江苏省苏州市高二数学下学期期末试卷文(含解析)

1、 An b=2.已知复数3.若双曲线的离心率为z= 升4 i)- (i为虚数单位),则|z|的值是2,则a等于2015-2016学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(文科)、填空题(共14小题，每小题5分，满分70分)1.设集合 A=x|x -11, B=x|x3,则.函数二(加广工-1)的定义域为 .函数f (x)=ex+2x (e是自然对数的底数)的图象在点(0,1)处的切线方程是 |s6|.设等比数列an的前n项和为a,若27a3- a6=0,则三？二. a=1是直线 11： ax+y+1=0, l 2： (a+2) x 3y2=0 垂直”的 条件.(填(a的值是“充分不必要”、“必要

2、不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一).已知 COS ( a.求过两点 A(0, 4), B(4, 6)且圆心在直线 x - 2y - 2=0上的圆的标准方程 .已知函数f(xe-，若f-fg则实数k的取值范 围为.已知经过点 A (-3, -2)的直线与抛物线 C: x2=8y在第二象限相切于点 B,记抛物线 C的焦点为F,则直线BF的斜率是.在 ABC中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 cosA=|-, sinC=2cosB ,且 a=4, 则 ABC的面积是.已知数列an的前n项和Sn=n2-n (n N*),若存在正整数m,n,满足a：-4=4(S

3、+10),贝U m+n的值是.若实数a, b满足a=倔=E+2yL 则a的最大值是 .二.解答题.正方体ABCO A1BGD1中，点F为A1D的中点.(1)求证：AB/平面AFC;(2)求证：平面 A1B1CDL平面 AFC.已知函数f (x) =sin (cox+(j) (co0, 0()高度为 8米，圆柱的底面半径为 4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为 y百元.(1)按下列要求写出函数关系式：设OO=h (米)，将y表示成h的函数关系式；设/ SDO=。(rad),将y表示成0的函数

4、关系式；(2)请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值.19.如图,已知椭圆P 1).M+三=1 (ab0)的离心率为 三厂，且经过过点at/2(1)求椭圆M的标准方程;(2)设点A (xi, yi), B(X2, v2是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线 OA OB的斜率分 别为 ki, k2,且 kik2= -i.4求xi2+X22的值；设点B关于x轴的对称点为 C (点C, A不重合)，试求直线AC的斜率.20.已知函数f (x) =ex- cx - c (c为常数，e是自然对数的底数)，f (x)是函数y=f (x) 的导函数.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)

5、当c 1时，试求证：对任意的x0,不等式f (lnc+x ) f (lnc - x)恒成立；函数y=f (x)有两个相异的零点.2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1.设集合 A=x|x - 1 1 , B=x|x3,则 AA B= x|2 vx1,即A=x|x 2,B=x|x3,.AA B=x|2 x0,得2x- 1 1 ,解得x1 .所以原函数的定义域为1 , +8）.故答案为1 , +8）.5.函数f (x) =ex+2x (e是自然对数的底数)的图象在点(0, 1)处的切线方程是y=3x+1【

6、考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程.【解答】 解：函数f (x) =ex+2x的导数为f ( x) =ex+2,可得f (x)的图象在点(0, 1)处的切线斜率为 k=e+2=3,即有图象在点(, 1)处的切线方程为 y=3x+1 .故答案为：y=3x+1 .286.设等比数列an的前n项和为若27a3- a6=,则【考点】 等比数列的通项公式.n项和得答案.【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前【解答】 解：设等比数列an的首项为ai,公比为q,由 27a

7、3 - a6=,得 27a3 - &q =,即 q=3,为”3甘=-；厂期.与(1 -晨)- 3故答案为：28.a=1是直线11： ax+y+1=, 12： (a+2) x - 3y - 2二垂直”的充分不必要条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】 先根据两直线垂直，求出 a的值，即可判断.【解答】 解：二.直线 l1： ax+y+1= 和 I2： (a+2) x3y 2二垂直，.a (a+2) - 3=0,解得a=- 3,或a=1,故实数a=1是直线l1： ax+y+1=0, 12： (a+2)

8、x- 3y - 2=0垂直的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.8.已知cos (+ +)=二，贝U sin (a的值是两角和与差的正弦函数.利用诱导公式化简所求，结合已知即可计算得解.JE解：cos ( + +4sin (aF)=sin ( a=sin(a3兀 2)=-sin3兀TIT=)=cos ( a +故答案为：上39.求过两点 A (0, 4), B (4, 6)且圆心在直线 x-2y-2=0上的圆的标准方程(x- 4)2+ (y T) 2=25 .【考点】圆的标准方程.【分析】 由圆心在直线x-2y-2=0上，可设圆心坐标为(2b+2, b),再根据圆心到两点 A (0, 4)、

9、B (4, 6)的距离相等，求出 b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程.【解答】 解：由于圆心在直线 x-2y-2=0上，可设圆心坐标为(2b+2, b),再根据圆过两点A (0, 4), B (4, 6),可得(2b+2)- 02+(b-4)2=(2b+2)- 42+(b解得b=1,可得圆心为(4, 1),半径为一 0) 2+(1-4) 2=5,故所求的圆的方程为(x-4)，(yT) 2=25, 故答案为：(x-4) 2+ (y - 1) 2=25.已知函数f (x) =2，若f (f (-2) f (k),则实数k的取值范Go围为 1clsLvkv4 .一 Z 【考点】分段函数

10、的应用.【分析】求出f (f (- 2)的值，根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论.【解答】解：f (2) =(1厂，臬 f (4) = (41) 2=32=9,则不等式等价为f (k) 9,若 k0,由 g)k0,由(k1) 29,解得-2vkv4,此时 0k4,综上： -L k 4,2_口 g i 9故答案为： 工k0, y 0；求出b与a的解析式，由a=/4& - b+班得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值.【解答】解：设a二x,涧3一 b =y ,且x0, y 0; TOC o 1-5 h z 222b=x2, 4a - b=y2, 即 a= = =Z_jt_； H

11、YPERLINK l bookmark16 o Current Document 44 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 22a=VaH+2H 可化为2=y+2x, 4即(x4) 2+ (y 2) 2=20,其中 x0, y0;又(x-4) 2+ (y-2) 2=20表示以(4, 2)为圆心，以 2兀为半径的圆的一部分;2 , I L 2 , 2.a= +B=V +工表示圆上点到原点距离平方的 工，如图所示； 口 441- a 的最大值是 *x ( 2r) 2=r2=20故答案为：20.二.解答题15.正方体ABC A1BGD中，点F为A1D的

12、中点.(1)求证：AB/平面AFC;(2)求证：平面 AB1CDL平面 AFC【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定.【分析】(1)连接BD交AC于点O,连接FQ要证AiB/平面AFC只需证明直线 AB平行平 面AFC内的直线FO即可；(2)要证平面 AiBiCDL平面AFC只需证明平面 ABCD内的直线BD垂直平面 AFC即可.【解答】证明：(1)连接BD交AC于点O,连接FO, 则点O是BD的中点.点F为AiD的中点，AB/ FO又AiB?平面AFG FO?平面 AFG，AiB/平面 AFC(2)在正方体ABCD AiBiGD中， 连接 BD.AC BD, ACL BB,ACL

13、平面 BiBD, ACBD.又 CDL平面 AiADD, AF?平面 AiADD,.-.CDAF,又 AFXAiD,.AFL平面 Ai BiCD. AC BiD, . . BQ,平面 AFC 而BiD?平面ABCR 平面 AiBCDL平面 AFC.已知函数f (x) =sin (cox+(j) (co0, 0()0, 0w 4 w 兀) 为偶函数， 可得 4 =k 兀 +,kC z,(|)=2f (x)=sin(x+)=cosx.(2) sin,即 sin a cos a =平方可得 2sin a cos a =,L/2sinC2Cl -3)+1|卡式成it _ 厂 ,nc- v2cos2 1

14、 sirr+l。口 gU +sinQeosCl=2sin a cos a =二. gcos CI fsinCC8曰口 (2sintX cos Ct +-2sin 2 01).已知数列an为公差不为零的等差数列，其前 n项和为a,满足S5- 2a2=25,且ab a4, a13恰为等比数列bn的前三项(I)求数列an, bn的通项公式；51口 k一* ，一口14H(n)设Tn是数列的前n项和，是否存在 kCN,使得等式1-2Tk=-成立，若W12存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【考点】 数列的求和；数列递推式.【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；(II

15、)利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出.【解答】 解：(I)设等差数列an的公差为d (dw0),(5.1 + 5 j J)一2(3+ bz=a4=9(n)由(I )可知：an=3+2 (n 1) =2n+1.己口日升-（2n+l）（2n+3） - 2 2n+l2n+3 %小丁）U）十十Mr 一金）日食一册）， .丐字诙/归如即调递减一导舞一？：而4号打所以不存在kCN*,使得等式1一2丁1*成立.18.如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为 8米，圆柱的底面半径为 4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每

16、平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为 y百元.（1）按下列要求写出函数关系式：设OO=h （米），将y表示成h的函数关系式；设/ SDO=。（rad）,将y表示成0的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值.S圆锥侧=兀 x 4x Jh，- 16h+80 .y=2 （S圆柱底 +S 圆柱侧）+4S圆锥侧=32兀 +16Tth +16兀 /h - 16K+80(h4).【考点】不等式的实际应用.【分析】（1）分别用h, 0表示出圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积和底面积， 得出y关于h （或9 ）的关系式；（2）求导数，判断函数

17、的单调性，利用单调性求出最小值.【解答】解：(1)当 OO=h 时，SO=8h, SCSO-t-OiC2 =/h2 - 16h+80 ,S圆柱底=兀 X 42=16 兀,S 圆柱侧=2兀 X 4X h=8Tt h,q若/ SDO= 0 ,贝U SO=4tan 0 , SD=x- . . OQ=8 - 4ta n 0 . cos d. OO4,0vtan。w 1.0 i3 S 圆柱底=兀 X 42=16兀,S 圆柱侧=2ttX4X (8 4tan。) =64 兀32 兀 tan。, S 圆锥侧= ttX4X、=厚.cos 6 cos 6. .y=2 (S圆柱底 +S 圆柱侧 )+4S 圆锥侧=3

18、2兀 +128兀64Titan 064兀 cos e=160兀 +64兀1 一 sin 日C0 0).(2)选用y=160兀+64兀1 - sin 8cos 6），则 y(0 ) =64兀b0)的离心率为,且经过过点 P (2, 1).铲/2（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A （X1, y。，B （X2, v2是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA OB的斜率分别为k1, k2,且匕卜2=求X12+X22的值；设点B关于x轴的对称点为 C （点C, A不重合），试求直线AC的斜率.【考点】椭圆的简单性质.P的坐标满足椭圆方程，结合 a, b, c的关系，解方【分析】（1）运用椭圆的离心率公

19、式和程可得椭圆方程；“211（2）运用直线的斜率公式，可得及永2Ml=一3，两边平方，再由点 A, B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；由题意可得C（X2, - y2）,运用椭圆方程可得 y12+y22-，配方可得（y1+y2）2=7 （3+4y1y2）, （X1-X2） 2=6-2x1X2=6+8y1y2,再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值.【解答】解：（1）由题意可得e=，T +方 j a2b2=c2，2解得a=5/$,可得椭圆标准方程为2 y +=1 ；yry2 1(2)由题意可得 kik2=-=- -,即为 xi2x22=16yi2y22,又点A (xi, yi),

20、 B(X2, v2是椭圆M上异于顶点的任意两点,可得 4yi2=6- xi2, 4y22=6-X22,即有 xi2x22= (6 xi2) ( 6 x22),化简可得xi2+x22=6;由题意可得C (x2, - y2), 由 4yi2=6-xi2, 4y2 2=6-x?2,可得 yJ+y/J- Q/十 1)一, 4 I 2由 xi2+x22= (xi x2)2+2xix2=6, 可得(xi - x2)=6 - 2x ix2,由 yi2+y22= (yi+y2)2- 2yiy2=y,可得(yi+y2)2=+2yiy2=E (3+4yiy2),z I Jr 21由=,即 xix2= 4yiy2,

21、x I 24可得(xi - x2)2=6- 2xix2=6+8yiy2)则直线AC的斜率为20.已知函数f (x) =ex- cx - c (c为常数，e是自然对数的底数)，f (x)是函数y=f (x) 的导函数.(i)求函数f (x)的单调区间；(2)当c i时，试求证：对任意的x0,不等式f (lnc+x ) f (lnc - x)恒成立；函数y=f (x)有两个相异的零点.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【分析】(i)求得f (x)的导数，讨论c的范围：当cw。时，当c0时，解不等式即可 得到所求单调区间；(2)作差可得，f (lnc+x ) - f (lnc x) =c(ex ex -2x),设 g (x)