电子测量：第七章 测量误差分析与数据处理

1、第七章 测量误差分析与数据处理 测量是为确定被测对象的量值而进行的实验过程。被测量的真实大小称为真值。在不同的时、空条件下，被测量的真值往往是不同的；而又是客观存在的确定数值。 在测量中，通过实验的方法求被测量的真值时，由于对客观规律的局限性和其它原因，会使测量结果与真值不同，该差别就是测量误差。 测量的价值取决于测量的准确程度。当误差超过一定程度，测量就变得毫无价值，甚至带来很大危害。对测量误差的控制是衡量测试技术水平乃至科技水平的标志。 掌握一定的误差理论和数据处理知识，是科技工作者的基本素质之一。研究误差理论的目的，就是要根据误差的规律，合理的设计和组织实验，减小测量误差，确切地评价测量

2、结果中误差的大小，以便得到科学的结论。1本章主要内容： 测量误差: 系统误差；恒定系差；累进性及周期性系差 ；难于消除； 粗大误差：明显偏离了真值的测量数据，用莱特准则（3) 等予以剔除。 随机误差：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的 绝对值和符号以不可预测的方式变化着的误差 称为随机误差。在多次测量中服从统计规律， 据有单峰性、有界性、对称性、抵偿性等四大 特性。据数理统计的有关原理和实践证明，很 多测量结果的测量误差服从正态分布，也有一 些服从均匀分布或其它分布2随机误差处理方法测量 真值 误差 无法得到 离散程度 无限次测量的极限值数学期望 标准偏差 用有限次测量值近似无限值M(x

3、)=M(x),M(xi)=M(x) 总体（平均值）期望之和=和之期望方差之和=和之方差n 估计的一致性-无偏性估计值(x)、 ()正态分布依概率收敛于数学期望3贝塞尔公式平均值标准偏差估值剩余误差代数和为零平方和最小分散程度估值替代真值M(x)替代的可信性4置信概率置信区间M(X)xi一致性系数C区间C(x)由多次（组）测量到单次（组）测量t分布（正态分布的特例）设：由ta替换系数c从有限次测量不能得到M(x)，(x)的确切数值，可由t分布求得M(x)处于区间（ )的置信概率问题不服从于正态分布5选择不同的区间剔除巨差莱特准则 （3准则）当n较大时，如肖维纳准则测量次数很小时，莱特准则不可靠，

4、据n值查表求a/，得a,当格茹布斯准则据数理统计方法推出，概率含义明确，比较科学。查表得Ka，当：该数据应剔除测量结果数据处理6绝对误差的表示往往不能确切地反映测量的准确程度。例：测量两个频率一、什么是测量误差 测量误差：测量结果与被测量真值的差别 通常可分为绝对误差和相对误差两项（一）绝对误差（又称绝对真误差，表示为 ） 1. 精密的仪器-替代真值 2.算术平均值-替代真值 测量值 3.理论给出或计量学作出规定-真值（理想值） 修正值:定义:与绝对误差大小相等,符号相反的量为修 正值C , 即 修正值通常是在校准仪器时给出，对测量结果进行修正。 被测量的真值被测量的给出值绝对误差x07（二）

5、相对误差 是绝对误差与真值的比值 , 示值相对误差 在误差较小时作近似计算, 含有误差。 分贝误差 相对误差的对数表示。 真值 测量值 分贝误差 例：用图中(a)、(b)两种电路测电阻 上的电压和电流,若电压表的内阻为 ,电流表的内阻为 ,求测量值 受电表影响产生的绝对误差和相对误差,并分析所得结果.。电压或电流的传输函数为20lg-；是功率传输函数时为10lg-（有正负）8(a)(b)IIUU低阻测量解、设被测电阻真值为 对图(a) 给出值 绝对误差 相对误差高阻测量9对图(b) 给出值 绝对误差 相对误差讨论. (1).对(a)图 时误差 小时,低阻测量时用图(a) 对(b)图 时误差 大

6、时,高阻测量时用图(b) (2).对(a)图 测量不受 RI 影响，表达式中不含有RI项 对(b)图 测量不受 RV 影响，- RV-.相对误差=分数法=百分法=千分法=1000(b)IU方法误差10 (三)引用误差(满度相对误差) 为了计算和划分电表准确程度等级的方便而定义 引用误差：绝对误差仪表的量程（满刻度值）电工仪表根据引用误差大小分为七级： 表示引用误差不超过的百分数 。 例：某表等级为S、满读值是Xm，被测量的真值是Xo则 绝对误差 相对误差11二、测量误差的分类 ： （古典误差理论） 系统误差、随机误差和粗大误差三大类 。 (一)系统误差 定义：对同一个被测值在相同条件下进行重复

7、测量、误差的绝对值和符号（大小和方向）不变，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差。 （1）恒定系差(又称恒差)例2：预测一10伏左右电压，有表一150伏、1.5级，表二15伏、2.5级，应选哪表？ 解：表一 表二 故应选表二。 根据被测量的大小，选择兼顾满度值和精度。12 误差的绝对值和符号在一定条件下保持不变的误差 （2）变值系差 误差的数值和符号在一定的条件下，按某一确定的 规律变化。根据其变化规律又可分为三种 1）累进性系差：在测量过程中误差数值逐渐变化的系统误差（电池充放电） 2）周期性系差：在测量过程中误差数值周期性变化的系统误差。恒温箱随环境温度变化而周期性变化。 3）按复杂规

8、律变化的系差：尽管误差变化规律复杂， 重复测量仍有重复性。13 （二）随机误差 1定义在实际相同的条件下多次测量同一量时，误差 的绝对值和符号以不可预定的方式有时大(小)，有时为负(正)变化着的误差称为随机误差。（没规律、不能预先确定） eg. 对某一频率等精度测量10次，得下表；测量序号i 测量结果Xi(MHZ) 测量序号i 测量结果Xi(MHZ) 1 5.000032 6 5.000029 2 5.000029 7 5.000030 3 5.000030 8 5.000033 4 5.000019 9 5.000027 5 5.000031 10 5.000028 表中代表的随机误差与随时

9、间按复杂规律变化的系统误差有着本质的区别。无规律。只有通过大量观测，才能确定其统计规律。142.随机误差的特点:在多次等精度测量中，随即误差体现了如下特性： 有界性；（绝对值不会超过一定界限） 对称性；（正负值出现的几率相等） 具有抵偿性。（当测量次数N趋于无穷时，算术平均值为零）AXn上界实际值(无系差)下界15 (a) (b) (c)(a)弹着点很分散 -(b)弹着点很集中但偏向一方- -(c)弹着点集中靶心-随机误差的表征： 表现了测量结果的分散性，在误差理论中，经常用精密 度(PRECISION)一词来表征随机误差的大小。 正确度：当系统消除了粗大误差和随机误差的影响后，可以用系统误差

10、=M(x)-A表示测量的正确性. 精密度：用来表示测量结果中随机误差的大小程度。精度 准确度：是测量结果中系统误差和随机误差的总和，表示测量结果与真值的一致程度。亦称精确度。16（三）粗大误差 粗大误差又称粗差、巨差或差错。它是指那些在一定条件下测量结果显著地偏离其实际值时所对应的误差。 产生原因和消除方法： 1）测量方法不当：测量仪器输入阻抗的负载效应等 2）随机因素影响，如环境强躁声等 3）测量人员的粗心下图是三种误差的相互关系示意图17A:实际值（真值）M(x):数学期望，其定义为：Xi:第i次测量示值。Xk:含有粗大误差的测量示值，应剔除。：系统误差，其定义为 =M(x)-A ：随机误

11、差，其定义为 i=Xi-M(x) 因此,测量绝对误差为18当=0时,则此条件见下图 系统误差和随机误差的特点：规律性：尽管非常复杂；仍有规律可循。系统误差规律更难 于掌握消除方法：系统误差没有比较有效的方法随机误差可用统计方法19 7.2 随机误差的分析 （忽略系统误差） 一、随机误差的统计特性 定理：根据概率理论的中心极值定理可知，如果被研究的随机变量是由大量互相独立、分布规律是任意的随机变量共同作用的结果。而其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则一般可以认为这个随机变量服从正态分布，即高斯(Gauss)分布 。 测量中随机误差的分布及在随机误差影响下，测量数据的分布大多接近于服从正态

12、分布。 20这时测量随机误差及测量数据分布的概率密度分别为 随机误差 X测量值 测量值分布均方差 MxX的数学期望21正态分布曲线的特性误差方程 与X的分布形状相同，坐标差M(x),分散程度一样，标准偏差也完全相等。可讨论一个。 22-6 -4 -2 0 2 4 6X集中，精密度高精密度低，X分散结论：如下页 随机误差分布成轴对称；标准偏差小，峰点高，几率大， X集中，精密度高； -大，-低，-小，-分散，-低；23由图可见，按正态分布的随机误差具有如下特性： 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同对称性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大 单峰性 在一定测量条件下，绝对值很大

13、的误差出现的概率近于零，亦即可以认为误差的绝对值实际上不超过一定界限有界性 从对称性可以推出，当n时，正负误差相互抵消，则各误差 的代数和随着测量次数n的无限增加而趋于零。抵偿性上述四个特点，有时也称为随机误差的四个公理。须注意的是： a、对随机误差作概率统计处理时， =0 b、随机误差不可能做逐个消除地技术性处理。24 二、数学期望和算术平均值 1、 数学期望：M(x) 如果等精度测量某一被测量n次，所得测量值 ,该被测量的算术平均值为当测量次数n 时，平均值 的极限就是测量值的数学期望 25 算术平均值的意义： 在进行等精度测量时，对真值为A的物理量进行 次独立的测量，测量值为 其随机误差

14、分别为 ，虽然其中任意一次测量值对它的数学期望都有一定的偏离，而且偏离的大小和方向没有规律。但是从统计的观点看，这一系列测量中的随机误差分布以及在随机误差影响下测量数据的分布是完全确定的。即 一定。则各次测量应有相同的数学期望和标准偏差。既26 n 次测量值平均值的数学期望:单次测量=根据概率论中关于“ n 个随机变量之和的数学期望等于各个随机变量的数学期望之和”272、有限次测量时测量值数学期望的估计 若用 作为未知参数 的估计值，判断这种估计值是否恰当。最常用的有两个原则，即估计的一致性和无偏性。 当样本容量 无限增大，若估计值 依概率收敛于 ，则称 为 的一致估计值。 若估计值 的数学期

15、望等于 ，则称 为 的无偏估计值，这 种估计叫无偏估计。因此我们把作为的估计值是符合这两个原则的即符合估计的一致性给定值28 又所以：算术平均值 可作为最后的测量结果，并称为最佳估计值。3、剩余误差 各次测量值与算术平均值之差称为剩余误差两个性质： 剩余误差的代数和等于零。（可检验 是否正确） 剩余误差的平方和为最小。即（算术平均之期望等于被测量x之期望）29三、标准偏差的计算随机误差离散程度的表示方法 1、测量数据组中某单次测量的标准偏差 标准偏差的定义：对某一量进行多次等精度测量，测量值为 ，当n时，测量值与数学期望之差的平方取统计平均后再开平方所得值x)即为标准偏差。 称为方差。 的符号

16、可以是“+”或是“-”，取其平方使其负值变为正值，使得较大 的作用更明显。从统计学的观点看；只要系统、条件、被测量不变，那么该系列测量具有相同的数学期望和标准偏差。()()()()XXXXnssss=L2130 2、算术平均值的标准偏差 在有限次等精度测量条件下，如果测量分为m组，每组测量n次，共得m个算术平均值 、 。但它们并不相同，也是随机变量。因而也有一定的分散性，其分散性用算术平均值的标准偏差 来评价。因是等精度测量，所以具有相同的数学期望和标准偏差： 当n为有限次数时，则用标准偏差估值代替标准偏差。所以算术平均值的标准偏差估值为 测量值平均值的方差31上式说明： 次测量值平均值的方差

17、比总体或单次测量的方差小n倍，或者说 比标准偏差 x) 小 倍。物理意义：若被测量的总体中，各测量值由于随机误差的影响，分布在M（x）附近，分散的程度可以用 x) 来描述。由于在平均过程中随机误差相互抵消，所以x 的分布相对集中了，既 x) 比 x) 变小了。（P39例5）3、用有限次测量数据估计测量值的方差-标准偏差的估值贝塞尔公式自由度证明见P36-37贝塞尔公式是用有限次测量值估计方差的公式；广范应用于科研当中，较好的计算器都有 按键，用符号S表示。通过按键输入几个数据，即可算出X及 的值。32用剩余误差表示算术平均值的标准偏差的估值为：在n次等精度测量中算术平均值的标准偏差估值 比单次

18、测量的标准偏差估值小 倍。当n愈大时，则 愈小，测量的精密度愈高。估计值愈接近实际值 / （= ）值随n增大而下降。但当n10以后， / 值减小变得缓慢，又因测量次数n愈大，则测量时间愈长，这样就愈难以保证等精度的测量条件，故一般n取812较为适宜。 n 取多大，一方面取决于测量精密度的要求，一方面还要保证测量条件不变（温度、电源电压等）33 四、极限误差的确定与粗大误差的判别 1、置信概率与置信区间xM(x)c(x)c(x)X1 C(x)x2x1x3减小c(x)可剔除异常数据M(x) X 通过以前的方法求得数学期望和标准偏差以后，就可以讨论置信问题。 为与通常意义上的概率相区别而称为置信概率

19、。当知道了某被测量的分布曲线后，就希望知道测量数据处于m(x)附近的某区间内的可能性（概率）有多大；或知道多次测量的标准偏差，而根据被测值估计其数学期望在什麽范围（区间）内。 测量值x处于区间m(x)c(x)的概率与m(x)处于区间xC(x)的概率是相等的。 置信概率与置信区间总是联系在一起的。明确一方才能讨论另一方。34 从数学上讲M(x)-C (x)xM(x)+C (x) 与 X-C (x)M(x)x+C (x)是完全等价的。测量数据的概率密度:35于是：置信概率：描述测量值的误差处于某一范围内的可靠程度，用 Pc表示。置信区间：置信概率的相应误差范围的值。0 求概率Pc既是求正态分布曲线

20、在对称区间的积分，即概率密度曲线在对称区间-c,c内的面积。 选择不同的系数，就有不同的区间宽度，对应不同的面积，既不同的概率。从附录1正态分布在对称区间的积分表A (P118)，可由不同的系数，查到对应的概率；根据不同的概率，就可以查到相应的系数C,确定相应的区间。置信概率36eg:已知某被测量的测量值服从正态分布,测量中系统误差可以忽略。分别求出置信区间为真值附近的三个区间Xo(x), Xo2(x), Xo3(x)时的置信概率。 解：Xo=M(x),C=1 . 2. 3 经查表，得置信概率为 P|X-Xo|(x)=P|Z|1=68.3% P|X-Xo|2(x)=P|Z|2=95.5% P|

21、X-Xo|3(x)=P|Z|3=99.73% 超出此范围的概率=1-Pc：表示测量可靠性， 称置信水平。37C=1 C=2 C=3 查阅误差函数表，可求出在给定区间内出现的概率，如图阴影区域。其曲线数据如下：C=1 P- + =P| =0.682689C=2 P- 2+ 2=P| 2=0.954500C=3 P- 3+ 3=P| 3=0.997300C=4 P- 4+ 4=P| 4=0.9999370说明:当系数为1时，置信水平约为1/3，既约有2/3的测量数据可能在区间内，1/3的数据落在区间外。38 由此可知，一组等精度测量数据中，大约有68.3%的误差值不超过，绝对值小于2 的误差约占9

22、5.5%，绝对值小于3的误差约占99.7%。 如能求出一组等精度测量数据的标准偏差值，就可给出任一次测量数据大致不会超出的误差范围。这个误差范围称为:C置信因数，取决于分布律 和置信概论误差极限39 eg2.已知某电压的测量中不存在系统误差。测量值属于正态分布，电压的真值Vo=10V,测量值的标准偏差(v)=0.2V,求测量值出现在9.7V-10.3V之间的置信概率。解：由于测量中不存在系统误差，真值Vo等于数学期望M(v),由题可知置信区间在Vo附近的范围。 C(v)=10.3-10=10-9.7=0.3V 则系数 查附录I表A可得置信概率： P9.7VV20,t分布和正态分布曲线接近, n

23、时,t分布与正态分布完全相同。K20,有限次测量，t分布更符合实际。采用t分布可使置信区间估计值更精确。可认为t分布中包括了正态分布，正态分布是t分布中的一个特例。由t分布概率密度，可用积分方法求其概率： P47例9 434、有限次测量的单次测量值极限误差的确定。 当测量次数n20时，其t分布接近正态分布，故可运用正态分布求得其t取值t=3,即按正态分布的Pc=99.73%取t值。 被测量实际值可以表示为445、粗大误差的判别准则: 根据随机误差的第三条公理“有界性” 下面介绍两种常用的判别准则： 莱特准则 3准则 定义：假设对某量进行n次等精度测量得 ,其剩余 当其中 则认为测量值 是坏值，

24、应给予剔除。上述判断法称为莱特准则，也称3准则。45格茹布斯(Grubbs)准则:根据数理统计方法推出，含义明确、较科学。 在n次等精度测量中，如果某个测量值Xk的剩余值Vk则认为Xk是坏值，应给予剔除。系数 G除包含n外，还给出置信概率，使用更加方便。参见附录三(P123)46 五、随机误差的均匀分布-正态分布之外的一种最主要分布 均匀分布的特点：在其分布范围内，测量值或测量误差出现 的概率密度相等。 仪器最小分辨力限制引起的误差; 数字显示仪器的 个字；四舍五入处理； 对误差分布并不了解，只知大 致范围时。分辨力测量仪器可能检测出被测信号最小变化(准确值)的能力。灵敏门值测量仪器不能检测出

25、的被测信号最大变化范围值。产生的主要原因：47(二)数学期望与标准误差 对于测量值x连续取值，其数学期望定义式（由2-13）为：(一)均匀分布的概率密度概率密度x)为x)= k a x b 0 xb 由于均匀分布的范围是由a到b，因此概率为：(a x b)a-b之间的概率密度：48 对于测量值x连续取值，其标准误差定义式（2-14）为： (2-2-46)(2-2-47)（定义式）49解: 由于分辨力造成的随机误差，其出现的概率密度是属于均匀分布的。因此对于示值为x=200mA,其实际值是在用满量程为250mA，分辨力的灵敏门值为2mA，问测量电流的示值为200mA时，其实际值的范围及标准误差为

26、多少？ 其随机误差的标准误差为507.3 系统误差的处理:大多具有不易掌握的规律，没有通用处理方法可用。一般是先检验误差是否存在，判断产生原因及误差范围。一、系统误差的检验 Xi=A+i+o+I o、I 为恒定系差和变值系差 当测量次数为n时，其算术平均值为： 当测量次数n足够多时，由于随机误差的抵偿性 (2-3-2)511、恒定系差的检验 送检，给出校正后的修正值。 可用同类型仪器进行测量。 自校准。2、变值系差的检验 (1)剩余误差观察法使某一条件（如温度）有规律的变化，记录测量值。作成表格或曲线。52 (2)马列科夫判据 该判据用来发现累进性系差。其方法是将n次等精度测量的剩余误差按先后

27、次序排列为V1,V2,.,Vi,.,Vn,把它们按先后等分为两部分并求其差值。 当n为偶数时求 当n为奇数时求 若M0，则认为该测量数据列不存在累进性；若M值明显地不为零，而且 |M| | (235) 则说明存在累进性系差。(2-3-3)(2-3-4)53 (3)阿贝赫梅特判据 该判据用以判别周期性系差是否存在。若 则说明该测量数据列中存在周期性系差。 二、系统误差的消弱法 1、消除产生系差的根源。(仪器、环境、人身和方法） 2、修正测量值。（利用仪器的修正值） 3、利用典型的测量技术 (1)减小恒定系差的测量方法 零示法GVxVsRsEsWEs标准电池vx被测电压G平衡指示器使被测量对仪表的

28、作用与已知标准量的作用相平衡，使仪表示零。54 代替法 测量误差与电桥其他 三臂无关 交换法7.4 测量数据的处理 一、有效数字的概念 二、有效数字的处理 1、数字的舍入规则 (1)第n+1位小于5则第n位不变 (2)第n+1位大于5则第n位加1 (3)第n+1位等于5时 (A)在第n+2位有不为“0”的数则第n位加1. (B)在第n+2位为“0”或无数字时，当第n位为偶数则第n位不变；当第n位为奇数则第n位加1。为了增加尾数为偶数的机会。G (Ro)Rx55例： 的写法是最合理的，的写法是不合理的。有效数字的概念：-误差不得超过末位单位数字的一半 在测量和数值计算中，确定该用几位数字来代表测量和计算结果是一件很重要的事。例：用一最小刻度为 的米尺来量一长度如图，对X的读数有各种写法如： 哪一种合理？cmx500.23=56 三、等精度测量结果的数据处理 步骤 : (1)将测量结果列成表格 (2)求出算术平均值 (3)检查计算有无错误，先计算每一个Xi的相应的剩余误 差 。如果计算无错误，理论上应满足 or57如上式不等于0，就说明计算有错误。但是这个结论只有当 为可除尽的小数时才是严格成立的。一般情况下，由于四舍五入引入了一定误差，上式不会完全等于零。不等于零时可用下式检验。