函数与方程_PPT课件

1、 函数与方程函数与方程知识梳理1一般地，如果函数yf(x)在实数a处的_，即_则a叫做这个函数 的零点.2方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_3(1)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；(2)并且满足_那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c(a，b)，使_满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个 知识梳理交点 零点 f(a)f(b)0 f(c)0 函数值等于零知识梳理 知识梳理一分为二零点 知识梳理有两个不相等的实根 有两个相等的实根 无实根 有两个零点 有一个二重零点 无零点 有两个交

2、点 有一个交点 无交点 要点探究探究点1方程的根与函数的零点 要点探究思路 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数 答案 B 要点探究解析 当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2lnx0，解得xe2，所以已知函数有2个零点，选B. 点评 函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)0的实数根，也是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)0的实根个数，有时也可以根据函数图象的交点来判断零点的个数，如： 要点探究变式题 求函数ylnx2x6的零点个数 解答 在同一坐标系画出ylnx与y62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数

3、ylnx2x6只有一个零点 探究点2函数零点位置的判断 要点探究 思路 对于区间上连续不断的函数，在区间a，b内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)0，函数在区间a，b上也可能存在零点，如： 要点探究变式题 2009天津卷 设函数f(x) xlnx(x0)，则yf(x)() A在区间，(1，e)内均有零点 B在区间，(1，e)内均无零点 C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 要点探究 答案 D 解答 由题意得f(x) ，令f(x)0，得x3；令f(x)0，得0 x3；f(x)0，得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)

4、上为减函数，在区间(3，)上为增函数，在点x3处有极小值1ln30.又f(1) ，f(e) 10，故选择D. 探究点3二次函数零点的分布问题 例3 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围 要点探究 思路 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 要点探究 要点探究点评本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法 要点探究变式题 求a为何值

5、时，方程9|x2|43|x2|a0有实根 探究点4利用函数零点求参数 例4 (1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的值； 要点探究 思路 函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解 要点探究 思路通过图象变换法作出函数的图象，利用数形结合思想求解 (2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围 解答 若f(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象，由图象可知如果要使|4xx2|a有四个根，那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点故需满足0a4，即4

6、a0.a的取值范围是(4,0) 要点探究点评 函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题 要点探究变式题 已知函数f(x)x|x4|5，当方程f(x)a有三个根时，求实数a的取值范围 规律总结 规律总结 1方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2函数零点的求法： (1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)0的根 (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 (3)二分法：主要用于求函数零点的近似值 规律总结 3要注意对于在区间a，b上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)f(b)0，即f(a)f(b)0仅是f(x)在a，b上存在零点的充分条件，而不是必要条件 4有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变