信号检测及估计.pptx

1、信号检测与估计(估值)课程介绍课程性质: 选修课 学时数: 34学时教材及参考书: 1)赵树杰, 赵建勋. 信号检测与估计理论, 清华大学出版社, 2005 (注: 第2版,电子工业出版社, 2013；赵建勋.信号检测与估计理论第1版学习辅导与习题解答, 清华出版社, 2007)2)Thomas A. Schonhoff, Arthur A. Giordano著, 关欣, 等译.信号检测与估计理论与应用,电子工业出版社, 20123)Steven M. Kay著, 罗鹏飞,等 译. 统计信号处理基础估计与检测理论,电子工业出版社, 2006先修课程：概率与随机过程, 矩阵理论,现代信号处理。研

2、究方向:信号检测与估计为信息与通信工程一级学科下的三级学科,属于交叉学科领域，也是招收博士生的入学考试科目之一(信息与通信工程,控制理论与工程,检测技术与自动化装置,兵器科学与技术等学科)。考核方式:(闭卷)笔试或提交课程论文。任课教师:张端金, 教授, 南京理工大学控制理论与控制工程博士, 华南理工大学信息与通信工程博士后, 德国杜伊斯堡-埃森(Duisburg-Essen)大学访问学者。Tel:(郑大新校区工科园D408)Email: 第1章 信号检测与估计概论应用场合：雷达、通信、图像处理、生物医学、控制、地震学、航空航天等领域。如何保证“可靠的通信，精密的

3、测量与正确的控制”(涉及检测与估计理论)。检测与估计理论：检测理论和估计理论。估计理论又分为参量估计和波形估计(滤波理论)。检测：根据有限观测，最佳区分一个物理系统不同状态的理论。主要研究在噪声或干扰环境下，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题。参量估计：根据有限观测，最佳找出一个物理系统不同参数的理论。研究在噪声或干扰环境下，通过对信号的观测，如何构成待估计参数的最佳估计问题。 滤波(Filtering): 研究在噪声或干扰背景下，信号波形的最佳恢复问题。对于离散系统，也称状态估计。Filter 滤波器注意：在定义中出现的“有限观测”，“最佳”的含义。 噪声(Noise): 是指与有用信

4、号无关的一些破坏性因素。如工业(industrial)噪声，脉冲(pulse)噪声，热(thermal)噪声。 干扰(Interference):是指与有用信号有关的一些破坏性因素。如符号间(inter-symbol)干扰，共信道(co-channel)干扰，各种人为的故意干扰(军事方面)。 信号(Signal):是指荷载信息的一个时间波形或函数。信号检测与估计的分类方法：1)按照对噪声与干扰的统计特性的先验了解，进行分类：A 参量检测(估计)或最佳检测(估计)。B 非参量检测(估计)。2)对于信号的类型，进行分类：确知信号的的检测；具有未知参量信号的检测；对随机信号的检测检测。3)对于观测值

5、的处理方式，进行分类：固定观测样本值；非固定观测样本值(如序列检测,估计)。举例：雷达系统(机场监视雷达，如何确定飞机的位置)Skolnik M I, Introduction to Radar Systems, McGraw-Hill, New York, 1980工作原理: 为了确定是否有飞机正在靠近以及距离R有多远。发射一个电磁脉冲，如果这个脉冲被大的运动目标反射，就显示有飞机出现。接收波形由反射脉冲、周围辐射及接收机内的电子噪声组成。图1.2 雷达系统工作示意图检测：有无飞机；估计：判断飞机的方位距离速度。C为光速第2章 信号检测与估计理论的基础知识2.2随机变量、随机矢量及其统计描述

6、2.2.1随机变量的统计特性分布函数(DF)概率密度函数(PDF)2.1引言复习随机过程的知识，包括均值、方差、协方差、相关函数、谱密度、遍历性、高斯分布、白噪声、有色噪声。概率密度函数的性质:注意：大写P表示概率，小写p表示概率密度函数。随机变量的均值:随机变量的矩(原点矩、中心矩、一阶原点矩、二阶中心矩)切比雪夫(Chebyshev)不等式的意义2.2.2常用的随机变量均匀分布高斯分布三角对称分布指数分布瑞利分布莱斯分布这里只介绍高斯分布的随机变量:图2.2高斯分布随机变量的PDF曲线 图2.3标准高斯分布随机变量的PDF曲线高斯分布的随机变量 ， 均值为 ， 方差为 ，概率密度函数 p(

7、x)可表示为对上述随机变量进行归一化处理，令则有记为标准高斯分布的一维累积分布函数为互补累积分布函数2.2.3随机矢量的统计特性1. 随机矢量的概念N维离散随机信号x1,x2xn可构成随机信号矢量，表示为：2. 随机矢量的概率密度函数N维离散随机信号矢量的N维联合概率密度函数3. 均值矢量和协方差矩阵均值矢量协方差矩阵4. 互不相关性和相互统计独立性定义：不相关 当离散随机信号矢量的分量xk与xj的协方差满足时，称xj与xk之间是互不相关的。独立 当离散随机信号矢量的概率密度函数满足时，称xj与xk之间是相互独立的。相互独立互不相关相互独立互不相关高斯5. 联合高斯随机矢量如果随机矢量的每一个

8、分量都服从高斯分布，则称 为联合高斯随机矢量。或者说高斯随机变量的线性组合仍是高斯随机变量。其联合概率密度函数为：简记为主要性质：1)N维联合高斯随机矢量的每一个分量服从一维高斯分布。2)N维联合高斯随机矢量的线性变换不变性。3)N维联合高斯随机矢量的各分量之间的互不相关性等价于相互统计独立性。2.2.4随机变量的函数设随机变量 的概率密度函数为p(x), 其函数为如果反函数存在，且连续可导，则随机变量 的概率密度函数p(y)为这就是一维雅可比变换，其中随机变量函数的均值为2.2.5随机矢量的函数N维随机矢量X的函数为上述变换称为N维雅可比变换。2.3随机过程及其统计描述2.3.1随机过程的定

9、义设 是一概率空间，T是一个实参数集，定义在T和 上的二元函数 ，称为随机过程。2.3.2随机过程的统计描述随机过程的一维累积分布函数和一维概率密度函数分别为2.3.3随机过程的统计平均量2. 均方值1. 均值3. 方差注：方差的平方根 称为标准偏差。4. 自相关函数5. 自协方差函数相同时刻的自相关函数等于随机过程的均方值。相同时刻的自协方差函数等于随机过程的方差。7. 互协方差函数6. 互相关函数2.3.4随机过程的平稳性如果随机过程x(t)，经过时间平移 后，统计特性保持不变，则该过程具有严格的平稳性。1. 随机过程的平稳性分类分为严格平稳、广义平稳(宽平稳)、非平稳的随机过程。严格平稳

10、：对于所有的阶，随机过程都是平稳的广义平稳：二阶平稳的随机过程，同时满足(2.3.24)和(2.3.25)的条件。2. 严格平稳与广义平稳随机过程的关系3. 平稳随机过程的统计平均量严格平稳广义平稳严格平稳广义平稳高斯2.3.5随机过程的遍历性主要考虑统计均值与时间均值如果平稳随机过程x(t)的统计均值与时间均值相等，则称x(t)的均值具有遍历性。如果平稳随机过程x(t)的自相关函数与时间自相关函数相等，如果平稳随机过程x(t)的均值、自相关函数都具有遍历性，则称x(t)为遍历性过程。只有平稳随机过程才可能具有遍历性。遍历过程一定是平稳的，但并非所有平稳过程都具有遍历性。则称x(t)的自相关函

11、数具有遍历性。举例：考虑随机过程， x(t)=y,试证明x(t)是否具有遍历性。解：易知x(t)为平稳随机过程，分别计算统计均值和时间均值如下：两者不相等，因此x(t)不具有遍历性。2.3.6随机过程的正交性、不相关性和统计独立性1. 定义正交性(自相关函数r为0)、互不相关性(自协方差函数c为0)、独立性(概率密度函数p具有分解特性)。正交性互不相关性统计独立性对于两个随机过程，也有类似的特性。2. 正交性、独立性和不相关性之间的关系1)如果均值为0，则相互正交与互不相关等价。2)相互独立性可推出互不相关性；反之不一定成立，高斯分布除外。2.3.7平稳随机过程的功率谱密度1. 功率谱密度的概

12、念维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)定理:功率谱密度和自相关函数为一傅里叶变换对。注意：功率谱密度和谱函数；概率密度函数和累积分布函数。2. 功率谱密度的主要性质3. 互功率谱密度2.4 复随机过程及其统计描述(自学或选讲)2.5 线性系统对随机过程的响应考虑LTI系统，输入为x(t)，输出为y(t)，冲激响应为h(t)。则有y(t)=h(t)*x(t)。2.5.1响应的平稳性响应的平稳性：如果输入是平稳的随机过程，则LTI系统的输出也是平稳随机过程。2.5.2响应的统计平均量其他统计平均量2.6高斯噪声、白噪声和有色噪声2.6.1高斯噪声模型高斯噪声的N维随机矢量的联合概率密度

13、函数为高斯噪声的一维概率密度函数为中心极限定理说明：N个相互独立的随机变量之和，趋近于高斯分布(当N很大的时候)。一般情况下，白噪声也可定义为均值为0，自相关函数为 函数的噪声过程。2.6.2白噪声和高斯白噪声白噪声(white noise)是指功率谱密度均匀分布的一种噪声。也就是说其功率谱密度等于常数。而白噪声的自相关函数为 函数。注意：连续白噪声过程，离散白噪声序列的区别。理想白噪声不存在，常采用带限白噪声。高斯白噪声：PDF服从高斯分布,P(w)为均匀分布。2.6.3有色噪声(color noise)不是白噪声的任何噪声称为有色噪声，其功率谱密度P(w)的分布是不均匀的。2.7信号和随机

14、参量信号及其统计描述2.7.1信号的分类连续信号，离散信号，采样信号，数字信号确知信号(确定性信号)和参量信号。参量信号又分为未知参量信号和随机参量信号。2.7.2随机参量信号的统计描述随机相位信号可认为服从均匀分布其他随机相位信号的通用模型描述如上式，其中v为控制参数，与信道的物理特性有关。其他随机相位信号分布的通用模型曲线随机振幅信号服从瑞利分布：其他附：第2章 习题举例2-7，2-13，2-15，2-20，2-21，2-24，2-29第3章 信号的统计检测理论3.1 引言 检测理论:在受噪声或干扰的随机信号中，如何最佳判出信号所处的状态。 统计判决理论，假设检验理论是数学基础。 不同的检

15、测准则,不同的应用领域。 如Neyman-Pearson准则(雷达、声纳)， Bayes准则(通信、模式识别)。3.2 统计检测理论的基本概念3.2.1 统计检测的基本模型1. 二元信号检测的模型图3.1二元信号统计检测理论模型定义：一个被观测的物理系统可能处于M个状态之一，称“系统处于状态j (j=1,2, M)为假设Hj。也可把信源的输出称为假设。对于二元检测，H0为零假设，H1为备择假设。1)信源二元信号（某时刻输出的两种信号之一，如0或1，有或没有）2)概率转移机构在一个假设为真的基础上，把噪声或干扰中的假设Hj (j=0,1)为真的信号以一定的概率关系映射到观测空间。条件概率密度(转

16、移概率)一般只取决于干扰、噪声。 表示Hj为真时观测数据为X的条件概率密度，也称为似然函数。下面分四个部分介绍。举例说明二元信号的检测：观测信号的表示方法噪声服从高斯分布观测信号模型为 H0: x=-A+n H1: x=A+n若进行有限的N次观测，将得到N维观测矢量和N维联合概率密度函数。图3.2二元信号检测统计模型3)观测空间R在噪声或干扰下，由概率转移机构生成的全部可能观测量的集合。4)判决规则统计判决(假设检验)：根据观测量在观测空间中的位置，按照一定的检验规则，作出信号状态属于哪个假设的判决问题。整个观测空间R分为两个子空间。子空间R0和R1称为判定域(critical region)

17、。图3.3二元信号检测的判决域图3.4 M元信号检测的判决域2. M元信号检测模型M种状态，M个假设Hj (j=0,1,M-1)。3.2.2 统计检测的结果和判决概率1 二元信号的情况 表示在假设Hj为真的条件下，判断假设Hi成立的结果。判断概率 表示在假设Hj为真的条件下，判决假设Hi成立的概率。对于二元信号检测，共有4种判决概率。其中两个为正确判决的概率，两个为错误判决的概率。希望正确的判决概率大，错误的判决概率要小。2 M元信号的情况在假设Hj为真，判决Hi成立的结果为其中M种正确判决，M(M-1)为错误的判决结果。图3.5二元信号检测的判决域划分与判决概率观察：x0减小，H1的正确判决

18、概率增大，H0的正确判决概率减小。反之x0增大，结果相反。引出最佳划分和折衷处理的问题。二元信号状态统计监测的归纳：M元信号状态统计监测的归纳：3.3贝叶斯准则3.3.1平均代价的概念和贝叶斯准则判决概率先验概率 ，引入代价因子cij的概念：表示假设Hj为真时判决Hi成立所付出的代价。Bayes准则：在假设Hj的先验概率 已知，各种判决代价因子cij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。3.3.2平均代价C的表示式对于假设Hj为真，判决Hi成立所付出的条件平均代价为上式展开为考虑Hj的先验概率，则判决付出的总平均代价为(3.3.1)(3.3.2)下面推导平均代价的表达式(主要利用了概率和概率密

19、度的关系，以及整个观测空间的概率为1，即可得出)。3.3.3判决表示式分析(3.3.7)： 前2项为固定平均代价的分量，看最后一项的结果，由于cijcjj, 概率密度非负，为了求C的最小化，判决H0成立的判决域R0由下式确定：不满足上式的x值划归R1域，判定假设H1成立。(3.3.9)式的左边定义为似然比函数，右边称为检验门限。两种情况的判决结果合并在一起，即为(3.3.9)式。图3.6二元信号检测原理框图 通过对前面的似然比检验或对数似然比检验进行简化，得到下面的表达式。l(x)为检验统计量。3.3.4检测性能分析平均代价C是贝叶斯准则的性能指标。先计算概率密度函数，再算判决概率，结合先验概

20、率和代价因子，最后计算出平均代价C,从而对检测性能进行评价，找出改进措施。举例3.3.1(见教材第45页)3.4.1最小平均错误概率准则通信系统中，一般 , 将其代入到贝叶斯准则(3.3.2)， 可得到最小平均错误概率准则。3.4派生贝叶斯准则在对P(Hj)，cij进一步约束后，可得到Bayes准则的一些特例或派生准则。结果如下：最大似然准则(3.4.10)：在最小平均错误概率准则中，如果假设H0和H1的先验概率相同，P(H0)=P(H1)=1/2。3.4.2最大后验概率检测准则在Bayes准则中，如果 ，则称为最大后验概率准则，也称为理想观察者准则。 此时的判决表达式为 当dx很小时，有 最

21、后一个不等式表示的是在观测量x已知的条件下，假设H1, H0为真的概率，称为后验概率。 3.4.3极小化极大检测准则在代价因子cij已知，先验概率P(Hj)无法确定的条件下，使极大可能代价极小化的准则。引入记号：P1未知，此时的代价函数为为了使用Bayes准则，先猜测一个先验概率P1g， 图3.8平均代价C与P1的关系曲线 已经提到过贝叶斯准则，极小化极大准则，最小平均错误概率准则，最大后验概率准则。这些准则都有一定的前提条件，但有时无法保证。 N-P准则：在错误判决概率 的约束下，使正确判决概率最大的准则。3.4.4奈曼皮尔逊(N-P)准则1概念2解的存在性说明3. 奈曼皮尔逊准则的判决表示

22、式4. 奈曼皮尔逊准则的求解步骤3.5信号统计检测的性能二元假设检验的统计术语对照表统计学工程领域检验统计量和门限 检测器零假设(H0) 只有噪声假设备择假设(H1) 信号+噪声假设判定域 信号存在判决域第1类错误(当H0为真时判H1成立)虚警(FA)第2类错误(当H1为真时判H0成立) 漏警(M)显著性水平或检验尺度() 虚警概率PFA 第2类错误概率() 漏警概率PM检验的势(1-)检测概率PD检验的最佳准则，与判决概率有关。似然比检验的判决表达式为图3.11判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)示意图Q为标准高斯分布的右尾积分，d为幅度信噪比，功率信噪比为(3.5.13)。利用检测门

23、限和信噪比d，可将检测概率PD和虚警概率PF联系起来。图3.12 接收机工作特性(ROC)d=0, PD=PF, 从表达式(3.5.12)可以得到。d增大，曲线越陡，PD增大，性能越好。d固定，门限增大，PD下降，PF下降。ROC描述信号检测性能，反映PD(, d)和PF(, d)之间的关系。3.6 M元信号的统计检测接收机的工作特性的共同特点：1)所有连续似然比检验的ROC都是上凸的。2)所有连续似然比检验的ROC均在对角线之上。3)ROC在某点处的斜率等于该点上PD和PF所要求的检测门限。3.6.1 M元信号检测的贝叶斯准则图3.15 M元信号检测模型Bayes平均代价C的表达式为分析发现

24、，(3.6.5)式大于等于0。当满足(3.6.7)式时，判决Hi成立。这可由(M-1)个联立不等式组获得。如果采用似然比检验，则选择使(3.6.9)式最小的对应假设成立。3.6.2 M元信号检测的最小平均错误概率准则若P(Hj)已知，cii=0, cij=1, 则贝叶斯准则就变为了最小平均错误概率准则进一步，假设检测的先验概率相同，设定为P, 则有最大似然准则。举例3.6.1(p67)3.7参量信号的统计检测3.7.1参量信号统计检测的基本概念简单假设检验：确知信号或确定性信号复合假设检验：未知参量信号(未知的确定信号或随机参量)N维观测矢量的统计特性与噪声和未知参数有关，概率密度函数不完全给

25、定。检测性能与未知的参量有关，具有不确定性或随机性。3.7.2参量信号统计检测的方法广义似然比检验：先用最大似然估计去估计未知参数，再用似然比检验。贝叶斯方法：把未知参量看作随机过程，利用贝叶斯准则实现检测。3.7.3广义似然比检验3.7.4贝叶斯方法1随机参量的概率密度函数p(j)已知的情况采用统计平均方法去掉随机信号参量的随机性。条件概率密度看成未知参量的函数，进行似然比检验。2. 随机参量猜测先验概率密度函数的情况 猜测PDF，再去应用确知信号的检测方法(猜测也要符合一定的依据)。3. 未知参量的奈曼皮尔逊准则信号检测在P(H1|H0)=约束下，使得P(H1|H1)最大的准则。对任意的未

26、知参量， P(H1|H1)都最大，则称为一致最大势检验(UMF), 也称一致最大功效检验(UMP)。4. M元参量信号的统计检测与二元参量信号检测方法类似，也有广义似然比检验和贝叶斯方法。例题3.7.1(p101)：参量信号检测3.8 信号的序列检测3.8.1信号序列检测的基本概念给定检测性能指标，观测次数满足，则停止检测作出判决，否则继续观测。优点：平均观测次数最少，检测时间最短。图3.20序列检测的判决域似然比检验为奈曼-皮尔逊准则N次观测且相互独立若满足(3.8.9)式，则进一步观测，直到(3.8.7)或(3.8.8)满足，给出确定判决。检测门限3.8.2信号序列检测的平均观测次数假设H

27、1为真假设H0为真条件均值平均观测次数当N=n时，上式表明信号的序列检测有终止。也可以人为设定观测次数N的上限，若仍无法做出确切的判断，就转为固定观测的检测模式，此时称为可截断的序列检测。例题3.8.1(p108)：求平均观测次数3.9 一般高斯信号的统计检测(课内自习)3.10 复信号的统计检测(课外自学)附：第3章 习题3.1，3.4，3.8，3.11，3.23第4章 信号波形的检测4.1引言信号检测：观测信号一般为N维随机矢量。信号波形的检测：接收信号为随机过程x(t)。信号波形检测的分析方法：先对x(t)进行正交级数展开，再利用信号检测的方法，研究信号波形的检测问题。检测准则设计：视具

28、体情况而定。如最小平均错误概率准则(通信)，奈曼-皮尔逊准则(雷达、声纳)。不失一般性，二元信号检测模型可表示为：H0: x(t)=n(t), 0tTH1: x(t)=s(t)+n(t), 0tT或者写为H0: x(t)=s0(t)+n(t), 0tTH1: x(t)=s1(t)+n(t), 0tT其中n(t)是白噪声或高斯白噪声，还可能为有色噪声。用来说明信号在信道传输过程中受到的干扰，主要考虑加性噪声干扰。s(t)为发送信号，x(t)为接收信号。考虑如下的通信系统模型：图4.1二元数字通信系统波形检测模型4.2匹配滤波器理论4.2.1匹配滤波器的概念图4.2接收机模型 如果LTI (lin

29、ear time invariance)滤波器输入信号为确定信号，加性平稳噪声，则在输入功率信噪比一定的条件下，使得输出功率SNR (signal noise ratio)最大的滤波器，就是与输入信号匹配的最佳滤波器，称为匹配滤波器(match filter/ MF)。4.2.2匹配滤波器的设计图4.3 线性滤波器考虑LTI系统的滤波器的输入为x(t)，输出为y(t)。其中输入信号s(t)为确知信号，能量Es有界。n(t)是为均值为0的平稳过程。输出s0(t)为滤波器对输入s(t)的响应，n0(t)表示噪声n(t)经过滤波器后的响应。如果输入信号s(t)的能量有界，则其傅立叶变换存在。利用线性

30、系统的性质，可得到输出的频谱函数为(4.2.4)，再取傅立叶逆变换，得到输出s0(t)。下面给出滤波器输出噪声n0(t)的平均功率，输出信号s0(t0)的峰值功率，以及SNR的定义。(4.2.11)为Schwarz不等式利用Schwarz不等式，可将(4.2.10)式整理为从(4.2.16)式可以看出信噪比的最大取值。再利用Schwarz不等式取等号的条件，可知系统函数应为(4.2.17)。进一步如果输入为白噪声，Pn(w)=N0/2,可化简系统函数为(4.2.19)的形式，其中k=2a/N0。匹配滤波器的冲激响应h(t)为如果滤波器输入信号s(t)为实函数，则对应的匹配滤波器的冲激响应h(t

31、)为(4.2.22)。有时为了简便，往往取k=1，而不影响频率特性的形状。1匹配滤波器脉冲响应h(t)的特点和t0时刻的选择对实信号s(t)的匹配滤波器，其脉冲响应为4.2.3匹配滤波器的主要特性图4.4 匹配滤波器的脉冲响应特性考虑物理可实现，匹配滤波器的脉冲响应应为t0至少要选择在s(t)的末尾。t0为输出功率信噪比取最大值的时刻。2. 匹配滤波器的输出功率信噪比 SNR0=2Es/N0 其中Es为输入信号能量，N0/2为白噪声的功率谱密度。3. 匹配滤波器的适应性(适用性)对振幅和时延不同的信号具有适应性，对频移信号不再适用。考虑 s1(t)=As(t-), S1(w)=AS(w)exp

32、(-jw), s2(t)=s(t)exp(jvt), S2(w)=S(w+v)4. 匹配滤波器与相关器的关系图4.5自相关器图4.6互相关器讨论匹配滤波器与相关器的关系。若n(t)为零均值白噪声，本地信号为s(t)，相关器的输出为yc(t)。匹配滤波器的输出为yf(t)。比较(4.2.32)和(4.2.30)式可知在t=T时刻，零均值白噪声条件下，匹配滤波器的输出与相关器的输出是相等的。4.3随机过程的正交级数展开4.3.1完备的正交函数集及确知信号的正交级数展开正交函数集：函数集fk(t)在(0,T)内满足(4.3.1)式。完备的正交函数集：确知信号的正交级数展开：(4.3.2)展开系数的计

33、算：(4.3.3)4.3.2随机过程的正交级数展开接收信号x(t)=s(t)+n(t) 为随机过程，可展开为要求正交级数展开的均方误差收敛到零。4.3.3随机过程的卡亨南-洛维(Karhunen-Loeve)展开如何根据噪声的特性，选择正交函数集fk(t)使得展开系数xk之间是互不相关的随机变量。展开系数的均值为我们希望各展开系数之间的协方差满足：上式为齐次积分方程，rn(t-u)为核函数，fk(t)为特征函数。解出的fk(t)作为正交函数集合，对进行正交级数展开，各xk之间互不相关，即为Karhunen-Loeve展开。注：在(4.3.9)的推导中，用到了x(t)=s(t)+n(t)。4.3

34、.4白噪声情况下正交函数集的任意性对于n(t)为白噪声的情形，其均值为0，自相关函数为rn(t-u)=(N0/2)(t-u)，展开系数的协方差为上式说明白噪声下正交函数集的任意性。4.3.5参量信号时随机过程的正交级数展开若信号s(t;)含有未知或随机参量，n(t)不变，如何进行级数展开而使得展开系数互不相关的问题。从(4.3.16)出发可导出(4.3.10)的积分方程，仍采用卡亨南-洛维展开，只是以参量为条件进行展开。4.4高斯白噪声中确知信号波形的检测4.4.1简单二元信号波形的检测1信号模型n(t)的均值为0、功率谱密度为N0/2，服从高斯分布。2判决表示式由(0,T)时间内的观测信号波

35、形x(t)的统计特性，进行统计判决H0或H1成立。分为四个步骤：研究方法：信号模型判决表达式检测系统设计检测性能分析最佳波形设计。学习顺序：简单二元一般二元M元信号波形检测。H0: x(t)=n(t), 0tTH1: x(t)=s(t)+n(t), 0tT1)利用级数展开系数来表示 x(t)接收信号可表示为 H0: xk=nk, H1: xk=sk+nk, 其中 其中展开系数为 x(t)为高斯随机过程，xk为高斯随机变量，若能求出均值和方差，就可得到概率密度函数。展开系数之间互不相关，统计独立。2) (k=1,2)是不不相关的高斯离散随机信号，取其前有限N项，求得离散似然函数 结果为式中 是某

36、个常数。 3)对 取N的极限，利用x(t)展开式和展开系数 (k=1,2)，得到观测信号x(t)的似然函数4)根据采用的信号检测准则计算似然比检测门限，构成似然比检验判决式，经化简得最佳判决式3. 检测系统的结构图4.8 相关检测系统结构(相关接收机)图4.9 匹配滤波器检测系统结构最佳检测系统(最佳接收机),依据判决表达式进行设计。也可用匹配滤波器进行设计。4. 检测性能分析统计检验量为高斯随机变量，先求均值和方差，再计算判决概率。均值方差功率信噪比判决概率5. 最佳信号波形设计 接收机工作特性ROC,检测性能取决于偏移系数，而偏移系数又取决于信号s(t)的能量Es，与信号波形无关。 图4.

37、11检测概率PD与参数d的关系与信号检测中的序列检测类似(固定样本有限观测)。无穷维观测有限维观测(充分统计量满足信号波形检测)。n(t)为白噪声，展开系数xk互不相关的正交函数集fk(t)可以任意选择。构造与确知信号s(t)有关的fk(t)。第一个坐标函数f1(t)选择为s(t)的归一化信号，剩下的fk(t)是与f1(t)正交且两两相互正交的任意归一化函数。对x(t)进行正交级数展开，第1个系数记为x1。6. 充分统计量的分析方法分析发现：k2时，xk在H0、H1的假设下，都是n(t)的展开系数nk，只有x1的结果含有假设H0,H1的信息。而其余的展开系数与假设无关，对判决无影响。展开系数x

38、1为充分统计量。利用充分统计量，构成似然比检验：x1为高斯随机变量，求概率密度函数，只需求出均值和方差。4.4.2一般二元信号波形的检测1 信号模型H0: x(t)=s0(t)+n(t), 0tTH1: x(t)=s1(t)+n(t), 0tTn(t)是均值为0、功率谱密度为N0/2的高斯白噪声。信号能量为：2判决表达式H0:H1:对接收信号进行正交级数展开：其中展开系数为用展开系数来表示接收信号 H0: xk=s0k+nk, H1: xk=s1k+nk, 分析可知，展开系数xk为高斯随机变量，且相互独立。为了进行似然比检验，只要求出均值和方差，就可得到概率密度函数。取极限，得到判决表达式3

39、检测系统的结构1)双路相关器检测系统结构2)双路匹配滤波器检测系统结构4 检测性能分析定义s1(t)和s0(t)之间的波形相关系数检验统计量 是高斯离散随机信号。检验统计量的均值检验统计量的方差功率信噪比判决概率在约束条件Es0+Es1=2Es(常数)下，如何设计信号s0(t)和s1(t)的最佳波形，以便获得最好的检测性能。检测性能随着偏移系数的增大而提高。1)波形相关系数=-1，若信号满足s0(t)=-s1(t), 即互补信号。 另外Es0=Es1=Es，此时偏移系数取最大值：5 最佳信号波形设计2)波形相关系数=0， s0(t)和s1(t)正交，此时的偏移系数为3)波形相关系数01， 此时

40、的偏移系数满足随着趋近于1，偏移系数趋近于0，检测性能逐步变差。6 充分统计量的分析方法举例4.4.1(p125)类似简单二元信号波形检测情况，一般二元信号波形也可采用充分统计量的分析方法，构造与信号有关的坐标函数，实现信号检测4.4.3 M元确知信号波形的检测(简介)1.观测信号模型2.最佳判决式3.检测性能分析4.5 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 (简介) 采用卡亨南-洛维展开，即要根据噪声的自相关函数，或协方差函数构造正交函数集的坐标函数，在讲观测信号用展开系数表示； 信号的检测性能不仅与信号能量、信号波形之间的相关系数有关，海域信号的波形有关。最佳波形需要根据噪声的自相关函数设计。第5章 信号的统计估计理论5.1引言参量估计(静态估计)，状态估计(动态估计)。5.2信号参量统计估计理论的概念5.2.1参量估计的数学模型和估计量的构造图5.1信号参量统计估计的数学模型参量空间M个未知参量1,2,m 组成矢量，可由M维参量空间的一个随机点表示。概率映射观测矢量x的值推测出参量的值。观测空间利用N维观测矢量x，对进行统计估计。估计规则估计规则保证估计量在一定准则下为