第一章概率论的基概念华中科技大学课件

1、概率论与数理统计是研究什么的？什么是随机现象？什么是统计规律性？概率论与数理统计主要内容概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理参考教材：概率论与数理统计 盛骤谢式千潘承毅主编高等教育出版社样本及抽样分布参数估计假设检验方差分析及回归分析退出概率论的基本概念随机试验、样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型）几何概率概率的一般定义条件概率独立性返回退出本章小结习题随机试验是具有以下特征的试验：可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个结果会出现。样本空间、样本点 随机试验的所有可能结果

2、的集合称为样本空间。试验的每个可能结果称为样本点。记为Se。随机试验例1：E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S1：H，T； E：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。S2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT； E：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S3：0，1，2，3； E：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S4：1，2，3，4，5，6； E：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5：0，l，2，3，； E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S6：tt0； E：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。S7：(x，y)

3、T0 xyT1，这里x示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。随机事件基本事件（简单事件）、复合事件由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。必然事件、不可能事件样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。例2：在E中事件A：“第一次出现的是H”，即AHHH，HHT，

4、HTH，HTT； 事件A：“三次出现同一面”，即A2HHH，TTT； 在E中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即A3t0t1000； 在E中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即A7(x，y) y-x=10,T0 xyT1。例3：某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是 (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)

5、，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。在这个问题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究下面另外一些事件： A：第一次摸出黑球； B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可以分解的，例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现： (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (

6、6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)事件间的关系包含：，称事件B包含事件A，即事件A发生必然导致事件B发生。 相等：，称事件A与事件B相等。 和： ，表示A、B二事件中至少有一个发生；表示n个事件A1 ，A2 ， ， An中至少有一个发生。差：AB，表示事件A发生，而事件B不发生。 积：，也记作AB，表示A、B二事件都发生； 表示n个事件A1 ，A2 ， ， An都发生。 互不相容(或互斥)：指AB ，即事件A与事件B不能同时发生；若n个事件A1 ，A2 ， ， An的任意两个事件不能同时发生，则称A1 ，A2 ， ， An互不相容。 互为对立(互逆)：若S，且AB，则A与

7、B二事件互逆。有 。图示事件间的关系（Venn文图）ABSABAABABABBABAAB事件的运算 在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C为事件，则有 交换律 结合律 分配律 德摩根律对于n个事件，甚至对于可列个事件，德摩根律也成立。例4：在例中有HHH，HHT，HTH，HTT，TTTHHHTTTTHH，THT，TTH 例5：A发生而B与C都不发生可以表示为：A与B都发生而C不发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为：练习一化简下列格式：练习二证明下列等式：练习三从下面两式分析各

8、表示什么包含关系。返回在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA n称为事件A发生的频率，并记成n(A)。概率对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A的概率。我们希望找到一个数来表示P(A)。频率例考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发生的频数，n(H)表示H发生的频率)。试验序号n= 5n=

9、 50n=500nHn(H)nHn(H)nHn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。当n足够大时， n(A )P(A)由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度。频

10、率大，事件A发生就频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性就大。 当n增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)的近似值。频率的基本性质由定义，易见频率具有下述基本性质： 0 n(A)1; n(s)1; 若A1 ，A2 ， ， Ak是两两互不相容的事件，则n( A1A2Ak )=n ( A1)+n (A2)+n (Ak).返回有限样本空间我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间，研究它有助于深入研究更为复杂的样本空间。有限样本空间基本事件概率的定义若S是有限样本空间，其样本点为e1，e2，,en，在

11、这种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引进概率，只要对每个样本点给定一个数与它对应，此数称为事件ei的概率，并记之为P(ei)，它是非负的，而且满足 P(e1)+P(e2)+P(en)=P(S)=1这样，我们对样本点定义了概率，用它来度量每个样本点出现的可能性的大小。由此出发，我们不难定义更为一般的事件的概率。有限样本空间事件概率的定义定义 任何事件A的概率P(A)是A中各样本点的概率之和 按照这个定义，显然有P(S)=1，0P(A)1。离散样本空间把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到实质

12、性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将逐渐展开。 等可能概率模型（古典概型）等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机现象具有下列两个特征： (1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为 n个，记为e1，e2，,en，而且这些事件是两两互不相容的； (2)事件ei（i=1,2, n)的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛。如何理解古典概型中的等可能假设？等可能性是古典概型的两大假

13、设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。等可能概率模型中事件概率的计算公式设试验的样本空间为S=e1，e2，,en。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有P(e1)P(e2)P(en)又由于基本事件是两两不相容的，于是1=P(S)=P(

14、e1 e2 en) = P(e1)+P(e2)+P(en)=nP(ei) P(ei)=1/n ，i=1，2，n法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。有关排列组合的知识求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是关于排列组合的知识： 1不同元素的选排列 从个不相同的元素中，无放回地取出个元素的排列(0,则在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义。条件概率的定义 设A,B是两个事件，且P(A)0，称为在事件A发生的条件下

15、事件B发生的条件概率。条件概率满足概率定义中的三个基本性质非负性：对于任何事件B，有P(BA)0； 规范性：对于必然事件S，有P(SA)=1； 可列可加性：设B1 ，B2 ， 两两互不相容的事件，即对于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,则有可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如：特别当B=S时，条件概率化为无条件概率。解 易知此属古典概型问题将产品编号，1，2，3号为一等品；4号为二等品。以(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品。试验E(取产品两次，记录其号码)的样本空间为 S=(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2

16、，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)， A=(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)， AB(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2) 按条件概率的定义，得条件概率 例15 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(BA)。 也可以直接按条件概率的含义来求P(BA)。我们知道，当A发生以后，试验E所有可能结果的集合就是A，A中有9个元素，其中只有(1

17、，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)属于B，故可得乘法定理设P(A)0，则有 P(AB)=P(BA)P(A)上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。 同理，若P(B)0，则有 P(AB)=P(AB)P(B) 可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合：设A1,A2,An为n个事件，n2,且 P(A1A2An-1）0，则有 P(A1A2An）=P(AnA1A2An-1）P(An-1A1A2An-2）P(A2A1）P(A1）例16 设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球

18、四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解 以Ai(i=l，2，3，4)表示事件“第i次取到红球”，则 分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为例17 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为12，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 710，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 910。试求透镜落下三次而未打破的概率。 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。 条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(AB)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条

19、件的概率。条件概率P(AB)与积事件概率P(AB)有什么区别？ P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概率，而P(AB)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事件A的概率。虽然都是A、B同时发生，但两者是不同的，有P(AB)P(B)P(AB)，仅当P(B)P(S)1时，两者相等。条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？全概率公式 全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式。它是求复杂事件概率的有力工具。 样本空间的划分的定义：设S为试验E的样本空间，B1,B

20、2，,Bn为E的一组事件。若 BiBj=,ij,i,j=1,2, ,n; B1B2Bn=S,则称B1,B2, Bn为样本空间S的一个划分。 全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件， B1,B2，,Bn为S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2, ,n),则 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(ABn)P(Bn).全概率公式的证明证明 因为事件B1,B2，,Bn时样本空间的一个划分，即Bi两两互不相容，P(Bi)0(i=1,2, ,n)，而且 B1B2Bn=S有 AB1AB2ABn=A这里的ABi也是两两互不相容（参见图）。 由概率的可列可加性 P(A)=P(

21、AB1)+P(AB2)+P(ABn)利用乘法定理即得 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2) P(B2)+P(ABn)P(Bn)B1AB5B4B3B2解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个分割。用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得例18 播种用的一等小麦种子中混合2的二等种子，1.5的三等种子，1的四等种子。用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15,0.1,0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。练习

22、五 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的。如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。 解 样本空间可以划分为事件A一知道正确答案， 一不知道。以B表示学生答对事件，则A B，P(AB)P(A)12。P(BA)=1，而P(B )14。由全概率公式 P(B)P(A)P(BA)+P( )P(B ) 121+1214=58，故 P(AB)P(AB)P(B)45贝叶斯公式 设试验E的样本空间为S。A为E的事件， B1,B2，,Bn为S的一个划分，且P(A)0,P(Bi)0(I=1,2, ,n)，则上式称为贝叶斯(Bayes)公式。 贝叶斯定理

23、往往与全概率公式同时使用。全概率公式一用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式。贝叶斯公式的证明证 由条件概率的定义及全概率公式即得当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式什么是先验概率和后验概率？ 贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定B1,B2,是导致试验结果的“原因”，P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道。现在若试验产生了事件A，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”。条件概率P(BiA)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大

24、小的新知识。例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了毛病B1,B2,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，他想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率。首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(ABi)，这里当然主要依靠医学知识。有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(BiA)，显然，对应于较大P(BiA)的“病因”Bi，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊

25、断中，这方法是有实用价值的。先验概率和后验概率两者间有什么关系？ 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的P(Bi)，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BiA)P(ABi)P(Bi)/P(A)中的P(BiA)，是“执果寻因”问题中的“因”。 先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。如求P(BiA)要先求P(A)，一定要知道P(ABi)。 解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(il，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个

26、划分，且有P(B1)=015，P(B2)=080，P(B3)005，P(AB1)=002，P(AB2)=001，P(AB3)=003。例19 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 002 015 2 001 080 3 003 005 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。 由全概率公式 P(A)= P(AB1)P

27、(B1)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3) =0.0125 由贝叶斯公式 以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。例20 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(AC)095，P( )095。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0005，即P(C)0005，试求P(CA)。解 已知P(AC)095，P(A )1一P( )005，P(C)0005，P( )0995，由贝叶斯公式 本题的结果表明，虽然P(AC)095，P( )095，这两个概率都比较高。但若将此试验用于

28、普查，则有P(CA)0087，亦即其正确性只有87(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症)。如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(AC)和P(CA)混淆了会造成不良的后果。例21 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98，而当机器发生某种故障时，其合格率为55。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?解 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。已知P(AB)098，P(A )055，P(B)095， P( )005，所需求的概率为P(BA)。由贝叶斯公

29、式 这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为097。这里，概率095是由以往的数据分析得到的，是先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即097)是后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。返回考虑古典概型的一个例子例 一袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求： (1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率； (2)第二次摸出黑球的概率。解 以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得白球，则所以而注意这里的 考虑古典概型的一个例子在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率。解 这

30、时所以而注意这里的 事件独立性的定义 设A,B是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。思考 若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容是否能同时成立？答 不能定理1及其证明 设A,B是两个事件，且P(A)0，若A,B相互独立，则反之亦然。证 由条件概率的定义得定理2及其证明 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。证 由于3个事件独立性的定义 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事

31、件A,B,C相互独立。思考 三个事件A,B,C两两独立，能否保证他们相互独立呢？即能否由 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) .答：不能。这从下面的例子可以看出。例22 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色。现在我们以A，B，C分别记投一次四面体出现红，白，黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此 P(A)=1/2 同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以A,B,C两两独

32、立，但是 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)思考 能否由 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 推出 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C).答：不能。这从下面的例子可以看出。例23 若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) 但是 P(AB)=3/81/4=P(A)P(B)n个事件独立性的定义及其推论 一般，

33、设A1,A2, An是n(n2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。 由定义，可以得到以下两点推论。 若事件A1,A2, An(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的。 若n个事件(n2)相互独立，则将A1,A2, An任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。 推论1，可由独立性的定义直接推出；推论2，对于n=2的情形已证得，一般情况可由数学归纳法证得。事件独立性的应用 在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由问题的实际意义来判断。如A,B分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人

34、的活动范围相距甚远，就认为A,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为A,B相互独立了。事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便。两事件A,B独立与两事件A,B互斥有什么关系？ 这两个概念并无必然的联系。两事件A,B独立，则A,B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，所以说，两事件的发生是有影响的。 可以用图形作一直观解释。左图中A是左上半个正方形，B是右上半个正方形，P(A)=P(B)=12，P(AB)14，表示样本空间中两独立事件间关

35、系。右图中，左下半个正方形是A，右上半个正方形是B，P(A)=P(B)=12,P(AB)=0,表示样本空间中两互斥事件间关系。ABBA例24一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式联接(称为串并联系统)。设第i个元件的可靠性为pi(i1，2，3，4)，试求系统的可靠性。解 以Ai(il，2，3，4)表示事件第i个元件正常工作，以A表示事件系统正常工作。 系统由两条线路I和组成(如图)。当且仅当至少有一条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作，故有 A=A1A2A3A41432由事件的独立性，得系统的可靠性

36、： P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1p2+p3p4-p1p2p3p4例25 要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为095；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为001。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?解 设以Hi(i0，1，2，3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0，H1，H2，H3是S的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为099，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为005，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有