一个 动点，连接EP,将 APE沿PE折叠得到 FPE,连接CE, CF,当 CEF为直角三角形时， AP的长为【分析】当 CEF为直角三角形时，通过分析知：/ FCE90 ,不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：/ EFC=90或/ FEC=90 ,作出图形求解；9【答案】9或1.4【解析】解：分以下两种情况讨论：/ EF(=90 ,如下图所示，由折叠性质知：/ A=ZPFE=90 , AP=PF所以点P、F、C在一条直线上， EF=ED=

10、3, RtACEFRtACED,由勾股定理得：CE=5,CD = CF=4,设 AP=x,贝U PF=x, PC=x+4, BP=4 - x,在RtBCP中，由勾股定理得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document x 4 x 46 , HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 99解得：x=,即 AP=; HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 4

11、4/ FEC=90 ,如下图所示，过F作FHXAD于H ,过P作PGXFH于G,易知/ EFH = Z ECD,FH DE ,EF CEFH 3 , 35即 FH = 9, . EH= 12 ,AH = PG=3 ,555由/ FPG=Z HFE ,cos/ FPG= cos/ HFE ,即或电PF EF 39_5_ 5PF 3 ,解得：PF=1;一， 9 .故答案为：9或1.4例5. （2019 许昌二模） 如图，已知平行四边形 ABCD中，AB=16, AD=10, sinA=?,点M为AB边上5一动点，过点M作MNLAB交AD边于点N,将/ A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处.

12、当ACDE为直角三角形时， AM的长为.A M E B【分析】分两种情况讨论：当/CDE=90。，根据折叠的性质及勾股定理求解；当/ DEC =90。，过D作DHLAB于H,根据相似三角形的性质：得到 DH=6, AH = 8,设EH = x,根据勾股定理得到 x=8-26，x=8+2 J7 （舍去），得 AE= AH+HE = 162近，于是得至U AM = 8- V7 .【解析】解：当 CDE为直角三角形时,当/CDE=90 ,如下图所示，在平行四边形 ABCD中，AB/CD, DEXAB,由折叠知： MNAB, AM = EM,MN / DE,. AN= DN= 1AD=5,2由 sin

13、A =MNANMN = 3, AM=4;当/DEC = 90 ,如下图所示,过D作DH，AB于H,由题意知：/ HDC = 90 ,./HDC+/CDE =/CDE + /DCE=90 ,./ HDE =Z DCE ,.DHEACED,DE CDEH DE . “3. sinA= , AD = 10, . DH = 6, AH = 8,5设 EH = x,DE=4 Tx ,由勾股定理得： DH2+HE2=DE2, 62+x2=16x,解得：x= 8-277 , x= 8+2 V7 （不合题意舍去），.AE=AH + HE=16-2,AM = 8 - 7T ,故答案为：4或8-6.例6. （20

14、19 金水区校级一模） 如图，在RtABC中，AB = 3, BC = 4,点P为AC上一点，过点 P作PDLBC于点D,将 PCD沿PD折叠，得到 PED,连接AE.若 APE为直角三角形，则 PC =16【解析】解：当/ AEP=90。时，设 PC = x,在 RtA PDC 中，sInC= 3 , cosC= 4 ,55所以 PD = -x, CD= x.55由折叠知：DE = CD=4x.5BE=BC-CE= 12 x5在 ABE 和 EDP 中，/ B= / PDE ,Z BAE+ZAEB=90, Z PED+Z AEB= 90, ./ BAE = Z PED .ABEA EPD .

15、 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark83 o Current Document -L -12, HYPERLINK l bookmark85 o Current Document be DP x 。15，即 53）斛付 x=.AB DE1634.15故答案为：.16DE LAB例7. （2019 卧龙区一模） 如图，在 RtABC中，AC=8, BC=6,点D为斜边 AB上一点,交AC于点E,将4AED沿DE翻折，点A的对应点为点F.如果 EFC是直角三角形，那么AD的长为90 时,【分析】根据勾股定理得到AB=10,分三种情况讨论：/ CFE=90, /EC

16、F=90, / CEF得到结论.【答案】7或5.5【解析】解：在 RtAABC中，AC=8, BC = 6,由勾股定理得：AB=10,(1)若/ CFE = 90,在 RtAABC 中，/ ACB=90,101 + Z2 = Z B+/A= 90,由折叠知：/ A= / 2, AE = EF,./ 1=Z B,即 CF = BC=6,在RtCEF中，由勾股定理得：CE2=EF2+CF2,CE2= ( 8- CE) 2+62,.CE= 25 ,4AE=,4由“DECB,得:AEABADACAC 7AD=；5(2)当/ ECF = 90时，点 F 与 B 重合，AD = 5;(3)当/ CEF = 90时，贝U EF / BC, / AFE = / B,. / A=Z AFE,./ A=Z B,.AC=BC （与题设矛盾），这种情况不存在，故答案为：7或5.5F分别为BC, AC上的两个动点，AGF恰为直角三角形，则线段 CF例8. （2019 河南模拟） 在矩形 ABCD中，AB = 3, BC = 4,点E,将