[PPT]静定结构位移计算(著名院校)

1、第五章 静定结构位移计算Displacement of Statically Determinate Structures5-1 概述5-2 变形体的虚功原理5-3 结构位移计算的一般公式（单位荷载法）5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算5-5 图乘法5-6 静定结构在广义荷载作用下的位移计算5-7 线弹性体系的互等定理结 构 力 学5-1 概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures) 结构位移线位移角位移A点线位移A点水平线位移A点竖向线位移A截面角位移（转角） 位移（Displacement）与变形（Deformation）的区别位移指位置的变化。线位移

2、主体一般是点，角位移主体一般是截面或杆件。 变形指物体在外部作用下，由于材料应变引起的尺寸或形状的变化。如杆件拉伸、弯曲、剪切等。变形一般会引起位移。 位移不一定产生变形（刚体位移无变形）。静定结构位移计算第五章 产生位移的原因一般荷载力的作用广义荷载温度变化支座位移制造误差一般荷载温度变化支座位移制造误差静定结构位移计算第五章为了控制位移，需要起拱。二、位移计算的目的 刚度要求结构设计计算应考虑的内容强度校核稳定性验算刚度验算在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度； 房屋主梁允许挠度1/350跨度。高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移1/450高度， 最大层间位移1/550层高； 地震

3、作用下的最大位移1/400高度； 最大层间位移1/500层高。 超静定结构的计算基础超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。 施工要求静定结构位移计算第五章小变形 (Small Deformation)假定：变形很小以致于不影响荷载的作用， 故，可忽略变形对平衡方程的影响。三、本章位移计算的基本假定满足上述两个假定的结构体系称为线弹性体系。线弹性 (Linear Elastic)材料假定：材料服从虎克定律(Hookes Law)，应 力应变成线性关系。 线弹性体系的特征变形与作用力成正比。非线性结构体系材料非线性：不满足假定几何非线性：不满足假定 基本假定位移符号一般规则：静

4、定结构位移计算第五章三、本章位移计算的基本假定叠加原理（Principle of Superposition)适用。 线弹性体系的特征变形与作用力成正比。位移符号一般规则：静定结构位移计算第五章5-2 变形体的虚功原理 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)力对物体作用的累计效果的度量。功=力力作用点沿力方向上的位移 功力在自身所产生的位移上所做的功。 实功力在非自身所产生的位移上所做的功。 虚功【例】静定结构位移计算第五章二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generali

5、zed displacement)一个力系作的总虚功 W=P其中，P广义力； 与P对应的广义位移。【例】 作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶作虚功的力系为两个等值反向 的集中力静定结构位移计算第五章三、变形体的虚功原理 原理的表述变形体平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所做虚功之和等于变形体所接受的应变能（即内力虚功之和），即 原理的证明状态(力状态)：外力作用下AB杆平衡状态 (位移状态)：其它原因引起的位移和变形ds微段受力图ds微段变形图静定结构位移计算第五章三、变形体的虚功原理 原理的证明状态(力状态)：外力作用下AB

6、杆平衡状态 (位移状态)：其它原因引起的位移和变形ds微段受力图ds微段变形图状态的外力在状态的位移上做的虚功为静定结构位移计算第五章状态的外力在状态的位移上做的虚功为上式代入We中，得静定结构位移计算第五章状态的内力在状态的位移上做的虚功为该项即为内力虚功之和Wi从而，静定结构位移计算第五章必要性的证明：即由AB平衡证明We=Wi由AB平衡可知：微元体的平衡力的边界条件由得（必要性证毕）充分性的证明：即由We=Wi证明AB平衡由上述We的表达式，并根据，可得静定结构位移计算第五章（充分性证毕） 从而得到AB的平衡条件，即AB平衡。 由于虚位移 是满足位移约束条件的任意位移，故，上式积分号内和

7、方括号内每一项均应为零。即静定结构位移计算第五章 变形体虚功原理的必要性也可以通过功的物理含义得到证明1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力微段间相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段总外力功 dW= dWe+dWn2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段总外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWg +dWi =Wi微段位移分为两部分刚体位移变形位移故有We=Wi成立。所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =W

8、e相邻微段间作用力与反作用力大小相等，方向相反；截面变形连续，位移相同；故相互作用力虚功和为零。平衡力系在刚体位移上做的虚功之和为零（刚体体系的虚功原理）。静定结构位移计算第五章 变形体虚功原理应用的几点说明 虚功原理涉及到同一体系的两个不同状态： 力状态和位移状态是相互独立的，二者之间不存在因果关系。 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足变形协调条件。 虚位移必须是约束所允许的任意微小的位移。 虚功原理的适用范围： 上述虚功原理的论述和证明过程中没有涉及到结构类型、材料性质、加载过程、变形大小等问题，所以虚功原理适用于任何变形体和任何结构。包括线弹性问题、非线性弹性问题、弹塑性问题、塑性

9、问题等等。 虚功原理的应用方式： 虚功原理讲述了充分和必要两个条件，对应地反映了两个方程： 反映了几何方程（变形协调条件）； 反映了平衡方程（力的平衡条件）。 相应地有两个方面的应用： 虚力原理应用方式（虚设力的状态，求位移）； 虚位移原理应用方式（虚设位移状态，求未知约束力）。静定结构位移计算第五章四、虚功原理的两种应用方式例题【例1】求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。【解】去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态。待分析的力状态虚设的位移状态由外力虚功总和为零，得单位位移法(Unit-Displacement Method) 虚位移原理虚功原理用于虚设

10、的位移状态与实际的力状态之间。单位位移法本质：将力的平衡问题化为几何问题来求解。(a)X(b)(c)将代入，得通常取单位位移法的虚功方程 平衡方程静定结构位移计算第五章【例2】求 A 支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 C。【解】首先构造出相应的虚设力状态。通常，在拟求位移点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置与拟求位移对应得单位荷载。待分析的位移状态虚设的力状态上述方法称为单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)。它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出的，故也称为Maxwell-Mohr Method。 虚力原理虚功原理用于虚设的力状态与实际的位

11、移状态之间。单位荷载法本质：将几何问题化为力的平衡问题来求解。虚功方程解得单位荷载法的虚功方程 几何方程由 得静定结构位移计算第五章 平面杆系结构虚功方程表达式 We的计算：任意荷载作用下，We=PiDi+Miqi+p(s)u(s)ds+q(s)v(s)ds（集中荷载外力虚功）（分布荷载外力虚功） Wi 的计算:微段变形由如下几部分组成:微段外力:微段剪切微段拉伸微段弯曲Wi =N+Q+Mkds对于直杆，上述三种变形互不耦连，有:结构中截取微段dsPiDi+Miqi+puds+qvds =N+Q+Mkds可得平面杆系结构虚功方程如下:静定结构位移计算第五章5-3 结构位移计算的一般公式（单位荷

12、载法） 一、位移计算一般公式 (General Formula of Displacements)下面从虚功方程入手，以图示结构为例，建立杆系结构位移计算的一般公式。 实际位移状态【虚拟力】与待求位移对应的单位力。【问题】求B点水平位移DBx=? 虚拟力状态设内力为：外力包括：设变形为：位移包括：虚功方程为（外力虚功）（内力虚功）表示沿杆件长度积分表示对杆件数量求和上式就是位移计算一般表达式。 适用条件如何？静定结构位移计算第五章位移计算一般表达式 中 ，虚力状态的内力 可求，位移状态的变形 与位移状态的内力、截面几何特征和材料特征有关。 对于线弹性结构，取直杆的ds微段 ，有所以，线弹性结构

13、位移计算的一般公式为位移计算一般表达式理解和应用中应注意的两个问题：两个表达式的适用范围有何不同？表达式及其中每项、每个符号的物理含义是什么？单位荷载法计算位移的步骤：剪力虚力状态：在拟求位移点、沿拟求位移方向、施加与拟求位移对应的广义单位力。分别计算实际位移状态的内力 和虚力状态的内力 。按位移计算一般公式计算拟求位移。D正负表示真实位移的方向，如正表示位移与虚拟单位力方向相同，反之，则方向相反。静定结构位移计算第五章 结构类型：适用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构； 位移原因：该公式虽然是按一般荷载作用下的受力情况推导出来的， 但方法适用于荷载、温度改变、支座移动等各种情

14、况。 材料性质：线性、非线性； 弹性、弹塑性、塑性。（仅指变形展开前的第一个表达式） 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形。 位移种类：线位移、角位移；相对位移、绝对位移。 位移计算一般表达式的普遍性表现二、虚力状态的建立 目的与要求目的：尽量简化虚功的计算，使外力虚功恰好等于拟求的位移。要求：虚力状态的广义单位力与位移状态的拟求广义位移一一对应。 具体三个要求：在拟求位移点沿拟求位移方向施加与拟求位移对应的广义单位力。静定结构位移计算第五章 求某点的绝对线位移：在拟求位移点沿拟求位移方向施加单位力。 与四种可能拟求位移类型对应的虚力状态求DC，在C点沿DC方向加单位力。 求受弯杆某截面

15、或桁架某杆件的转角：在拟求转角处施加一单位力距或 力偶矩。力偶矩仍为1，但力与杆轴不垂直可以吗？求AB转角，由于桁架只能承受结点荷载，虚力状态应在AB两端施加一力偶矩为1的力偶。静定结构位移计算第五章外加力偶的轴向分量FN在AB轴向伸缩变形上做的功外力虚功待求位移内力虚功待求位移静定结构位移计算第五章 求两点的相对线位移：在拟求位移两点沿相对线位移方向施加一对方 向相反的单位力。求DAB， 求两截面或两桁架杆件的相对转角：在两处施加一对反向作用的单位力 矩或单位力偶矩。求C左右截面相对转角求AB、BC相对转角静定结构位移计算第五章 桁架只有轴力，无弯矩和剪力，故，位移计算公式简化为【例1】 求

16、图示桁架C点的竖向位移DCV。所有各杆EA为常量。真实位移状态虚拟力状态5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构位移计算第五章 梁和刚架对于杆系结构，轴力和剪力对位移的影响一般要比弯矩的影响小得多，通常可以忽略不计，故，位移计算公式简化为【例2】 求图示刚架C截面的转角qC。所有各杆EI为常量。真实位移状态虚拟力状态静定结构位移计算第五章 组合结构对于组合结构，桁架杆只有轴力，而受弯杆件与梁和刚架类似，通常只考虑弯矩的影响，故，位移计算公式简化为该项仅对桁架杆 曲杆和拱严格地说，位移计算的一般公式只适用于直杆，当 时，可不考虑曲率的影响，按直杆公式近似计算位移，即静定结构位移计算第五章【

17、例3】 求图示圆弧悬臂端B的竖向位移DBV。已知EI为常量。真实位移状态虚拟力状态可见，DN、DQ通常可以忽略。静定结构位移计算第五章梁和刚架位移计算公式 ，当杆件数量较多，荷载复杂时，积分计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。5-5 图乘法（ Graphic Multiplication Method ）直杆；EI为常量；两个弯矩图中至少有一个是直线。静定结构位移计算第五章图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。图乘法本质：把复杂的数学积分计算化成求图形的面积、形心和纵标问题。 图乘法应用说明图乘法的适用条件是什么？正负号规

18、则：若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。常见图形的面积和形心： 抛物线顶点处的切线应与基线平行，否则，为非标抛物线。非标抛物线的面积和形心不能按上式计算，属于复杂图形，面积、形心计算方法后述。非标抛物线（三角形的面积和形心此不赘述）静定结构位移计算第五章两梯形图乘公式：注意：abcd同侧同号，异侧异号。复杂图形可根据叠加原理分解成简单图形【例】=+静定结构位移计算第五章如果求yc的图形是分段直线，那么w图形也应该对应地分段，即yc只能 取自一条直线。【例】上例（）（）正确做法为：【例】两个容易犯的错误：纵标yc必须取自直线图形，即，两图形中如果只有一个是直线变化， 那么，曲线的求w，

19、直线的求yc。（）静定结构位移计算第五章【例1】判别下列位移计算是否正确，并说明理由。如错误，改正之。位移状态虚力状态求DCV错误，yc应取自一条直线。正确做法为：位移状态虚力状态求DBV错误，MP图非标准抛物线。正确做法为：静定结构位移计算第五章虚力状态【例2】已知图示梁EI=1.5105kNm2，求给定荷载作用下C点的竖向位移。【解】静定结构位移计算第五章【解】【例3】求水压力作用下C、D之间的距离变化。已知各杆EI相同。三次抛物线二次抛物线静定结构位移计算第五章【解】【例4】求C截面转角。已知各杆EI为常量。静定结构位移计算第五章【解】如何求M图？复杂刚架先附属(BDE)，再基本(ACD

20、)【例5】求E结点截面转角。已知各杆EI为常量。静定结构位移计算第五章(转动弹簧)(线弹簧)(EB段)(CD+DE段)【解】杆件弯曲内力功线弹簧内力功转动弹簧内力功静定结构位移计算第五章【解】【例6】求图示结构C点的竖向位移。已知I0.03Am2。静定结构位移计算第五章5-6 静定结构在广义荷载作用下的位移计算一、静定结构温度变化时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)温度变化产生位移计算的一般公式等式及式中各项的物理含义？要求

21、Dt的关键是温度产生的变形 的计算。图示结构，设外侧温度升高t1，内侧温度升高t2 ，求K点的竖向位移Dkt。为了分析 ，在结构杆件上任意截取ds微段。静定结构位移计算第五章设温度沿杆件截面厚度为线性分布（温度场假定），则杆轴温度变化t0为：上、下边缘的温差Dt为：微段轴向伸长 为：温度变化不产生剪应变：微段截面相对转角 为：其中a为材料的线膨胀系数。静定结构位移计算第五章虚力状态如下：FP=1静定结构位移计算第五章由虚功原理，得对于等截面直杆轴力图 面积弯矩图 面积上式中的符号判断规则：注意：对于梁和刚架，一般荷载作用下通常忽略轴力产生的位移 ，而温度变化情况下轴力产生的位移不可忽略。 t0

22、、Dt取绝对值。若Dt引起的杆件弯曲变形方向和由 引起的弯曲方向一致，取正，反之取负。若t0引起的杆件轴向伸缩和由 引起的杆件轴向伸缩一致，取正，反之取负。静定结构位移计算第五章【解】建立虚力状态【例1】图示刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度 -10 ，内侧温度为0 时A点的竖向位移DAy。已知 l=4m，a=10-5，各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4m。虚拟力状态真实位移状态虚力状态内力图为：图图静定结构位移计算第五章（支座位移引起的位移计算一般表达式）从而二、静定结构支座位移时的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Dete

23、rminate Structures Induced by Support Movement)图(a)所示结构发生支座位移C1、C2、C3，欲求K点竖向位移DKC，建立图(b)所示的虚力状态。K(a)K1(b)真实位移状态虚拟力状态虚功方程为 We=Wi。静定结构在支座位移情况下，既不产生内力，也不产生变形，只发生刚体位移，故正确理解公式及其各符号的物理含义静定结构位移计算第五章【解】【例1】求C点水平位移DCx。CBAACCBA虚拟力状态位移方向根据数值计算结果的正负判别。静定结构位移计算第五章【例2】已知l=12m，h=8m， DBx=0.04m， DBy=0.06m，求A截面转角fA。F

24、AyFAx【解】建立虚力状态，并求支座反力。( )静定结构位移计算第五章三、静定结构制造误差引起的位移计算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Manufacturing Error)制造误差就是结构在位移状态的变形，故应用位移计算一般公式计算由制造误差引起的位移时，只需建立虚力状态并求与制造误差对应的结构内力，然后代入位移计算一般公式即可。【例1】图示桁架每根上弦杆加长了8mm，求由此引起的A点竖向位移。AA静定结构位移计算第五章【例2】图示结构AB、BC原设计为直杆，现加工

25、成圆弧，求由此引起的D点竖向位移。DCAB【解】本例制造误差为弯曲变形。建立虚力状态如下：DCAB弯矩与弯曲变形一致为正静定结构位移计算第五章5-7 线弹性体系的互等定理（ Reciprocal Theory in Linear Structures ）考虑体系受P1、P2共同作用的情况。一、功的互等定理 推导方法一(a)(b)是同一线弹性体系的两个不同受力状态。12(b)状态12(a)状态先加P1、再加P2：12实功虚功静定结构位移计算第五章先加P1、再加P2：12实功虚功先加P2、再加P1：12实功虚功因为功与路径无关，是状态的函数，所以 ，从而在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功，简称功的互等。静定结构位移计算第五章 推导方法二12(a)状态内力