新高考新教材1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册

1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)学习目标L理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系.会用向量方法求两异面直线所成角.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系.会用向量方法求直线与平面所成角.,理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系.会用向量方法求二面角的大小.重点难点重点：理解运用向量方法求空间角的原理难点：掌握运用空间向量求空间角的方法一、自主导学L利用向量方法求两异面直线所成角若两异面直线/4所成角为a它们的方向向量分别为a.b.则有 I 2cos =lcosl= .I。物特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线

2、所成角的范围是仅身.而两个向量夹角的范围是。巾事实上.两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.利用向量方法求直线与平面所成角若直线/与平面。所成的角为6.直线/的方向向量为a,平面a的法向量为n,则有 sin =lcosl=-Win I特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.利用向量方法求二面角(1)若二面角的平面角的大小为夕其两个面久0的法向量分别为n .n ,贝ijlcos 6|=lcosv.n 1=(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角a-1-B的两个半平面内,各取一条与棱I 垂直的直线.则当直线的方向向量的起点在棱上时

3、.两个方向向量的夹角即为二面角的大小.特别提醒：由于二面角的取值范围是而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定.因此不能认 为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角.从而求得其大小.二、小试牛刀 TOC o 1-5 h z 1 若异面直线/ （的方向向量分别是a=（0,.2,l）,b=（2O4）,则异面直线/与的夹角的余弦值等于（） 122A.3B三C.里D迪55552,若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,则直线/与平面所成的角等于（）A.12O0B.60C.1500D.3O03.二面角中，平面a的一个法向量为=（今,-夜），平面

4、的一个法向量是股=（0垓,夜），那么二面角 a-1-S的大小等于（）D.60。或 120A.12O0B.1500C.30。或 150学习过程一、情境导学地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”、黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）为23。26.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9。以内的区域称为黄道带.太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座.称为黄道十二宫”从春分（节气）点起.每30。便是一宫.并冠以星座名.如白羊座、狮子座、双子座等等.这便是星座的由来地轴春分日（3月21日前后）冬至日（12月22日前后）问题：空间角包括哪些角？求解空间角常用的

5、方法有哪些?答案：线线角、线面角、二面角；传统方法和向量法.二、典例解析 例1.如图所示,在三棱柱中A、，底面八80工8=5。=儿4乙43。=90。,点七/分别是棱相劣/ 的中点，试求直线EF和所成的角.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值.而对应的方向向量的夹角可能为钝角.范围:异面直线所成角的范围是(0、外、故两直线方向向量夹角的余

6、弦值为负时，应取其绝对值.跟踪训练1如图，在正四棱柱/WCZXA化CR中艮则异面直线A产与AR所成角的 余弦值为.例 2.如图所示.四棱锥 P-ABCD 中.PA_L底面8c48=AQ=AC=3,PA=BC=4.M 为线段 A。上一点工M=2MDN为PC的中点.(1)证明MN平面PA8;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.p跟踪训练2在棱长为1的正方体ABCD-BFR中方为。J的中点,则直线A产与平面8。七所成的角为A-A6例3.如图,在正方体A8EROCE尸中MN分别为AC.的中点，求平面A/NA与平面MNB所成锐二面角的余利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小时.多采用

7、法向量法.即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时.要注意结合图形观察分析确定二面角是锐角还是钝角,不能将 两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来 跟踪训练3如图,在直三棱柱ABC48G中，求二面角C-C的大小.金题典例 如图.四棱柱ABOA/FP的所有棱长都相等/cn&)=0Anqq=0四边形ACC A和四边形8。8均为矩形. 1 1 1 1(1)证明:Oy_L底面ABCD若NC8A=60。,求二面角C -OB-D的余弦值.延伸探究1 本例条件不变.求二面角B-AC-D的余弦值.延伸探究2本例四棱柱中,NCBA=60。改为NC8A=90。,设E.

8、F分别是棱BC,CD的中点, 求平面ABE与平面AOf所成锐二面角的余弦值.向量法求二面角（或其某个三角函数值）的四个步骤（1）建立适当的坐标系.写出相应点的坐标；（2）求出两个半平面的法向量n .11； 1 2（3）设二面角的平面角为。.则Icos |=|cos1;I 2根据图形判断e为钝角还是锐角，从而求出6（或其三角函数值）.达标检涮L平面a的斜线/与它在这个平面上射影/的方向向量分别为a=（1.0Db=（0,l）,则斜线/与平面a所成的角 为（）A.30B.45C.60D.90.已知向量m.n分别是直线/和平面o.的方向向量和法向量，若cos=-a则/与所成的角为（）A.30B.60C

9、.120D.1500.在正方体/WCD-A产中.、N分别为棱8。和棱Cq的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A.30B.45C.90D.604,在三棱锥P-ABC中点0.D分别是ACPC的中点。尸，底面A8C,则直线。与平面P8C所成角的正弦值为5如图.四棱锥P A8CD中,PB_L底面ABCDCQ_LPD底面ABCO为直角梯形8cd8a4B=AO=P3=3.点E在棱PA上.且PE=2EA,求二面角ABED的余弦值.牺异面直线所成角 利用向量求空间角卜僵与平面所施 刎个平面的夹角参考答案：知识梳理.解析因为 ab=-4,lal=但lbl=2/5,所以 cos 6=：cosl=答案：B |

10、a|b|105.解析：因为直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,所以它们所在直线的夹角为60。,则直线/与平面a所成的角等于90。-60。=30。.答案：D.解析：设所求二面角的大小为0.贝ij|cos 6 =34 = g所以6=30。或150。.答案：C学习过程 例1.思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线E尸和8c的方向向量的坐标.求它们的夹角即得直线石尸和BC所成的角. 1解:分别以直线为qn轴.建立空间直角坐标系（如右图）.AGB于是 cos=BCEF bclef设 ”=1.则 3(000)000)4 O.oq)Ci(O,Ll),所以即=J,同=(O.L1).了 J =为

11、斤以直线EF和BC所成角的大小为60。.XV22跟踪训练1解析以。为坐标原点QAQC。？所在直线为x轴,轴.z轴建立空间直角坐标系Dr)z设A8=L 则8( 1,1,0)(1,0,2)雪竺)n (09,2),还=(0,12),苑=(J,0,2),3而可工丽=仁=三故异面直线山3与所成角的余弦值为】ALBADk I答案g例2.思路分析：(1)线面平行的判定定理=的平面PAB.(2)利用空间向量计算平面PMN与4N方向向量的夹角=直线AN与平面PMN所成角的正弦值.证明:由已知得w=|.m=2.如图，取3尸的中点连接7N. 3由N为尸。的中点知TN/BC,TN=BC=2.又故 且 TN=AM.所以

12、四边形XMA7为平行四边形，于是 MN/AT.因为X7u平面RL5.MW平面PAB.所以平面以8.解:如图,取BC的中点及连接工E由AB=AC得从而4皿RAE=!AB2-BE2 =以A为坐标原点标的方向为人轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-冲乙 由题意知尸(004)J/(020)C(逐 20)N(31，2)，PM =(02-4)而=(3 12 )前=(= 1,2 ).n PM = 0设=(.”/)为平面的法向量，则二 (nPN = 0.(2y-4z = 0. _.店x 9可取n=(021).于是gsvn；而|寺=曾X + y-2z = 0,nAN 25所以直线N与平面RMN所成角的正弦

13、值为等 跟踪训练2解析:以D为原点建立空间直角坐标系,可求得平面BDE的法向量n=(l,-L2),而 瓯二(0,-11),所以cos 6=亲=4,则6=30。,故直线48与平面8D七成60。角. 答案：B例3.思路分析:有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义.在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方 法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量.通过法向量的夹角求得二面角 的大小.解:设正方体棱长为L以8为坐标原点,孙所在直线分别为x轴j轴n轴建立空间直角坐标系则历& o ?爬, ,o(l ,O0),5(O,OQ).(方法1)取V的中点G.连接8GHG,则穴就,)因为

14、ALMMABKAr为等腰三角形，所以HG_LMV方G J_MV, 故NHG5为二面角的平面角或其补角.又因为点而=(-鸿司，所以cosv次盲喂箴=故所求两平面所成锐二面角的余弦值为去(方法2)设平面AMN的法向量m=(xj，,z).由于京=则卜丝二即If ,I = ，令x=l.解得产1二=1,于是m=(l,l,l).同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(l,-l,-l), 所以cosvn.”在二嬴三，Tlx ilHj I V 3X 33故所求两平面所成锐二面角的余弦值为小跟踪训练3解：如图.建立空间直角坐标系,则4200).。(020)4(202叫(002).q(022), 即8M=(1,1

15、,0)是平面AiCiC的一个法向量.设平面的一个法向量是=(x加二).1？=(22,-2).而=(-200),所以 n4B；=-2x=0,n ALC =-2x+2y-2z=0,令 z=l,解得 x=0产L故 n=(0,l,l).设法向量n与函7的夹角为夕，二面角B1-J1C-C1的大小为a显然e为锐角.因为cos 6=|cos 0尸嚅 =a解得咤所以二面角S-C-C1的大小为?金题典例(1)证明因为四边形和四边形8QR/均为矩形，所以 CC 1AC.DD BD. 1 又 CC /DD /OO .所以 0。1AC.OO A.BD. 1 1 1因为ACn8Q=0,所以O,_L底面ABCD.解：因为

16、四棱柱的所有棱长都相等.所以四边形A8CO为菱形，ACi.BD.yk qoj_底面 A3CD,所以 OB.OC.OO 两两垂直.如图.以0为原点OB.OCOq所在直线分别为A-,y,z轴、建立空间直角坐标系.设棱长为2,因为NCB，=60。,所以OB=WOC= 所以 0(0,0,0)i(V3,0,2),Ci(0,1,2),平面BDDiBi的一个法向量为n=(0.1.0), 设平面。山】的法向量为m=(xyz),则由m_L瓯皿,运，所以卜号:2z= (y+ 2z = 0,取二=-6,则 x=2j，=2Vl所以 m=(2,2x/3,-V3), 所以|cosvma|=|制小焉由图形可知二面角Ci-O

17、Bi-D的大小为锐角， 所以二面角Ci-OBi-D的余弦值为箸.延伸探究1解:建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2, 则由(0,-1,2*(V10,0)C(0 J ,0)Q(心 0,0).所以就=(V11,0)石? =(0,2,-2),CD =(-73,1,0).设平面48c的法向量为ni=(xuviiX2y1-2z1 = 0、-V3xx + y1 = 0,取、1=后,则,1=二1=3,故 m =(73,3,3).则叮竺=0唧n2 CD = 0,取治=、氏则#=2二3,故 H2=(VX-3,-3),所以|cosvni,ii2| =711yl257,设平面31C。的法向量为112=(X2J?

18、22), 12y2-2zz = 0, (-V3x2-y2 = 、由图形可知二面角B2 + Z2 = 0, X + 为=0令也=2厕 ”=-1幻=1.所以 02=(2,-1,1).所以平面与平面.1DF所成锐二面角的余弦值为cosvnm=% = 6V OXV 6 Z达标检测L解析:/与。.所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，因为cos=-=所以=60。. 例 2答案c.解析：由已知得直线I和平面法向量所夹锐角为602因此/与a所成的角为30。.答案：A.解析以D为原点.分别以OAQCDR所在直线为x轴j轴.z轴建立空间直角坐标系.设正方体ABCDA BCD中棱长为2, till二”、N 分别为棱 8C 和棱 CC 的中点，:M(120)W(021)a(2,0.0)C(0.2,0), 1加=(L0、l)君(22,0)，设异面直线AC和MN所成的角为/cosi则又6是锐角,：6=60。:异面直线AC和MN所成的角为60。.故选D.答案DOD(- = aO乎