画龙点睛数学专题讲解一

1、（一）求极限的各种方法1约去零因子求极限x 4 1例 1：求极限limx 1x1【说明】 x 1表明 x与1无限接近，但 x 1 ，所以 x 1这一零因子可以约去。2 1)( lim (【解】lim=4x 1x1x12分子分母同除求极限x3 x 2例 2：求极限lim3 1x 3x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。1 1x3 x 213im x 【解】l 3 1 x3【注】(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；1本部分内容是考生在备考 过程中通过看书一般无法获得的知识总结和无法解决 ，需要借助其他学习途径方能获取的知识。明确地说，“画龙点睛”数学专题讲解中

2、的知识处于两个 ，一种是 必考的重难点知识，以及一般不会在 中 或者单独命题的知识，但是对考生在学习理解中的作用还是很关键的。因此， 对于 或复习全 每一句话都要认真思考，多问一句“为什么”，这样才会加深理解，帮助 ！根据经验，总结出几个相对较为关键的专题，整理成为此部分资料，还请考生重视。另外，对于精心搜集、整理和总结的资料，请给与尊重，勿网上，。最后，祝您成功！学霸书店http:/ 0m n m nm na axnxn1 an1 (2) limn0 xm bxm1 bx banmm10bn3分子(母)有理化求极限( x 2 3 x 2 1)例 3：求极限 limx【说明】分子或分母有理化求

3、极限，是通过有理化化去无理式。2 1)【解】 lim (xxx2 3 x2 12 lim 02 11 tan x 1 sin x例 4：求极限limx3x01 tan x 1 sin xtan x sin x lim【解】limx3x0 x0tan x sin x 1 lim tan x sin x 11 limlim1 tanx34x00【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限1sin x11 1 和lim (1 lim (1 lim (1 x) x e ，第) x)n两个重要极限是limxxnxnx0 x0一个重要极限过于简单且可通

4、过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 x 1 x例 5：求极限 lim x x 11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指X数部分。1 2 x1 2 x 1 x x 2 212 e2【解】 lim 1x2 x x 2a x1例 6：(1) lim 1 8 ，求a 。2 ；(2)已知 lim x axxx5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 x 0) ex 1, arcsin时,b1 cos1 abx ；2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例 7：求极限lim x ln(1 x)

5、 1 cos xx0 x 2 .【解】 lim1 x21 cos xx0 x02例 8：求极限lim sin x xtan3 xx0 1 x 2sin x xsin x xcos x 116 lim lim lim 2 【解】limtan3 x3x 2x006用法则求极限ln cos 2x ln(1 sin 2 x)例 9：求极限lim2xx0【说明】 或型的极限,可通过0法则来求。02sin 2x sin 2xln cos 2x ln(1 sin 2 x)cos2x1 sin 2 x lim【解】limx 22xx0 x0 2sin 2x 31 lim2x0【注】许多变动上显的积分表示的极限

6、，常用法则求解x(x t) f (t)dt例 10：设函数 f(x)连续，且 f (0) 0 ，求极限lim0.xx0 xf (x t)dt0【解】 由于 0 f (x t)dt f (u)(du) 0 f (u)du ,于是x3xxx(x t) f (t)dtxf (t)dt tf (t)dt lim000limxxx0 x0 xf (x t)dtxf (u)du00 xxf (t)dt xf (x) xf (x)= limf (t)dt00= lim)00 xf (t)dt0f (0) 1 .= lim x =f (0) f (0)2xx0f (u)duf (x)0 xf (x) g (

7、x)极限2lim7用对数恒等式求例 11：极限lim1 ln(1 x)xx0lim 2 ln1ln(1 x)lim 2 ln(1 x)22 ln1ln(1 x)【解】 lim1 ln(1 x)x = lim e x ex0 e2 .= ex0 xxx0 x0【注】对于1 型未定式lim f (x) g(x) 的极限，也可用公式f (x) g ( x) (1 ) = elim( f ( x)1) g ( x)lim因为f (x) g ( x) elim g ( x) ln( f ( x) elim g ( x) ln(1 f ( x)1) elim( f ( x)1) g ( x)lim 2 c

8、os x x11 .例 12：求极限lim3 x0 x3 2 cos x 2cos x ln x ln 1 lim3【解 1】 原式 lim e3x2x3x0 x01（ sin x） lim ln（2 cos x） ln 3 lim 2 cos xx212xx0 x0 1 lim sin x 12 x0 2 cos xx6 2 cos x 2cos x ln x ln 1 lim【解 2】 原式 lim e33x3x2x0 x04ln（1 cos x 1）cos x 1163 lim lim 22x3xx0 x08利用 Taylor 公式求极限a x a x 2( a 0 ) .例 13 求极

9、限 lim,x 2x0 x 2【解】a e 1 x ln a ln a ( x ) ,xx ln a222x 2 xa 1 x ln a ln a ( x ) ;2222 ).aa x a x 2x 2 ln 2 a ( x 2 ) lim ln a .2limx 2x 2x0 x0求极限lim) .例 14x0) lim 1 sinlim【解】2 ) lim 3!2!x3x0( 1 1 )x3 (x3) lim 2!3! 1x33 .x09数列极限转化成函数极限求解21 n例 15：极限lim n sinnn 【说明】这是1 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用接求有一定难度，若转化成函数

10、极限，可通过 7 提供的方法结合法则，若直法则求解。51 1x22 1 161 sin y1 x sin 1xx2 lim e lim eyy e【解】考虑辅助极限 lim x sinxx xy0n21所以， lim n sin 1 e 6nn 10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.111例 16：极限lim n n 122n 222n n22【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 f (x) 看成0,1定积分。1 n 1 2 1lim f f nff (x)dxnnnn01 1

11、11 【解】原式 limn n 1 2 2 2 n 21 n1 n1 n111 2 1dx ln 22 101 x 2111例 17：极限lim n n 1n 222n n21 f 1 f n f 2 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limn n n n n 的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。111【解】lim n n 1n 2n n222n111n 因为2 n2n 1n 2 2n 2 12nnn6“画龙点睛”数学专题讲解学霸书店 http:/nn lim 1lim又nn 2nnn 2 111所以lim nn 1n 222n11单调有界数列的极限问题例 18：设数列xn满足0 n (n 1, 2,)（）证明lim xn 存在，并求该极限；n1 n.xx2n1lim（）计算xnn 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （）因为0 x1 ，则0 x2 sin x1 1 .可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.xn1 x sin xn）， 则有 x x ，可见数列x 单 1 ，（因当于是n1nnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim xn 存在.n设lim xn