高中物理竞赛精品课讲义

1、高中物理竞赛精品课讲义 PAGE 116磁场专题知识点分析：常见稳恒电流产生的磁场（1）无限长载流直导线在真空中离导线距离为 r 处的磁感应强度：B=OI 或 B=kI2兀rr式中，O称为真空中的磁导率，大小为 4X10-7T/m，k=2*10-7T/m。（2）无限长圆柱体半径为 R，均匀载有电流 I，其电流密度为 j 的无限长圆柱体：当 rR，即圆柱体外有 B=O兀R2j=OI。2兀r2兀r（3）长直通电螺线管内磁场长直导电螺线管内磁场可认为是匀强磁场，场强的大小可近似用无限长螺线管内 B 的大小表示：B 内=0nI， 式中，n 为螺线管单位长度的匝数。毕奥萨伐尔定律电流在空间激发磁场可以归

2、结为电流元在空间激发磁场拉普拉斯在毕奥和萨伐尔的实验的基础上经过抽象得到电流元在空间激发的磁场：dB 04 Idl sinr 2rdB 0Idl 4 r30真空磁导率： 4 107 NA2任意载流导线在点 P 处的磁感强度： I dl B dB 0r（磁感强度叠加原理） 4 r3安培环路定理研究真空中一无限长载流直导线的磁场，取一平面与载流直导线垂直，并以这平面与导线的交点 O 为圆心，在平面上作一半径为 R 的圆周，则在圆周上任意一点的磁感应强度 B的大小均为 B 0 I ，若选定圆周的绕行方向为逆时针方向，则圆周上每一点的 B 的方向2R与线元dl 的方向相同，B 沿上述圆周的积分为： B

3、dl cos 0 I2Rdl 0I 。式中，积分回路 L 的绕行方向与电流方向呈右手螺旋关系，电流取正值，反之电流取负值。在恒定电流的磁场中，磁感强度 B 沿任何闭合环路 L 的线积分，等于路径 L 所包围的电流强度的 0 倍，这就是安培环路定理。 B dl B cos dl 0 IiLL式中电流的正负规定如下：右手四指沿回路 L 的绕行方向，穿过回路 L 的电流方向与伸直的拇指方向相同时 I 取正，相反时 I 取负，式中 为 B 与回路 L 绕行方向之间的夹角。安培定律与安培力（1）安培力：电流元在磁场中所受到的力dF Idl B大小dF IdlB sin载流导线受到的磁力方向：应用右手螺旋

4、定则确定F dF L Idl B直导线：磁场对载流导线的作用力，其本质是磁场对导线中形成电流的运动电荷的洛仑兹力。欲求磁场对载流导线的作用力，先分析一个电流元在磁场中受力。电流元中电荷数nSd ，所受洛仑兹力dF nqSdlv B Idl B整个导线受力F L Idl B （安培力）（2）无限长两平行载流直导线间的相互作用力如图，设有两根平行长直导线，分别通有电流 I1 和 I2，它们之间的距离为 d。导线直径甚小于 d。求每根导线单位长度段受另一电流的磁场的作用力。电流 I1在电流 I2处所产生的磁场为： B 0 I1 2 d载有电流 I的导线单位长度线段受的安培力为： F B I 0 I1

5、I2221 22 dI1I2d12同理，载流导线 I1 单位长度线段受电流 I2 的磁场的作用力也等于这一数值，即 F B I 0 I1I2B112 12 dB2当电流 I1 和 I2 方向相同时，两导线相吸；相反时，则相斥。在国际单位中，电流的单位安就是根据上式规定的。洛伦兹力产生磁力的场叫磁场。一个运动电荷在它的周围除产生电场外，还产生磁场。另一个在它附近运动的电荷受到的磁力就是该磁场对它的作用。如图，在某一惯性参考系 S 中观察一个运动电荷q0 在另外的运动电荷周围运动时，它ZVFmq0Fevxy受到的作用力 F 一般总可以表示为两部分的矢量和。FF Fe Fm其中： Fe q0E 电场

6、力，Fm q0v B 磁场力或磁力，洛伦兹力。式中矢量 B 是由此式定义的描述磁场本身性质的矢量，叫磁感应强度。单位是特斯拉， 另外还常用高斯，其中 1T=104G。霍尔效应如图，所示宽为 b，厚度为 d，载流子浓度为 n 金属试样，若在 x 方向通以电流 Is，在 z 方向加磁场 B，则在 y 方向即试样 A、A电极两侧就开始聚积异号电荷而产生相应的附加电场。电场的指向取决于试样的导电类型。显然，该电场是阻止载流子继续向侧面偏移，当载流子所受的横向电场力eEH 与洛仑兹力evB 相等时，样品两侧电荷的积累就达到平衡，故有eEH evB其中 EH 为霍尔电场，v 是载流子在电流方向上的平均漂移

7、速度。IH nebdvV E d = 1 IH BHHneb洛伦兹力的应用磁聚焦、速度选择器、回旋加速器、质谱仪、磁流体发电机、霍尔效应等。（1）磁聚焦运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术”。一束发散角不大的带电粒子束， 当它们在磁场 B 的方向上具有大致相同的速度分量时，它们有相同的螺距。经过一个周期它们将重新会聚在另一点，这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦。如上图所示，电子束经 a、b 板上恒定电场加速后，进入 c、d 极板之间电场，c、d 板上加交变电压，所以飞出 c、d 板后粒子速度 v 方向不同，从 A 孔穿入螺线管磁场中，由于 v大小

8、差不多且 v 与 B 夹角 很小，则v/=vcosv， v=vsinv，由于速度分量 v不同，在磁场中它们将沿不同半径的螺线管运动，但由于它们速度 v分量近似相等，经过 h=2兀mv=2兀mv后又相聚于 A点，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类qBqB似，所以叫做磁聚焦现象。磁聚焦原理被广泛的应用于电真空器件，如电子显微镜。（2）质谱仪密立根油滴实验可测定带电离子的电量，而质谱仪能测定带电粒子比荷 q/m,两者集合可测定带电粒子质量。（3）磁流体发电机磁流体发电机是一种不依靠机械转动，而直接把内能转变为电能的装置。如图所示为磁流体发电机原理图。在距离为 d 的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁

9、场，磁感强度为 B。高速运动的等离子体（含有相等数量正负离子）射入其间，离子在洛伦兹力作用下发生偏转， 正离子向上偏，负离子向下偏，结果一板带正电，一板带负电，使得两板成为能提供正负电荷的电源两极，随着电荷的聚集，两板间产生电场阻碍电荷偏转，最终稳定时，射入两板间离子所受洛伦兹力与电场力平衡：qE=qvB。两板间场强 E=Bv，两板间电势差为 U=Ed=Bvd。当两板不连接时，此电势差即为磁流体发电机电动势，即 =Bvd。当两板连接时，两极板对外做功，此时两极板间电势差小于电动势。（4）回旋加速器回旋加速器的工作原理如图所示，设离子源中放出的是带正电的粒子，带正电的粒子以一定的初速度 v0 进

10、入下方 D 形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，运动半周后回到窄缝的边缘，这时在 A1、A1间加一向上的电场，粒子将在电场作用下被加速，速率由 v0 变为v1，然后粒子在上方 D 形盒的匀强磁场中做圆周运动，经过半个周期后到达窄缝的边缘A2，这时在 A2、A2间加一向下的电场，使粒子又一次得到加速，速率变为 v2，这样使带电粒子每通过窄缝时被加速，又通过盒内磁场的作用使粒子回旋到窄缝，通过反复加速使粒子达到很高的能量。带电粒子在两 D 形盒中回旋周期等于两盒狭缝之间高频电场的变化周期，粒子每经过一个周期，被电场加速二次。将带电粒子在狭缝之间的运动首尾连接起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。 带电

11、粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，每次增加的动能为 Ek=qU；所有各次半径之比为：1：2：3： ；对于同一回旋加速器，其粒子的回旋的最大半径是相同的。由最大半径得：R=mvE=1/2mv2=B2q2R2；qB2m回旋周数：n= E ；2qU所需时间：t=nT。关于回旋加速器：回旋加速器的任务是使某些微观带电粒子的速率被增大到很大，因而具有足够动能，成为可用于轰击各种靶元素的原子核甚至核内基本粒子的高级炮弹。影响回旋加速器的加速能力的主要因素是相对论效应。其含义是：在极高速运动中， 微观质量随速度增大而显著变大。相对论质量公式是：m=m0/j1 - (v/c)2式中，m0 是微观静止质

12、量，m 是运动质量，c 是光速。当 vc 时，mm0，但当速度v 接近光速时，m 就变得非常大。在 1.5T 的磁场中令两方面：第一，因压振荡频率 f 随粒拍，这种加速器通值，可致半径 r 的的。加速器令量子质量变大，根据 r=mv/qB，粒子回旋轨道半径会变大，同时周期变大或频率变小，粒子在两个切开的 D 形盒内的回旋运动就变得跟加速电压的震荡不同步不合拍，不在保证粒子每经过一次狭缝就被加速一次。其次，质量轻的粒子在能量不太大时速度就明显大，质量变大尤其显著，相对论效应对其继续加速的限制就越厉害。还有一个限制是根据粒子末能量表达式 Ekm=q2B2R2/2m, R 为 D 形盒的半径。比如要

13、质子获得 300eV 能量（对应速度是 0.99998c），需磁场的直径是 130m。上述两个原理上的限制，正在技术上得到逐步克服，措施也大致有为 f=qB/2m，所以 mf=qB/2 是个恒量。采用适当的技术能控制加速电子质量变大而成反比例减小，就能做到粒子回旋运动和加速电场同步合常被称为是同步加速器。第二，由于 r=mv/qB，当 mv 变大时适当加大 B 增大减慢，现代加速器的磁场磁极一般做成环形，就是为了达到这个目经典例题：1.求载流长直导线的磁场。（答案：0 I（cos cos ）124 r02.半径为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求

14、圆盘中心的磁感应强度。0R（答案：）23.应用安培环路定理求解无限长直螺线管的磁场。（答案： B 0nI ）4.如图，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为 l，一端接有阻值为 R 的电阻，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B；一根质量为 m 的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好。已知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为 v0，方向平行于导轨。忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦。证明金属杆运动到总路程的（01）倍时，安培力(1 )2 B2l 2 2的瞬时功率为 P 0 。R（答案：略）5.如图所示，金属架平面与水平面平行，质量为 m、长度为 L 的硬金属线 ab 的两端用绝缘

15、线吊着并与框接触，处在匀强磁场中。当闭合开关 s 时，ab 通电随即摆起的高度为 h，则在通电的瞬间，通过导体截面的电荷量 Q= 。（答案： mBL2 gh ）6.如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过 P 点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的 1/3。将磁感应强度的大小从原来的 B1 变为 B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则 B2/B1 等于（）A2B3C 2D 3（答案：D）7.电子感应加速器利用变化的磁场来加速电子。电子绕平均半径为 R 的环

16、形轨道(轨道位于真空管道内)运动，磁感应强度方向与环形轨道平面垂直。电子被感应电场加速，感应电场的方向与环形轨道相切。电子电荷量为 e。（1）设电子做圆周运动的环形轨道上的磁感应强度大小的增加率为 B ，求在环形轨道切t线方向感应电场作用在电子上的力；B（2）设环形轨道平面上的平均磁感应强度大小的增加率为 t ，试导B出在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与 t 的关系；BB（3）为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动，求t必须满足的定量关系。（答案：略）和 t 之间8.如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为 L，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平面垂直，一质量

17、为 m 的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个电容为 C 的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为 h 处无初速度释放，求棒落地的时间 t 是多少？2 h ( m B2L2C )mg（答案：）9.如图所示，水平面上放有质量为 m，带电+q 的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为 ， 水平面所在位置有场强大小为 E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场。若 qE ，物块由静止释放后经过时间 t 离开水平面，求这期间滑块经过mg的路程 s。m2 g mgtBq q2BEt（答案： B2q2）10.如图所示，两条平行的长直金属细导轨 KL、PQ 固

18、定于同一水平面内，它们之间的距离为 l，电阻可忽略不计；ab 和 cd 是两根质量皆为 m 的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为 R。杆 cd 的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为 M 的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆 cd 之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为 B。现两杆及悬物都从静止开始运动，当 ab 杆及 cd 杆的速度分别达到 v1 和 v2 时，两杆加速度的大小各为多少？11.一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为

19、a1、a2，厚度可以忽略。两个表面都带有电荷，电荷面密度随离开环心距离 r 变化的规律均为 (r) 0 ， 为已知常量。r 20薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 减速转动，t = 0 时刻的角速度为0 。将一半径为 a0 (a0IbCIbIcDIc=Id【答案：A、D】2.某同学用电荷量计(能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量)测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为 S，电阻为 R 的矩形导线框 abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转 180，测得通过线框的电荷量为 Q1；将其从图示位置绕东西轴转 90 ，测得通过线框的电荷量为 Q2.该处

20、地磁场的磁感应强度大小应为（ ）RS4 1 Q 2Q 22A.RS2 1 Q Q Q 2Q 21 22C.【答案：C】 B.RSQ2 Q212RSQ2 Q Q Q211 22 D.3.半径为 R 螺线管内充满匀强磁场，磁感应强度随时间的变化率B 已知。求长为 L 的直导t体在图中 a、b、c 三个位置的感应电动势大小分别是多少？【答案：= 0 ；= L B； = R2 BL 】ab 4R2 L24 tc2 tarctg1 R4.如图所示，半径为 R 的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度 B 随时间 t 均匀增加的变化率为 k ( k 为常数），t=0 时的磁感应强度为 B0，B 的方

21、向与圆形区域垂直如图，在图中垂直纸面向内。一长为 2R 的金属直杆 ac 也处在圆形区域所在平面，并以速度 v 扫过磁场区域。设在 t 时刻杆位于图示位置，此时杆的 ab 段正好在磁场内，bc 段位于磁场之外， 且 abbcR，求此时杆中的感应电动势。【答案：（归 冗） kR2 - (BO kt)Rv 】4125.图中 L 是一根通电长直导线，导线中的电流为 I。一电阻为 R、每边长为 2a 的导线方框， 其中两条边与 L 平行，可绕过其中心并与长直导线平行的轴线 OO转动，轴线与长直导线相距 b，ba，初始时刻，导线框与直导线共面。现使线框以恒定的角速度 转动，求线框中的感应电流的大小。不计

22、导线框的自感。已知电流 I 的长直导线在距导线 r 处的磁感应强度大小为k I ，其中 k 为常量。r【答案：略】6.如图所示，均匀导体做成的半径为 R 的 形环，内套半径为 R/2 的无限长螺线管，其内部的均匀磁场随时间正比例地增大，B = kt ，试求导体环直径两端 M、N 的电势差 UMN 。【答案：U 1 kR2 (arctg2- 4 )】MN 427.如图所示，有两个平行金属导轨，相距 l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）。质量均为 m 的两金属杆 ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂直。初始时刻， 金属杆 ab 和 c

23、d 分别位于 x = x0 和 x = 0 处。假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L。今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速 v0。设导轨足够长，x0 也足够大，在运动过程中， 两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变化关系。【答案：略】8.如图所示，AB 是一根裸导线，单位长度的电阻为 R0，一部分弯曲成半径为 r0

24、 的圆圈， 圆圈导线相交处导电接触良好。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为 B。导线一端 B 点固定，A 端在沿 BA 方向的恒力 F 作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，试求此圆圈从初始的半径 r0 到完全消失所需时间 T。r 2 B 2【答案：T 0】2FR09.如图所示，在边长为 a 的等边三角形区域内有匀强磁场 B，其方向垂直纸面向外。一个边长也为 a 的等边三角形导体框架 ABC，在 t=0 时恰好与上述磁场区域的边界重合，然后以周期 T 绕其中心轴在面内沿顺时针方向匀速运动，于是在框架 ABC 中产生感应

25、电流。规定电流按 A-B-C-A 方向流动时电流强度取正值，反向流动时的取负值。设框架 ABC 的电阻为 R，试求从 t=0 到t1 T / 6 时间内的平均电流强度 I1 和从 t=0 到t2 T / 2 时间内的平均电流强度 I 2 。【答案：略】10.在如图所示的直角坐标系中，有一塑料制成的半锥角为 的圆锥体 Oab。圆锥体的顶点在原点处，其轴线沿 z 轴方向。有一条长为 l 的细金属丝 OP 固定在圆锥体的侧面上，金属丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为 B 的均匀磁场，磁场方向沿 X 轴正方向，当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为 的匀角速转动时， (1)OP 经过何处时

26、两端的电势相等？(2)OP 在何处时 P 端的电势高于 O 端？(3)电势差 UpUo 的最大值是多少？【答案：略】热学专题（一）知识点分析：AN 6.02 1023 mol1 是联系微观世界和宏观世界的桥梁，具体表现在：（1）固体、液体分子微观量的计算（估算）m分子数： N nNA MN V NA VA00每个分子的质量为： m1 M 0NA每个分子体积（分子所占空间）：V1 V0N M 0 N，其中 为固体或液体的密度AA分子直径的估算：把固体、液体分子看成球形，则分子直径3 6V1 / 3 6V0 / NAd ；把固体、液体分子看成立方体，则3 V13 V13 V0 / NAd （2）气

27、体分子微观量的估算方法物质的量n V22.4， V 为气体在标况下的体积。分子间距的估算：设想气体分子的分布均匀，每个分子平均占有一定的体积，假设3 V0为立方体，则分子间距d 3Vmol NAd 。，而每个分子所占体积V Vmol ，则分子间距为0 NA（3）扩散现象是分子的运动，布朗运动是悬浮微粒的无规则运动，是液体分子的无规则运动引起的。（4）分子之间作用力：分子间引力 f 引，斥力 f 斥及分子力 f 随分子间距 r 的变化情况如图所示。热力学第一定律当系统与外界间的相互作用既有做功又有热传递两种方式时，设系统在初态的内能E1 ，经历一过程变为末态的内能E2 ，令E E2 E1 。在这

28、一过程中系统从外界吸收的热量为 Q，外界对系统做功为 W，则1:E=W+Q。式中各量是代数量，有正负之分。系统吸热 Q0，系统放热 Q0；外界做功 W0，系统做功 W0；内能增加，1:E0，内能减少1:E0。热力学第一定律是普遍的能量转化和守恒定律在热现象中的具体表现。气体的自由膨胀：气体向真空的膨胀过程称为气体的自由膨胀。气体自由膨胀时，没有外界阻力，所以外界不对气体做功 W=0；由于过程进行很快，气体来不及与外界交换热量，可看成是绝热过程 Q=0；根据热力学第一定律可知，气体绝热自由膨胀后其内能不变，即1:E=0。如果是理想气体自由膨胀，其内能不变，气体温度也不会变化，即1:T=0；如果是

29、离子气体自由膨胀，虽内能不变，但分子的平均斥力势能会随着体积的增大而减小，分子的平均平动动能会增加，从而气体温度会升高，即1:T0；如果是存在分子引力的气体 自由膨胀后，其内能不变，但平均分子引力势能会增大，分子平均平动动能会减小，气体温度会降低，即1:T0。四个热力学过程等容过程：气体等容变化时，有 P 恒量，而且外界对气体做功W pVT 0 。根据热力学第一定律有1:E=Q。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高； 反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。Q E n CVT i V p2式中C ( Q )v E i R 。VTT2等压过程：V气体在等压过程中，有

30、T 恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自由移动。根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的热量 Q，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有W pV nRTQ nC p TE nC T i pVv2定压摩尔热容量Cp 与定容摩尔热容量CV 的关系有Cp Cv R 。该式表明：1mol 理想气体等压升高 1K 比等容升高 1K 要多吸热 8.31J，这是因为 1mol 理想气体等压膨胀温度升高 1K 时要对外做功 8.31J 的缘故。等温过程：气体在等温过程中，有 pV=恒量。例如

31、，气体在恒温装置内或者与大热源想接触时所发生的变化。理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即1:E=0， 因此有 Q=-W。即气体做等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体做等温压缩，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。V2V21V等温过程做功推导：WT PdV = nRTdV nRT ln 2绝热过程：V1V1VV1气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即 Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。pV理想气体发生绝热变化时，p、V、T 三量会同时发生变化，仍

32、遵循T 恒量。根据热力学第一定律，因 Q=0，有W E nC T i ( p V p V )v22 21 1这表明气体被绝热压缩时，外界所做的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。绝热方程（Possion 公式）： PV const推导：对绝热过程，由热力学第一定律即0 nCV dT PdVdQ dE dW 0对理想气体的状态方程PVnRT ，取微分PdV VdP nRdT比较得CV PdV CVVdp RPdV又因为有CP CV R故可得即CPPd

33、V CVVdp 0利用 Mayer 公式C C R 和 CP ，得 dV dPPV积分 dPV 0CV所以PV VP const混合理想气体状态方程（1）道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即 P P ，其中每一部分的气态方程为 PV miRT 。混合理想体Mii iii气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但 M 为平均摩尔质量，PV m RT M由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量 M 有1 mi 1iMi m M（2）混合气体的状态方程如果有n 种理想气体，分开时的状态分别为(P1V1T1)

34、 ，(P2V2T2) ，(PnVnTn )，将它们混合起来后的状态为 PVT ，那么，有 P1V1 P2V2 PnVn PVT1T2PVTnTPV 如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有 1 1T1 2 2T2P1V1T1P2V2T2绝热线：在 PV 图上，绝热线比等温线要陡等温线的斜率dP PdVV绝热线的斜率解释： P nkTdP P dVV等温过程 Pn，压强的降低只是由于体积的膨胀引起的；度的降低因素；因而气绝热过程 Pn,T，压强的降低不仅由于体积的膨胀，还因为温体体积膨胀相同体积，绝热过程压强的降低要比等温过程的多。经典例题：1.固定的气缸内由活塞 B 封闭着一定质量的气体，在通

35、常情况下，这些气体分子之间的相互作用力可以忽略。在外力 F 作用下，将活塞 B 缓慢地向右拉动，如图所示。在拉动活塞的过程中，假设气缸壁的导热性能很好，环境的温度保持不变，关于对气缸内的气体的下列论述中正确的是（ ）A气体从外界吸热，气体分子的平均动能减小B气体对活塞做功，气体分子的平均动能不变C气体单位体积的分子数不变，气体压强不变D气体单位体积的分子数减小，气体压强减小（答案：BD）2.如图所示，绝热容器的气体被绝热光滑密封活塞分为两部分 A、B，已知初始状态下 A、B两部分体积、压强、温度均相等，A 中有一电热丝对 A 部分气体加热一段时间，稳定后（ ）AA 气体压强增加，体积增大，温度

36、不变BB 气体的温度升高，B 中分子运动加剧CB 气体的体积减小，压强增大DA 气体的内能变化量等于 B 气体的内能变化量（答案：BC）3.图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”, a、b、c、d 为其四段竖直的部分，其中 a 、d 上端是开口的，处在大气中。管中的水银把一段气体柱密封在 b、c 内，达到平衡时，管内水银面的位置如图所示。现缓慢地降低气柱中气体的温度，若 c 中的水银面上升了一小段高度1:h，则（ ）Ab 中的水银面也上升1:hBb 中的水银面也上升，但上升的高度小于1:hC气柱中气体压强的减少量等于高为1:h 的水银柱所产生的压强D气柱中气体压强的减少量等于高为

37、21:h 的水银柱所产生的压强（答案：AD）4.如图所示，食盐（NaCl）的晶体是由钠离子（图中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为 58.510-3kg/mol， 密度为 2.2103kg/m3，阿伏加德罗常数为 6.01023mol-1，求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。（答案：3.9710-10m）5.如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的 p-V 图中的状态 A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态 B，已知状态 B 的压强与状态 A 的压强之比为 1/2，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，

38、则状态 B 与状态 A 的体积之比应满足什么条件？已知此3理想气体每摩尔的内能为2RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度。（答案：略）6.一汽缸的初始体积为 V0，其中盛有 2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是 3.0atm，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为 2.0atm。若让其继续做等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强。假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。（答案：略）7.自行车轮胎充足气后骑起来很轻快。当一车胎经历了慢撒气（缓慢

39、漏气）过程后，胎内的气体压强减小了 1/4，设漏出的气体占原气体的比例为 。已知漏气的过程是绝热的，不考虑气体之间的热量交换，且一定质量的气体在绝热过程中满足 pV =常量，其中 是与轮胎内气体本身有关的一个常数，求 。3 1（答案：1 ( ) ）48.贮气罐的体积为 V，罐内的气体压强为 p ，现将贮气罐经阀门与体积为 v0 的真空室相连，打开阀门为真空室充气，达到平衡后关闭阀门。然后换一个新的同样贮气罐继续为真空室（已非“真空”)充气，如此连续不断充气，直到真空室中气体的压强达到 p0（p0 d2，如图所示，管内注入质量为 M 的一大滴水。当毛细管水平放置时，整个水滴“爬进”细管内，而当毛

40、细管竖直放置时，所有水从中流出来。试问当毛细管的轴与竖直方向之间成多大角时，水滴一部分在粗管内而另一部分在细管内？水的表面张力系数是 ，水的密度为 。对玻璃来说，水是完全浸润液体。（答案：略）任何弯曲表面薄膜都对液体施以附加压强，如果液体的表面是半径为 R 的球面的一部分， 求其产生的附加压强为多大？2（答案：）R紧绷的肥皂薄膜有两个平行的边界，线 AB 将薄膜分隔成两部分（如图所示）。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线 AB 受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为 d，线 AB 的长度为 l(Ld/2)，肥皂液的表面张力系数为。（答案：T d ）设有一块由不

41、同厚度 L1 和 L2 以及不同热导率 k1 与 k2 的两层物质所构成的复合板。假定它两个外表面的温度为 T2 与 T1。如图所示。试求在热流达到稳定状态时，通过这一复合板的热量迁移率。AT2 T1 L1 k1 L2 k2（答案：）成的，它们的内径与管， SB=3.010-2cm2，度为 t1=27时，空气柱，b=3.0cm，A、B 两支不变。不考虑温度变空气的体积。U 形管的两支管 A、B 和水平管 C 都是由内径均匀的细玻璃管做长相比都可忽略不计。己知三部分的截面积分别为 SA=1.010-2cm2 SC=2.010-2cm2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。当温长为 l=30

42、cm（如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a=2.0cm管都很长，其中的水银柱高均为 h=12cm。大气压强保持为 p0=76cmHg 化时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高到 t=97时（答案：V 0.72 cm 3 ）恒定电流专题知识点分析：复杂电路的计算（1）戴维南定理：一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络来等效。应用方法：其等效电路的电压源的电动势等于网络的开路电压，其串联电阻等于从端钮看进去该网络中所有独立源为零值时的等效电阻。（2）基尔霍夫（克希科夫）定律：基尔霍夫第一定律：在任一时刻流入电路中某一分节点的电流强度

43、的总和，等于从该点流出的电流强度的总和。例如，在如图中，针对节点 P，有 I2 + I3 = I1 。基尔霍夫第一定律也被称为“节点电流定律”，它是电荷守恒定律在电路中的具体体现。对于基尔霍夫第一定律的理解，近来已经拓展为： 流入电路中某一“包容块”的电流强度的总和，等于从该“包容块”流出的电流强度的总和。基尔霍夫第二定律：在电路中任取一闭合回路，并规定正的绕行方向，其中电动势的代数和，等于各部分电阻（在交流电路中为阻抗）与电流强度乘积的代数和。（3） Y 变换：在难以看清串、并联关系的电路中，进行“Y 型 型”的相互转换常常是必要的。在如图所示的电路中同学们可以证明 Y 的结论Rc =Rb

44、=Ra =R1R3R1 R2 R3R2R3R1 R2 R3R1R2R1 R2 R3Y 的变换稍稍复杂一些，但我们仍然可以得到R1 =Ra Rb RbRc Rc Ra RbR2 =R3 =Ra Rb RbRc Rc Ra RcRa Rb RbRc Rc Ra Ra电流、电流强度、电流密度导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电

45、子。电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为 I q / t电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是 I nevSn 是金属导体中自由电子密度，e 是电子电量，v 是电子定向移动平均速度，S 是导体的横截面积。在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为 j I / S金属导体中，电流密度为 j nev电流密度 j 是矢量，其方向与电流方向一致。等效电源定理实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻 r 的串联，如图 15-1 所示，这部分电路被称为电压源。不论外

46、电阻 R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r 对外电阻 R 提供电流 I 为I R rrrR r其中 / r 为电源短路电流I0 ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源， 如图 15-2 所示。实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。如图 15-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联，网络 A 可视

47、为一电压源，等效电源电动势0 等于 a、b 两点开路时端电压，等效内阻r0 等于网络中除去电动势的内阻，如图 15-4 所示。等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的I0 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。电路欧姆定律（1）导体中的电流 I 跟导体两端的电压成正比，跟它的电阻 R 成反比。 I=U/R（2）适用于金属导电体、电解液导体，不适用于空气导体和某些半导体器件。（3）导体的伏安特性曲线:研究部分电路欧姆定律时,常画成 IU 或 UI 图象,对于线性元件伏安特性曲线是直线,对于非线性元件,伏安特性曲线是非线

48、性的。注意：我们处理问题时，一般认为电阻为定值，不可由 R=U/I 认为电阻 R 随电压大而大，随电流大而小。 I、U、R 必须是对应关系即 I 是过电阻的电流，U 是电阻两端的电压。电表的改装（1）灵敏电流表（也叫灵敏电流计）：符号为 G，用来测量微弱电流，电压的有无和方向。其主要参数有三个：内阻 Rg满偏电流 Ig：即灵敏电流表指针偏转到最大刻度时的电流，也叫灵敏电流表的电流量程。满偏电压 Ug：灵敏电流表通过满偏电流时加在表两端的电压。以上三个参数的关系 Ug= Ig Rg。其中 Ig 和 Ug 均很小，所以只能用来测量微弱的电流或电压。（2）电流表：符号 A，用来测量电路中的电流，电流

49、表是用灵敏电流表并联一个分流电阻改装而成。设电流表量程为 I ，扩大量程的倍数 n=I/Ig ，由并联电路的特点得：I R =(II ）R， R Ig Rg Rg ，g ggI Ig n 1A内阻： r RRg Rg ，R Rg n由这两式子可知，电流表量程越大，Rg 越小，其内阻也越小。（3）电压表：符号 V，用来测量电路中两点之间的电压。电压表是用灵敏电流表串联一个分压电阻改装而成。设电压表的量程为U，扩大量程的倍数为 n=U/Ug，U由串联电路的特点，得：U=UgIgR ， Ig =Ug /Rg ， R U1 R n 1 RV电压表内阻：r R Rg nRg , ggg 由这两个式子可知

50、，电压表量程越大，分压电阻就越大，其内阻也越大。（4）半值分流法（也叫半偏法）测电流表的内阻，其原理是：当 S1 闭合、S2 打开时： I g ( rg R1 ) E当 S2 再闭合时：UG UR 2 E ,1 I r ( 1 II g rg ) R E12 gg2 g2R2联立以上两式，消去 E 可得： 2I g 2R1 rgR1rgR1 Rg得： r 2R1R2R1 R2可见：当 R1R2 时， 有：rg R 2（5）非理想电表对电路的影响不能忽略，解题时应把它们看作是能显示出本身电压或电流的电阻器。用电压表测得的电压实际上是被测电路与电压表并联后两端的电压，由于电压表内阻不可能无限大，因

51、此测得的电压总比被测电路两端的实际电压小，表的内阻越大，表的示数越接近于实际电压值。用电流表测得的电流，实质上是被测量的支路(或干路)串联一个电阻(即电流表内阻)后的电流。因此，电流表内阻越小，表的示数越接近于真实值。暂态特性RL 暂态特性：对图 15-5 所示的电路，K 合上“过程”的电流 i 变化情形如图 15-6 所示。L 在两个稳态的形如图 15-12 所示。等效：初态断路；末态短路。对图 15-7 所示的电路，K 合上“过程”的电流 i 变化情形如图 15-8 所示。RC 暂态特性：对图 15-11 所示的电路，K 合上“过程”，电容器的电压 UC 变化情对图 15-9 所示的电路，

52、K 合上“过程”，电容器的电压 UC 变化情形如图 15-10 所示。C 在两个稳态的等效：初态短路；末态断路。经典例题：将电路中电势相等的点缩为一点，是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等，则需要具体问题具体分析。在如图所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求 A、B 两端的等效电阻 RAB。（答案：RAB = 3 R）8在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为 R，试求 A、B 两点之间的等效电阻RAB 。（答案：RAB = 5 R）7在图所示的电路中，R1 = 2，R2 = 4，R3 = 3，R4 = 12，R5 = 10，求 A、B 两端的等

53、效电阻 RAB。（答案：RAB = 618）145对图所示无限网络，求 A、B 两点间的电阻 RAB 。（答案：RAB = 2 R）3在如图所示无限网络中，每个电阻的阻值均为 R ，试求 A、B 两点间的电阻 RAB 。（答案：RAB = 1 25 R）在所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为 R，试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB。（答案：RAB =2 R）21在如图所示电路中，电源 = 1.4V，内阻不计，R1 = R4 = 2，R2 = R3 = R5 = 1，试用戴维南定理解流过电阻 R5 的电流。（答案：R5 上电流大小为 0.20A，方向（在甲图中）向上）由单位长度

54、电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列n=1 时，正方形网络边长为L，n= 2 时，小正方形网络的边长为 L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为 L/9。当 n=1、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？（答案：略）零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度 T=4.2K）中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度 TC=7.19K）中电流的变化。设铅丝粗细均匀，初始时通有 I=100A 的电流，电流检测仪器的精度为I=1.0mA，在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到

55、电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度 n=8.001020m3，已知电子质量 m=9.1110-31kg，基本电荷 e=1.6010-19C。（采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据）（答案： 1.4 1026 m ）如图所示，求各支路中的电流表达式。（答案：略）为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来， 已知碳的电阻率为0 碳=3.510-5m，电阻率温度系数碳=510-4-1，而铁0 铁=8.9 10-8m，铁=510-3-1，求这两棒的长度之比是多少？（答案：39.3:1）试求如图

56、所示电路中的电流。（答案：略）串内接等边三角形小一半，则框架上如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连 的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角形的边长依次减A、B 两点间的电阻为多大？（答案：略）交流电专题知识点分析：交流电的表征（1）周期和频率周期和频率是表征交流电变化快慢的物理量。一对磁极交流发电机中的线圈在匀强场中匀速转动一周，电流按正弦规律变化一周。我们把电流完成一次周期性变化所需的时间，叫做交流电的周期 T，单位是秒。我们把交流电在 1 秒钟内完成周期性变化的次数，叫做交流电的频率 f，单位是赫兹。（2）最大值和有效值交流电流的最大值Im 与交流电

57、压的最大值Um 是交流电在一周期内电流与电压所能达到的最大值。交流电的最大值Im 与Um 可以分别表示交流电流的强弱与电压的高低。交流电的有效值是根据电流热效应来规定的。让交流电和直流电通过相同阻值的电阻， 如果它们在相同时间内产生的热效应相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效 值。通常用表示交流电源的有效值, 用 I 表示交流电流的有效值，用 U 表示交流电压的有效值。正弦交流电的有效值与最大值之间有如下的关系：2 m, I I m ,U U m22当知道了交流电的有效值，很容易求出交流电通过电阻产生的热量。设交流电的有效值为 I，电阻为 R，则在时间 t 内产生的热量Q I 2 R

58、t 。这跟直流电路中焦耳定律的形式完全相同。由于交流电的有效值与最大值之间只相差一个倍数，所以计算交流电的有效值时，欧姆定律的形式不变。通常情况下所说的交流电流或交流电压是指有效值。（3）相位和相差交流发电机中如果从线圈中性面重合的时刻开始计时，交流电动势的瞬时值是e m sin t 。如果从线圈平面与中性面有一夹角0 时开始计时，那么经过时间 t，线圈从线圈平面与中性面有一夹角是 t 0 ，如图 16-2 所示，则交流电的电动势瞬时值是：e m sin( t 0 ) 。从交流电瞬时值表达式可以看出，交流电瞬时值何时为零， 何时最大，不是简单地由时间 t 确定，而是由t 0 来确定。这个相当于

59、角度的量 t 0 对于确定交流电的大小和方向起重要作用，称之为交流电的相位。0 是 t=0 时刻的相位，叫做初相位。在交流电中，相位这个物理量是用来比较两个交流电的变化步调的。两个交流电的相位之差叫做它们的相差，用 表示。如果交流电的频率相同，相差就等于初相位之差，即： (t 10 ) (t 20 ) 10 20 ， 这时相差是恒定的，不随时间而改变。两个频率相同的交流电，它们变化的步调是否一致要由相差 来决定。如果 0 ，10201221这两个交流电称作同相位；如果 180 ，这两个交流电称为反相位；若 ，我们说交流电I 比I 相位超前 ，或说交流电I 比I 相位落后 。交流电的旋转矢量表示

60、法交流电的电流或电压是正弦规律变化的。这一变化规律除了可以用公式和图像来表示外， 还可以用一个旋转矢量来表示。图 16-3 是正弦交流电的旋转矢量表示法与图像表示法的对照图，左边是旋转矢量法，右边是图像法。在交流电的旋转矢量表示法中，OA为一旋转矢量，旋转矢量 OA 的大小表示交流电的最大值Im ，旋转矢量 OA 旋转的角速度是交流电的角频率 ，旋转矢量 OA 与横轴的夹角 t 0 为交流电的相位，旋转矢量 OA 在纵轴上的投影为交流电的瞬时值i I m sin( t 0 ) 。交流电的旋转矢量表示法使交流电的表达更加直观简捷，并且也为交流电的运算带来极大的方便。交流电路（1）纯电阻电路给电阻