抛物线及圆的综合

1、-. z.拔高专题 抛物线与圆的综合一、根本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。二、拔高精讲精练探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题例1: 2015崇左如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是5，4，M与y轴相切于点C，与*轴相交于A，B两点1则点A，B，C的坐标分别是A 2，0 ，B 8，0 ，C 0，4 ；2设经过A，B两点的抛物线解析式为y=*-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与M相切；3在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在*轴

2、的上方，使PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由1解：连接MC、MA，如图1所示：M与y轴相切于点C，MCy轴，M5，4，MC=MA=5，OC=MD=4，C0，4，MDAB，DA=DB，MDA=90，AD=3，BD=3，OA=5-3=2，OB=5+3=8，A2，0，B8，0；2证明：把点A2，0代入抛物线y=*-52+k，得：k=-，E5，-，DE=，ME=MD+DE=4+=，EA2=32+2=，MA2+EA2=52+=，ME2=，MA2+EA2=ME2，MAE=90，即EAMA，EA与M相切；3解：存在；点P坐标为5，4，或5，或5，4+；理由如下：由勾股定理

3、得：BC=4，分三种情况：当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， P5，4；当BP=BC=4时，如图2所示：PD=，P5，；当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则PMC=90，根据勾股定理得：PM=，PD=4+，P5，4+；综上所述：存在点P，且点P在*轴的上方，使PBC是等腰三角形，点P的坐标为5，4，或5，或5，4+【变式训练】2015*如图，抛物线y=-*2-7*+6的顶点坐标为M，与*轴相交于A，B两点点B在点A的右侧，与y轴相交于点C1用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a*-h2+ka0，并指出顶点M的坐标；2在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值

4、最小，并求出其最小值和点R的坐标；3以AB为直径作N交抛物线于点P点P在对称轴的左侧，求证：直线MP是N的切线1解：y=-*2-7*+6=-*2-7*-3=-*-2+，抛物线的解析式化为顶点式为：y=-*-2+，顶点M的坐标是，；2解：y=-*2-7*+6，当y=0时，-*2-7*+6=0，解得*=1或6，A1，0，B6，0，*=0时，y=-3，C0，-3连接BC，则BC与对称轴*=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=3设直线BC的解析式为y=k*+b，B6，0，C0，-3，解得，直线BC的解析式为：y=*-3，令

5、*=，得y=-3=-，R点坐标为，-；3证明：设点P坐标为*，-*2+*-3A1，0，B6，0，N，0，以AB为直径的N的半径为AB=，NP=，即*-2+-*2+*-32=2，化简整理得，*4-14*3+65*2-112*+60=0，*-1*-2*-5*-6=0，解得*1=1与A重合，舍去，*2=2，*3=5在对称轴的右侧，舍去，*4=6与B重合，舍去，点P坐标为2，2M，N，0，PM2=2-2+2-2=，PN2=2-2+22=，MN2=2=，PM2+PN2=MN2，MPN=90，点P在N上，直线MP是N的切线【教师总结】此题是二次函数综合题目，考察了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的

6、求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:2015*如图，在平面直角坐标系中，A与*轴相交于C-2，0，D-8，0两点，与y轴相切于点B0，41求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；2设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与A相切；3在*轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。解：1设抛物线的解析式为：y=a*2+b*+c，把B0，4，C-2，0，D-8，0代入得：，解得经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=*2+*+4；2y=*2+*+4=*+52-，E-5，-

7、，设直线CE的函数解析式为y=m*+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得：，y=*+，在y=*+中，令*=0，y=，G0，如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB-OG=4-=，CG=，BG=CG，AB=AC，在ABG与ACG中，ABGACG，ACG=ABG，A与y轴相切于点B0，4，ABG=90，ACG=ABG=90点C在A上，直线CE与A相切；3存在点F，使BDF面积最大， 如图2连接BD，BF，DF，设Ft，t2+t+4，过F作FNy轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=k*+d，则，解得直线BD的解析式为y=*+4，点N的坐标为t，t+4，FN=t+4-t2+t+4=-t2-2t，

8、SDBF=SDNF+SBNF=ODFN=8-t2-2t=-t2-8t=-t+42+16，当t=-4时，SBDF最大，最大值是16，当t=-4时，t2+t+4=-2，F-4，-2【变式训练】如图，抛物线y=a*2+b*+ca0，c0交*轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D点A，B，C的坐标分别为-2，0，8，0，0，-41求此抛物线的表达式与点D的坐标；2假设点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM面积的最大值。解：1抛物线y=a*2+b*+c过点A-2，0，B8，0，C0，-4，解得，抛物线的解析式为：y=*2-*-4；OA=2，OB=8，OC=4，A

9、B=10如答图1，连接AC、BC，由勾股定理得：AC=，BC=AC2+BC2=AB2=100，ACB=90，AB为圆的直径由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，D0，4；2解法一：设直线BD的解析式为y=k*+b，B8，0，D0，4，解得， 直线BD解析式为：y=-*+4设M*，*2-*-4，如答图2-1，过点M作MEy轴，交BD于点E，则E*，-*+4ME=-*+4-*2-*-4=-*2+*+8SBDM=SMED+SMEB=ME*E-*D+ME*B-*E=ME*B-*D=4ME，SBDM=4-*2+*+8=-*2+4*+32=-*-22+36当*=2时，BDM的面积有最大值为36；解法二：如答图2-2，过M作MNy轴于点N设Mm，m2-m-4，SOBD=OBOD=16，S梯形OBMN=MN+OBON=m+8-m2-m-4=-mm2-m-4-4m2-m-4，SMND=MNDN=m4-m2-m-4=2m-mm2-m-4，SBDM=SOBD+S梯形OBMN-SMND=