(江苏专用)2015届高考数学考前三个月必考题型过关练第30练空间角的突破方略理

1、2 .cos ， Ca 2a12a 2word第 30 练 空间角的突破方略题型一 异面直线所成的角例 1 在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1 D1 中，求异面直线 BA1 与 AC所成的角破题切入点 利用 BA1 C| BA1| |C| cos BA1， C， 求出向量 BA1与C的夹角 BA1， C，再根据异面直线 BA1， AC所成角的 X 围确定异面直线所成角还可用几何法或坐标法解 方法一因为 BA1 ABB1， AC B C，所以 C( ) (B C) B C.BAABBA BCBB1 因为 AB BC， BB1 AB， BB1 BC，所以 C0， B0， 2BB1 BC0

2、， BA AB a .所以 C a2 . C| | |C| cos ， C，又BA1 所以 ， C 120.所以异面直线 BA1 与 AC所成的角为 60.方法二连结 A1C1， BC1 ，则由条件可知 A1C1 AC，- 1 - / 15word从而 BA1 与 AC所成的角亦为 BA1 与 A1C1 所成的角，由于该几何体为边长为 a 的正方体，于是 A1BC1 为正三角形， BA1C160，从而所求异面直线 BA1 与 AC所成的角为 60.方法三 由于该几何体为正方体，所以 DA， DC， DD1 两两垂直且长度均为 a，于是以 D为坐标原点， 分别为 x， y， z 轴正方向建立空间

3、直角坐标系，DA， DC，于是有 A( a, 0,0) ， C(0， a, 0)， A1( a, 0， a)， B( a， a, 0)，从而 AC( a， a, 0)， (0 ， a， a)，且| C| | | 2a， C a2，cos C， BA12 a 12a 2a 2， C， 120，所以所求异面直线 BA1 与 AC所成角为 60.题型二 直线与平面所成的角例 2 如图，已知四棱锥 PABCD的底面为等腰梯形， ABCD， ACBD，垂足为 H， PH是四棱锥的高， E 为 AD的中点(1) 证明： PEBC；(2) 若 APB ADB60，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值破题

4、切入点 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面 PEH的法向量(1) 证明- 2 - / 15323 3 1 33 3 2 6可得 PE ， ， n ，2 231 m2， 2， 1 mword以 H为原点， HA， HB， HP所在直线分别为角坐标系 ( 如图 )，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) 设 C( m,0,0) ， P(0,0 ， n) ( m0) ，则x， y， z 轴，线段 HA的长为单位长度，建立空间直D(0， m,0)，E 0 .2 2 C( m， 1,0) m m因为 PE BC 0 0，所以 PEBC.(

5、2) 解 由已知条件可得 m ， n 1，故 C ， 0， 0 ， D 0， ， 0 ， E ， ， 0 ，P(0,0,1) 设 n ( x， y， z)为平面 PEH的法向量，则 n E0， x 6 y 0，1 3即 2n P0， z 0.因此可以取平面 PEH的一个法向量 n (1， 3， 0)又A(1,0 ， 1) ，所以 |cos A， n | 4 .所以直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值为题型三 二面角24 .例 3 如图，在五面体1 ABBCFE AD.2ABCDE， FA平面 ABCD，ADBCFE， ABAD， M为 EC的中点， AF- 3 - / 151 1u v 0

6、0 1 3| | E| 2 2 2 .于是M ， 1， word(1) 求异面直线 BF与 DE所成的角的大小；(2) 证明：平面 AM平面 CDE；(3) 求二面角 破题切入点(1) 解ACDE 的余弦值以点 A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 建立空间直角坐标系， 点 A为坐标原点， 设 AB1， 依题意得 B(1,0,0) ， C(1,1,0) ，D(0,2,0) ， E(0,1,1) ，F(0,0,1) ，1 12 2 .F( 1,0,1) ， E(0 ， 1,1) ，于是 cos F， BF DE 0 0 1 1DE 所以异面直线 BF与 DE所成的角的大小为 60.(2) 证

7、明 由M 2， 1， 2 ， E( 1,0,1) ， D(0,2,0) ，可得 EM0， E D0.因此， CEAM， CEAD. 又 AMADA，故 CE平面 AMD.而 CE? 平面 CDE，所以平面 AM平面 CDE.(3) 解 设平面 CDE的法向量为 u( x， y， z) ，则u E0， xz 0，u E0. y z 0.令 x 1 可得平面 CDE的一个法向量 u (1,1,1) 又由题设，平面 ACD的一个法向量为 v (0,0,1) 所以 cos u， v | u| v| 31 3 .3因为二面角 A CDE为锐角，所以其余弦值为 .3总结提高 空间中各种角包括：异面直线所成

8、的角、直线与平面所成的角以及二面角- 4 - / 15word(1) 异面直线所成的角的 X 围是 (0， 2 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角(2) 直线与平面所成的角的 X 围是 0， 求直线和平面所成的角用的是射影转化法具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直

9、线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有 .(3) 确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b如果顶点到底面各边

10、距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 ( 或旁心 )；c 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直， 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；- 5 - / 15102word(4) 二面角的 X 围是 (0 ， ，解题时要注意图形的位置和题目的要求作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 ( 即斜足 ) ，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一

11、点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角1 (2014 课标全国改编的中点， BCCACC1，则30答案)直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1BM与 AN所成角的余弦值为 _解析 方法一 由于 BCA90，三棱柱为直三棱柱，且可将三棱柱补成正方体建立如图 (1) 所示空间直角坐标系设正方体棱长为 2，则可得 A(0,0,0) ， B(2,2,0) ， M(1,1,2)BCCACC1， N(0,1,2) ，M( 1， 1,2) ， N(0,1,2) cos M，1 3010 . BMAN|

12、142 21 2 ANAN|2 2 20 1 236 5方法二 如图 (2) ，取 BC的中点 D，连结 MN，ND，AD，由于 MN綊 B1C1 綊 BD，因此有 ND綊 BM，12- 6 - / 15ND NAAD 30则| word则 ND与 NA所成的角即为异面直线 BM与 AN所成的角设 BC2，则 BM ND 6， AN 5，2 2 2AD 5，因此 cos AND 2ND NA 10 .2在正方体答案63ABCDA1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD所成的角的正弦值是 _解析 建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为 1，直线 BC1 与平面 A1BD所成的角为

13、，则 D(0,0,0) ， A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,1) ， (1,0,1) ， B(1,1,0) ， ( 1,0,1) 设 n ( x， y， z)是平面n x z 0，n Bx y 0，A1BD的一个法向量，令 z 1，则 x 1， y 1. n ( 1,1,1) ， sin |cos n， | |1 1 63 2 3 .3如图，过正方形成的二面角的大小是答案 45ABCD的顶点_解析 如图，取 PD中点 E，连结A，引 PA平面 ABCD.若 PABA，则平面 ABP和平面 CDP所AE，则 AE平面 PCD，故二面角的平面角 APE45.- 7 -

14、/ 15A1B AC6word4. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ACB90， AA12， ACBC1，则异面直线 A1B与 AC所成角的余弦值是6答案_解析 以 C为坐标原点， CA、CB、CC1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， A1(1,0,2) ，B(0,1,0) ， A(1， 0,0) ， C(0,0,0) ，则A1B( 1,1 ， 2)，C( 1,0,0) ， cos B， C| A1B| C|1 6 .1 14 65在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PC的中点，又作 DFPB交 PB于点 F，则 PB与平面答案 90解析PD平面 A

15、BCD，ABPDa. 点 E为侧棱EFD所成角为 _- 8 - / 152 2a a2 2word建立如图所示的空间直角坐标系E(0， ， )故( a， a， a)， a aDE 0， ， ，2 2 a2 a2所以 PB DE0 0，Dxyz， D 为坐标原点，则 P(0,0 ， a)， B(a， a, 0)，所以 PB DE，由已知 DFPB，且 DFDED，所以 PB平面 EFD，所以 PB与平面 EFD所成角为 90.6在棱长为 2 的正方体 ABCA1B1C1D1 中， O是底面 ABCD的中点， E， F 分别是 CC1， AD的中点，那么异面直线答案155OE和 FD1 所成的角的

16、余弦值等于 _解析 以 D为原点，分别以 DA、 DC、 F(1,0,0) ， D1(0,0,2) ， O(1,1,0) ， ( 1,0,2) ，DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，E(0,2,1) ，E( 1,1,1) ， cos ， E125 3155 .7如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面 ABC， ABBCAA1， ABC90，点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF和 BC1 所成的角是 _答案 60解析 以 BC， BA， BB1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，- 9 - / 15由z 2y，_3word建

17、立空间直角坐标系设 ABBCAA12，则 C1(2,0,2) ， E(0,1,0) ， F(0,0,1) ，则F(0 ， 1,1) ， 2， cos BC1 (2,0,2) ，2 1 ，22 2 2EF和 BC1 所成的角为 60.8 (2014 某某调研 ) 在长方体 ABCDA1B1C1 D1 中， AB2， BCAA1 1，则 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 1答案解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1(0,0,1) ， C1(0,2,1) ， A1(1,0,1) ， B(1,2,0) ，所以 (0,2,0) ， A1C1 ( 1,2,0) ， A1B(0,2

18、设平面 A1BC1 的一个法向量为n x 2y0，n A1B2y z 0， 1)，n ( x， y， z)，x 2y， 得设 D1C1 与平面sin |cos令 y 1，得 n(2,1,2) ，A1BC1 所成角为 ， n | ，则 | n| | D1C1| n|2 1 .23 3- 10 - / 15word9. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M、 N分别是棱成角的大小是 _答案 90解析 方法一 连结 MD1，易证 DD1M CDN，则CD、 CC1 的中点，则异面直线 A1M与 DN所NDM DD1M， NDM D1MD DD1M D1 MD90，即 DND1 M，又

19、A1D1平面 DC1，A1 D1 DN， DN平面 A1D1M.A1 M? 平面 A1D1M， A1 MDN.即 A1M与 DN所成的角为 90.方法二 ( 空间向量法 )以 D为原点，分别以 DA， DC， DD1 所在直线为 x， y， z 轴，设正方体边长为 2，则 D(0,0,0) ， N(0,2,1) ， M(0,1,0) ， A1(2,0,2) ，N(0,2,1) ， A1(2 ， 1,2) ， cos N， A1 DN MA1 0，| N| MA1|A1 M与 DN的夹角为 90.10正四棱锥 SABCD中， O为顶点在底面上的射影， P 为侧棱 SD的中点，且 SOOD，则直线

20、 BC与平面 PAC所成的角是 _答案 30解析 如图所示，以 O为原点建立空间直角坐标系 Oxyz .设 ODSOOAOBOCa，- 11 - / 15| B| n| 22 2word则 A( a, 0,0) ， B(0， a, 0)， C( a, 0,0) ， P(0 ， a2， a2)， a a 则A(2 a, 0,0) ， AP( a， ， )， CB( a， a, 0)设平面则 cosPAC的一个法向量为CB n B， nn，可求得 n (0,1,1) ，a12 2 2.2a B， n 60，直线 BC与平面 PAC所成的角为 90 60 30.11如图所示，在四棱锥 PABCD中，

21、底面 ABCD为直角梯形， ADBC， ADC90，平面1PAD底面 ABCD，E 为 AD的中点， M是棱 PC的中点， PAPD2， BC AD1， CD 3.(1) 求证： PE平面 ABCD；(2) 求直线 BM与平面 ABCD所成角的正切值；(3) 求直线 BM与 CD所成角的余弦值(1) 证明 因为 PAPD， E为 AD的中点，所以 PEAD.又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PE平面 ABCD.(2) 解连结 EC，设 EC的中点为 H，连结 MH， HB，如图因为 M是 PC的中点， H 是 EC的中点，所以 MHPE.由(1) ，知 PE

22、平面 ABCD，- 12 - / 15BMBE ME2MH 322 2 ，？若存在，求出2word所以 MH平面 ABCD，所以 HB是 BM在平面 ABCD内的射影所以 MBH为直线 BM与平面 ABCD所成的角1因为 AD BC， BC AD， E为 AD的中点，所以四边形 BCDE为矩形，1所以 EC 2， HB EC 1.21 3又 MH PE所以在 MHB中， tan MBHHB 2 .所以直线 BM与平面 ABCD所成角的正切值为ADC90，32 .(3) 解 由(2) ，知 CD BE，所以直线 BM与 CD所成角为直线 BM与 BE的夹角7连结 ME，在 RtMHE中， ME ，同理求得所以在7BM ，又 BECD 3，22 2MEB中，