运筹学课件：第1章 线性规划 5-6节

1、第一章 线性规划1 线性规划问题及其模型2 线性规划问题几何意义3 单纯形法4 单纯形法计算步骤5 单纯形法进一步讨论6 应用举例1.5 单纯形法进一步讨论学习要点：1.初始基的确定-人工变量法： 两阶段法、大M法；2.单纯形法计算中的几个问题 3.单纯形法小结 单纯形法是依据可行基迭代而设计的 即从一个基可行解构造另一个使目标函数值更好的基可行解。 如何寻找第一个基可行解(an initial basic feasible solution)呢？ 初始基不明显，或者松弛变量个数比约束方程个数少的情况，问题又应该如何解决？在解决线性规划问题时会碰到下面一种情况： 单纯形法进一步讨论解决方法一：

2、通过初等行变换，变换出一组m个线性不相关的向量来组成m阶初始基矩阵。不利于计算机编程实现，因为如何确定“一组m个线性不相关的向量”是很随机的问题，手工解决比较方便，在程序上的实现就很困难。解决方法二：两阶段法和大M法(the Big M Method)。当约束方程的系数矩阵A不包含一个同阶的单位矩阵，我们就需要引入若干非负变量，又称为人工变量(an artificial variable),从而构造出一个新的线性规划问题，使其容易找出一个初始基可行解。单纯形法进一步讨论人工变量法如果约束条件全为“”，且右边常数全为非负，则引进的松弛变量就可以作为初始的基变量，得到一个初始的基础可行解。如果约束

3、条件有“=” ，右边常数全为非负，则需要加上非负人工变量，建立辅助问题。如果约束条件有“”，右边常数全为非负，则需要减去非负人工变量，建立辅助问题。单纯形法进一步讨论两阶段法：假定约束方程的系数矩阵A不包含同阶的单位矩阵加入人工变量改变目标函数初始基目标函数在可行域上有一个明显的下界所以它一定有最优解，利用单纯形法可以求解。 此为第一阶段，求解后进入第二阶段。5.1 初始基的确定：单纯形法进一步讨论引进松弛变量，使约束条件全为等式。引进人工变量，建立辅助问题。辅助问题的目标函数为各人工变量之和（仅含人工变量）。用人工变量作为辅助问题的初始基变量，用单纯形法求解辅助问题，得到辅助问题的最优解和最

4、优解的目标函数值。如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题可行域为空集，无可行解。如果辅助问题最优解的目标函数值等于0，辅助问题的最优解是原问题的初始基础可行解。将第一阶段得到的最终表除去人工变量，将目标函数行的系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表，用单纯形法求解，得到原问题的最优解。单纯形法进一步讨论为最优解在 中，人工变量 全是非基变量, 此时， 得到原线性规划问题的一个可行解, 将该可行解代入第二阶段计算。第一阶段，、 在 中，个别人工变量xn+j=0 是基变量，并且 的目标函数值 或者说明原线性规划问题没有可行解或者说明原线性规划问题的基变量 xn+j=0，该问题为

5、退化问题。单纯形法进一步讨论第二阶段，以第一阶段的结论作为原线性规划问题的初始基可行解计算。如果是在单纯形表上进行的，可以将第一阶段所得的最终表，画去所有的人工变量所在的列，将目标行的系数换成原问题的目标函数系数，来作为求解原问题的初始表即可。两阶段方法适用于所有线性规划问题的求解。单纯形法进一步讨论用两阶段方法解下面问题：加入人工变量例1单纯形法进一步讨论 0 0 0 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7x6x7 2 1 1 -1 6 1 0 1 0 1 1 2 0 -1 0 1 从而得到新问题的一个最优解 ,进而得到原问题的一个基解 .-2 0 -8 1 1 0 0-3

6、2/61/21/6 1/6 1 -1/6 0 1/6 01/32/3 4/3 0 1/3 -1 -1/3 11/3-2/3 -4/3 0 -1/3 1 4/3 0-1/3 - 1/41/4 0 1 -1/8 -1/8 1/8 1/81/2 1 0 1/4 -3/4 -1/4 3/43/81/4 0 0 0 0 0 1 1 0第一阶段结束，将 及第一行画去，添上 z 的系数，组成新的单纯形表进行求解。minz 5 0 21 0 0 x1 x2 x3 x4 x5x3x2 3/8 1/4 1/4 0 1 1/8 -1/8 1/2 1 0 1/4 -3/4 x3 x2 3/8 1/4 1/4 0 1

7、-1/8 -1/8 1/8 1/8 1/2 1 0 1/4 -3/4 -1/4 3/4 -1/4 0 0 21/8 21/8-63/83/21/2x3x1 1/4 1/2 0 1/2 1 -1/4 1/4 1 2 0 1/2 -3/2 -31/4 0 1/2 0 11/4 9/4如果原问题的系数矩阵中已经包含k (km) 个单位列向量，只要再引入m-k 个人工变量即可。利用两阶段法求解可以避免计算机在求解过程中发生错误，特别是寻找线性无关的向量组时的错误，是单纯形法的一种改进。注：单纯形法进一步讨论若原问题 目标函数要求 max z=CX，则新问题的目标函数应为若原问题目标函数为 min z=

8、CX，则新问题的目标函数应为在构造新问题的目标函数时，应注意目标函数最大化或最小化之区别。大M法也是处理人工变量的常用方法，主要思想是为了使人工变量不对原问题的目标函数产生影响，需要对人工变量引入一个“充分大的数”M作为惩罚因子。大M法单纯形法进一步讨论没有单位矩阵，不符合构造初始基的条件，需加入人工变量 。人工变量最终必须等于0才能保持原问题性质不变。为保证人工变量为0，在目标函数中令其系数为-M。M为无限大的正数，这是一个惩罚项，倘若人工变量不为零，则目标函数就永远达不到最优，所以必须将人工变量逐步从基变量中替换出去。如若到最终表中人工变量仍没有置换出去，那么这个问题就没有可行解，当然亦无

9、最优解。 单纯形法进一步讨论试用大M法求解线性规划问题.解 引入松弛变量 x4，x5 标准化得：例2单纯形法进一步讨论取 作为初始可行基，列出单纯形表再引入人工变量 、 得：单纯形法进一步讨论 -3 1 1 0 0 M M XBb x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x4 x6 x71131 1 -2 1 1 0 0 0 -4 1 2 0 -1 1 0 -2 0 1 0 0 0 1-4M-3+6M1-M1-3M 0M00113/21x4 x6x3-2 0 1 0 0 0 110100-1-231000-11-2101000-1-M-11-M M3M-11单纯形法进一步讨论 -3 1 1

10、0 0 M M XBb x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x4 x6 x31011 3 -2 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 11-1-M -1 1-M 0 0 M 0 3M-1 x4 x2 x30 1 0 0 -1 1 -21-2 0 1 0 0 0 110301-22-5120 0 0-11M-1M+1-24单纯形法进一步讨论 -3 1 1 0 0 M M XBb x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x4 x2 x31211 3 0 0 1 -2 2 -5 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 14-2 -1

11、 0 0 0 1 M-1 M+1 所以最优解 X*=（4,1,9,0,0,0,0) T，最优值 z = -2. x1 x2 x31 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/30 1 0 0 -1 1 -20 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/34190 0 0 1/3 1/3 M-1/3 M-2/32单纯形法进一步讨论5.2 单纯形法计算中的几个问题 1目标函数极小化时解的最优性判别.有些书中规定求目标函数值的极小化作为线性规划的标准形式，这时只需以所有检验数j0 作为判别表中解是否最优的标志.单纯形法进一步讨论按最小比值 来确定换出基的变量时，有时出现存在两个以上相同的最小比值，从而使

12、下一个表的基可行解中出现一个或多个基变量等于零的退化解。退化解的出现原因是模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应同一顶点。当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的循环，尽管可能性极其微小。为避免出现计算的循环，1974年勃兰特(Bland)提出了一个简便有效的规则： (1)当存在多个j0 时始终选取下标值为最小的变量作为换入变量； (2)当计算 值出现两个以上相同的最小比值时，始终选取下标值为最小的变量作为换出变量。 2退 化单纯形法进一步讨论在单纯形法迭代原理中，介绍了用单纯形法求解时如何判别解是否是唯一最优解、无穷多最优解和无界解。当线性规划问题中添加人工变量后，无论用两阶段法还是大 M

13、法，初始单纯形表中的解因含非零人工变量，故实质上是非可行解。当求解结果出现所有j0时如基变量中仍含有非零的人工变量(两阶段法求解时第一阶段目标函数值不等于零)，表明问题无可行解。3无可行解的判别单纯形法进一步讨论 1对给定的线性规划问题应首先化为标准形式，选取或构造一个单位矩阵作为基，求出初始基可行解，列出初始单纯形表.2 .单纯形法计算步骤的框图为： 5.3 单纯形法小结单纯形法进一步讨论标准化，添加人工变量列出初始单纯形表单纯形法计算步骤框图j 0?基变量中含非零的人工变量无界解N确定换出变量x l ,以kl为主元作基变换NYY确定换入变量x kk=maxj | j 0Y无可行解N存在非基

14、变量检验数位零Y无穷多最优解N惟一最优解是否有ik0单纯形法进一步讨论单纯形法进一步讨论掌握Excel软件求解线性规划一、什么是规划求解加载宏？ 规划求解加载宏（简称规划求解）是Excel的一个加载项1，可以用来解决线性规划与非线性规划优化问题。规划求解可以用来解决最多有200个变量，100个外在约束和400个简单约束（决策变量整数约束的上下边界）的问题。可以设置决策变量为整型变量。 规划求解加载宏的开发商是Fronline System公司。用户通过自定义安装MS-Office所使用的是标准版本规划求解加载宏，Fronline System公司同时提供增强的Premium Solver工具。

15、 规划求解工具在Office典型安装状态下不会安装，可以通过自定义安装选择该项或通过添加/删除程序增加规划求解加载宏。1加载项的功能是为Microsoft Office 提供自定义命令或自定义功能的补充程序二、怎样加载规划求解加载宏？加载规划求解加载宏的方法如下：打开“工具”下拉列菜单，然后单击“加载宏”，打开“加载宏”对话框。在“可用加载宏”框中，选中“规划求解”旁边的复选框2，然后单击“确定”按钮。 2如果“规划求解”未列出，请单击“浏览”进行查找。如果出现一条消息，指出您的计算机上当前没有安装规划求解，请单击“是”用原Office安装盘进行安装。单击菜单栏上的“工具”。加载规划求解后，“

16、规划求解”命令会添加到“工具”菜单中。 三、怎样使用规划求解加载宏求解数学规划？ 规划求解加载宏是一组命令构成的一个子程序，这些命令有时也称作假设分析3工具，其功能是可以求出线性和非线性数学规划问题的最优解和最优值。3该过程通过更改单元格中的值来查看这些更改对工作表中公式结果的影响。例如，更改分期支付表中的利率可以调整支付金额。使用规划求解加载宏求解数学规划的步骤 首先，在Excel工作表中输入目标函数的系数向量、约束条件的系数矩阵和右端常数项（每一个单元格输入一个数据）； 其次，选定一个单元格存储目标函数（称为目标单元格），用定义公式的方式在这个目标单元格内定义目标函数； 再次，选定与决策变

17、量个数相同的单元格（称为可变单元格），用以存储决策变量；再选择与约束条件个数相同的单元格，用定义公式的方式在每一个单元格内定义一个约束函数（称为约束函数单元格）； 最后，点击下拉列菜单中的规划求解按钮，打开规划求解参数设定对话框（如下图所示），完成规划模型的设定模型设定方法如下：（1）设定目标函数和优化方向：光标指向规划求解参数设定对话框中的“设置目标单元格”提示后的域，点击鼠标左键，然后选中Excel工作表中的目标单元格。然后根据模型中目标函数的优化方向，在规划求解参数设定对话框中的“等于”一行中选择“最大值”或“最小值”； （2）设定（表示决策变量的）可变单元：光标指向规划求解参数设定对话

18、框中的“可变单元格”提示后的域，点击鼠标左键，然后选中Excel工作表中的可变单元组。可以点击“推测”按钮，初步确定可变单元格的范围，然后在此基础上进一步确定；（3）设定约束条件：直接点击规划求解参数设定对话框中的添加按钮，出现如下添加约束对话框： 先用鼠标左键点击“单元格引用位置”标题下的域，然后在工作表中选择一个约束函数单元格，再点击添加约束对话框中向下的箭头，出现=，int和bin五个选项，根据该约束函数所在约束方程的情况选择，其中int和bin分别用于说明整型变量和01型变量。选择完成后，如果还有约束条件未设定，就点击“添加”按钮，重复以上步骤设定约束条件，设定完所有约束条件后，点击确

19、定完成约束条件设定，回到规划求解参数设定对话框。（4）设定算法细节：点击规划求解参数设定对话框中的“选项”按钮，出现如下规划求解选项对话框。选择完成后点击确定按钮回到规划求解参数设定对话框。（5）求解模型：完成以上设定后，点击规划求解参数设定对话框中的“求解”按钮，将出现如下求解结果对话框。 根据需要选择右边列出的三个报告中的一部分或全部，然后点击确定按钮就可以在Excel内看到求解报告。 线性规划应用举例 应用线性规划解决经济、管理领域的实际问题，最重要的一步是建立实际问题的线性规划模型。 这是一项技巧性很强的创造性工作，既要求对研究的问题有深入了解，又要求很好掌握线性规划模型的结构特点，并

20、具有对实际问题进行数学描述的较强的能力。要求解的问题的目标能用数值指标来反映，且为线性函数；为达到这个目标存在多种方案；要达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些条件可用线性等式或不等式描述.一般来讲，一个经济、管理问题要满足下列条件，才能建立线性规划的模型：合理利用材料问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。 数学规划的建模有许多共同点，要遵循下列原则： (1)容易理解。建

21、立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。 (2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。 (3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司 机和乘务人员数如下： 人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，

22、又配备最少司机和乘务人员?目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 解：设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型：约束条件： x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0售货人员需求统计表时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28 某百货商场售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货员充分休息，售货员每周工作5天，休息2天，并要求休息的2天是连续

23、的，问：应该如何安排售货员的作息时间，既满足工作需要，又使配备的售货员人数最少？【解】 设xj为星期j开始休息的人数（j=1,2,，分别对应星期一、二、三、四、五、六、日）.目标是要求售货员的总数最少.因为每个售货员都工作5天，休息2天，所以只要计算出连续休息2天的售货员数，也就计算出了售货员的总数。这里可以把连续休息2天的售货员按照开始休息的时间分成7类，各类的人数分别为 xj （j=1,2,，），即有目标函数： 再按照每天所需售货员的人数写出约束条件. 例如星期日需要28人，商场中的全体售货员中除了星期六和星期日开始休息的人外都应该上班，即有约束条件同理有因xj （j=1,2,，7）表示人

24、数，故有 xj （ j=1,2,，7） ，且为整数 综上得问题的线性规划模型为：计算结果： 也就是说该商场至少需要售货员36人。他们的的休息安排为：星期一 12人；星期三 11人；星期五 5人；星期日 8人。生产计划问题日期： 1 2 3 4 5 刀具数：120 85 160 145 300 某车间在每个生产周期5天所需要的某种刀具，每一把刀具的成本为0.6元，用过的刀具送到机修车间研磨，每把刀具需花费0.20元。刀具每天用过之后，如果立即送去研磨，两天后可以磨好送回，供当天的需用，第5天后，刀具应全部换新。每周期开始时，该车间没有任何刀具。车间每天所需刀具数目如下表所示，问这个车间需要多少刀

25、具才能应付需要，而成本又最低？试建立其线性规划模型。分析：问题要确定的是每期5天需要新刀具的总数，等价于要确定每天所需用的新刀具数。考虑到刀具用过后，可送去研磨，两天后送回供第3天使用。设决策变量 xi ( i =1,2,3,4,5)为第 i 天使用的新刀具， yj ( j =1,2,3)为第 j 天送去研磨的刀具数。由于刀具所花费的成本是由两部分组成：新刀具总数的成本0.6(x1+x2+x3+x4+x5)送去研磨的刀具总数所需费用0.2(y1+y2+y3)因此，目标函数所要求的成本最低：minZ= 0.6(x1+x2+x3+x4+x5) +0.2(y1+y2+y3)由于送去研磨的刀具第3天才

26、能使用，所以第1，2天所使用的只能是新刀具，即x1 =120 x2 =85从第3天起，每天使用的刀具可以是新的，也可以是磨好后送来回的，所以有：x3 + y1 =160 x4 + y2 =145x5 + y3 =300在每期的头3天送去研磨的刀具数应满足： y1120 y285+(120-y1) y3160+(120-y1)+(85-y2)每天使用新刀具 xi 和送去研磨的刀具数 yj 都是非负的整数，即：xi 0, yj 0,且均为整数.日期刀具数1120285316041455300合理下料问题 某工厂生产某一种型号的机床，每台机床上需要2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根，2根，

27、1根。这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4m, 如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？试建立其线性规划模型。对于每一根7.4m长的钢材，可有若干种下料方式把它截取成我们所需要的轴，比如要在7.4m长的钢材上截取2根2.9m的轴和1根1.5m的轴,合计用料2.92+1.5=7.3m残料则为0.1m。B1B2B3B4B5B6B7B8需要量2.9m211100001002.1m002121302001.5料0.100.30.90.20.81.11.4现把所有可能的下料方式 列于下表中:问题所要确定的是每种下料方式 应各用多少根7.4m的圆钢。设x

28、1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8分别为按B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8 方式下料的圆钢根数。目标是使总的下料根数最少,即minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8由于每台机床所需不同长度的轴的根数是确定的，因此生产100台机床所需2.9m的轴100根，2.1m轴200根，1.5m的轴100根。因此所截下的2.9m长的轴的总数不少于100根,即满足约束条件2x1+x2+x3+x4100所截下的2.1m长的轴的总数满足约束条件2x3+x4+2x5+x6+3x7200所截下的1.5m长的轴的总数满足约束条件x1+3x2+x4+2x5+3x6+4x8100B1

29、B2B3B4B5B6B7B8需要量2.9m211100001002.1m002121302001.5每种下料方式 的圆钢根数应满足非负要求,且为整数,即x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x80且为整数所以得到数学模型： 有一艘货轮,分前,中,后三个舱位,它们的容积与最大允许载货量如下表所示,现有三种货物待运,已知有关数据列于下表,又为了航运安全,要求前,中,后舱实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系.具体要求前,后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%,前后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A,B,C各多少件,运货收入为最大?试建

30、立这个问题的线性规划模型。载货问题 前 舱 中 舱 后 舱最大允许载重量(t)容积(m3) 2000 4000 3000 5400 1500 1500商 品 数量(件)每件体积(m3/件)每件重量(t/件)运价(元/件) A B C600100080010578651000700600 解：因为A,B,C三种商品在货轮的前,中,后舱均可装载,令i=1,2,3分别代表商品A,B,C,j=1,2,3分别代表前,中,后舱,决策变量 xij为装于j 舱位的第i种商品的数量(件)商品A的件数为x11+x12+x13,即装于前,中,后舱的商品A的件数之和, 商品B的件数为 x21+x22+x23商品C的件

31、数为x31+x32+x33为使运费总收入为最大,目标函数为 maxZ=1000(x11+x12+x13)+700(x21+x22+x23) +600(x31+x32+x33)前,中,后舱位载重限制为： 前,中,后舱位 体积限制为：A,B,C三种商品数量限制为：根据各舱实际载重大体应保持各舱最大允许载重量的比例关系，且前,后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前,后舱之间不超过10%,可得舱体平衡条件为：问题的线性规划模型为 靠近某河流有两个化工厂。流经工厂1的河流流量为每天500万m3。有一支流是200万m3/日，位于工厂1与工厂2之间。工厂1每天排放工业污水2万m3，工厂2为1.4

32、万m3。工厂1的污水在到达工厂2之前有20%可以自然净化。要求河流中的含污比不得超过0.2%。工厂1处理污水成本为1000元/ 万m3，工厂2为800元/ 万m3。问：在满足环保条件的前提下，两个工厂各自处理多少污水可以使得总费用最少？污水排放问题解：设工厂1处理 x1 万m3 ，工厂2处理 x2 万m3 目标为：约束条件：工厂1到工厂2之间：工厂2之后：自然条件：表 市场调查表班级班级学生数配备教师数硬件建设费（万元）教师年薪（万元）初中502.0281.2高中402.5581.6办学规模问题 某人准备投资1200万元办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组

33、数据，如下表所示。根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书费、办公费外，初中每个学生每年可收取600元，而高中每个学生每年可收取1500元。因生源和环境等条件限制，办学规模以2030个（含20与30）班为宜。教师实行聘任制，初、高中的教育周期均为3年。请你合理地安排招生计划，使年利润最大。问：大约经过多少年可以收回全部投资？即.于是此问题的线性规划模型为解得最优解代入 中得解 设初中编制班数为x,高中编制班数为y,又设年利润为 f , （单位：万元），那么 故学校的最优规模和招生计划分别为最优规模：初中18个班，高中12个班；招生计划：第1年初中招生6个班约300

34、人，高中招生4个班约160人。后每年按此计划招生。 设经过n年可收回投资。第1年利润为第2年利润为 211.6=23.2(万元);以后每年的利润均为34.8万元.故依题意应有解得 (年).即约经过36年可以收回全部投资. 某投资人在今后3年内有A,B,C,D共 4个投资项目，项目A在3年内每年初投资，年底可获利润20%，并可将本金收回；项目B在第1年年初投资，第2年年底可获利润60%，并将本金收回，但该项目投资不得超过5万元；项目C在第2年初投资，第3年底收回本金，并获利润40%，但该项目投资不得超过3万元；项目D在第3年初投资，于该年底收回本金，且获利润30%，但该项目投资不得超过2万元.该

35、投资人准备拿出6万元资金，问如何制订投资计划，使该企业在第3年底，投资的本利之和最大？投资问题【解】 这是一个连续投资问题。设决策变量xij为第j年投资到第i 个项目的资金(i= 1,2,3,4,分别对应于项目A,B,C,D；j=1,2,3 分别对应于投资年份)，见下表。 表 投资项目投资机会项目名称 第1年年初 第2年年初 第3年年初Ax11x12x13Bx21Cx32Dx43下面分析每年资金的使用情况并建立线性规划模型.第1年初，有A, B两个项目，企业只能提供6万元资金，故有:.项目B不得超过5万元，有 第2年初，有A,C两个投资项目.此时第1年初投资到项目A的资金已全部收回，本利和为 .这些资金可用于第2年的投资，而且要求 于是； 第3年初，第1年初投资到项目B的资金全部收回，本利和为 ;第2年初投资于项目A的资金也全部收回，本利和为以上两笔资金可供该年继续投资.第3年内还有A, D两个项目的投资，可得，而且要求 第3年底，到期把所有本利和收回.所能收回的资金有第2年初投资到项目C的本利和 ，第3年初投资到项目A的本利和 及投资到项目D的本利和 ，则第3年底获得的本利和为 ;将上述目标函数和约束条件整理后即可得出该