江苏省高考压轴卷数学文(解析版)

1、绝密启封前江苏省高考压轴卷数 学文科数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解析题（第15题第20题）.本卷满分为160分, 考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.球体的体积公式：V= -nR3,其中为球体的半径.3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出

2、解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）.全集 U = 1,2,3,4,5,集合 A= 13,4 B=3,5,则 eU（Ac B） .已知i是虚数单位，若（/i）（ a+i） =2, aw R,则a =.我国古代数学算经十书之一的九章算术一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人.如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 . 3 一 一5 x 3.已知 f (x) = sin (xT),若 pC1 , 3, 5, 7,则 f (p) w 0 的概率为.7一.已知函数f(x)=2si

3、n Ox+e )( co 0,|加v,)的部分图象如图所不，贝Uf( 7_)的值为22.已知A, B分别是双曲线 C：土-匕=1的左、右顶点，P (3, 4)为C上一点，则4 PAB的外接圆的 m 2标准方程为.已知f (x)是R上的偶函数，且当x0时，f (x) = |x2-3x| ,则不等式f(x-2)W2的解集为 .若函数f (x) =a1nx, (aC R)与函数g (x) = xx ,在公共点处有共同的切线，则实数 a的值.设 A, B 在圆 x2+y2=4上运动，且 AB=2，3,点P在直线3x+4y- 15 = 0上运动.则| PA + PB |的最小值是.在ABC4角A B,

4、C所对的边分别为 a, b, c, Z ABC=空，/ ABC勺平分线交 AC于点D,3BD= 1,则a+c的最小值为r .如图，点D为 ABCW边BC上一点，BD =2DC , En (nCN)为AC上一列点，且满足:1EnA =(4anT)EnD +EnB ,其中实数列4an F5an满足4an- 1w0,且日=2,则1+1+1+1a1 -1 a? T 23 -1an -1V 9 ,/ 、10(x 1)e -, x ：:： 0.已知函数f(x)=2-3x2+6x,x _ 0其中e是自然对数的底数.若集合 xCZ|x (f (x)-mj) 0中有且仅有4个元素，则整数 m的个数为 .二、解答

5、题(本大题共 6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内).(本小题满分14分)如图，在直四棱柱 ABC ABGD中，已知点M为棱BC上异于B, C的一点.(1)若M为BC中点，求证： AC/平面ABM;(2)若平面 ABM1平面BBCiC,求证：AML BC .-_1-2二.(本小题满分 14 分)已知 a =(一,冗)，B u (0, ), cos(a P) = -,a + B = .2273(1)求 sin(2a-2?)的值；(2)求cosa的值.17.(本小题满分14分)学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知A

6、B8,ZC=/CBA= 0 , BC= a.在它的内接正方形 DEF曲建房，其余部分绿化，假设 ABC勺面积为S,2正方形DEFG勺面积为T.(1)用a,。表示S和T；(2)设f (。)= T,试求f (。)的最大值P;S2 x 18.(本小题满分16分)已知椭圆C：+ a4 = 1 (a b0)的离心率为,短轴长为 272 . b2 (I)求C的方程；(n)如图，经过椭圆左项点 A且斜率为k (kw0)直线l与C交于A B两点，交y轴于点E,点P为线AH于点段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为 H,过点E作与OP(O为坐标原点)垂直的直线交直线.2M且 APM面积为 K ,求k的值.1 2

7、.(本小题满分16分)已知函数f(x) = 2lnx+x ax,awR.(1)当a =3时，求函数f (x广勺极值；(2)设函数f (x挺x=x0处的切线方程为 y = g(x),若函数y= f (x )-g(x)是(0,+8)上的单调增函数，求x0的值；(3)是否存在一条直线与函数y = f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由.(本小题满分16分)已知集合A= ai,a2,a3,，an,其中a C R (iwiwn,n2),l(A)表示和a+a (1 w i v j w n)中所有不同值的个数.(I)设集合 P= 2, 4, 6, 8, Q= 2, 4, 8, 16,分别求 l (

8、P)和 l (Q;(n)若集合 A= 2, 4, 8,，2n,求证：l(A); Mn-D2(m) l(A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？江苏省高考压轴卷数学.【答案】1 , 2, 4, 5【解析】解：An B= 3,则？U (An B) = 1 , 2, 4, 5,故答案为：1 , 2, 4, 5,.【答案】1.【解析】解：:( 1 i) (a+i ) = ( a+1) + (1 a) i = 2,a 1 =21 -a =0.【答案】60.【解析】解：由题意可知，抽样比为 500.故北乡应抽8100X2= 180,南乡8100 9000 5400 4545应抽

9、5400X = 120, 45所以 180- 120=60,即北乡比南乡多抽 60人，故答案为：60.【答案】2后31 .1【解析】解：由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是计算并输出变量2x - -3 x 0y = x的3x x 0时，y=2x +13之2e3, x当 xw。时，y=3xC (0, 1,则输出y的取值范围是2疟31.故答案为：2丘31 .【答案】-4 ._ 一 一3x -5x 3【解析】解：.函数 f(x)=4,f (m) = - 6,-log2(x 1) x - 3页5第当 mx 3 时，f (n) = 3m-2- 5= - 6,无解;当 m3 时，f (nj = - l

10、og 2 (m+1) = - 6,解得mr 63,1- f (61) = f (2) =3?2-5=-4.故答案为：-4.4【解析】解： f (x) = sin (x1), pC1 , 3, 5, 7,f (1) = sin0 = 0,f (3) = sin2 0,f (5) = sin4 0,f (7) = sin6 0,.f (p) 0, H | -)的部分图象，可得-=+ 3=2再根据五点法作图可得 2，二十4=0,求得e=一二，.函数f (x) =2sin ( 2x-), 1266f (至)=2sin (至土)= 2sin 13 = 2sin = 1, 63666故答案为：1 .8.【

11、答案】x2+ (y-3) 2=10.【解析】解：P (3, 4)为C上的一点，一 9 16-1所以9- 12=1,解得m 1, m 2所以 A ( 1, 0) B (1, 0),设PAB的外接圆白圆心(0, b),则 1+b2= 32+ (b-4) 2,解得 b=3,则4PAB的外接圆的标准方程为 x2+ (y-3) 2= 10.故答案为：x2+ (y-3) 2=10.9.【答案】x| - 30时，f (x) = |x2-3x| ,x _ 0. 一317 此时若有f (x) W2,即 ,解可得0Wxw 1或2Wxw 3 717 ,即此时f (x) W2的解集|x2 -3x|22为x|0 wxw

12、i 或 2wxw 三7,I又由f (x)为偶函数，则当 xw 0时，f (x) 2的解集为x| - iwxw 0或-3； I7 x - 2,综合可得：f (x) w 2的解集为x| - iwxw 1或2x 3+厂或3+ wxw - 2;则不等式 f (x - 2) 2 的解集x| - 3wxw 1 或 0wxw 171 或-7 47 x - 4;故答案为:一八17-1 .717.x| - 3x 1 或 0W xw 或 x0.x02 J %由 f (x。)= g (x。)，可得 alnx0= Jx.联立2x0 =4aalnx0=外e故答案为：e211.【答案】5.【解析】解：取AB的中点M 连

13、OM 则 OML AB. . |OM |= J|OA |2 -1 BM |2 = J4-3 =1 ,即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆.|PA pB| = 2| pM|, 一一 ,15设点O到直线3x+4y 15= 0的距离为d =3,.9 16所以2| PM| 2d-1=6- 1=5 （当且仅当OPLl, M为线段OP与圆x2+y2= 1的交点时取等） 故答案为：5.12.【答案】4.【解析】 解：由题意得 1 acsin 2= 1asin 1- csin, 2323 23即 ac= a+c,得 H= 1,得 a+c= (a+c)(1+1 ) = 2 + +a 2 + 2 /-旦= 2

14、+ 2 = 4 , a c a c , a c当且仅当a= c时，取等号故答案为：4n 113. L 答案334n2【解析】解：点 D为ABC勺边BC上一点,BD =2DC,EnD 年=2(EnC -D)EnC EnD -EnB22一T 3, 一 ，T又 EnA = ?EnC =-EnD EnB,224an -1 = -34an 1, 54an - 14an 1-4=1-3 4an-44an -1 4an-1an 1 -1 =an -114an -1 an 1 -1 an -1二4an -111+2 =3(+2),an 1 - 1an - 11_ n1_ n _2 =3 , =3 -2.an

15、-1an -1Sn =3 (1一312=3一3一4n1 -33n 1 -3 _4n 故答案为：33n214.已知函数f (x) =*其中e是自然对数的底数.若集合 xCZ|x(x)-mj 0中有且仅有4个元素，则整数 m的个数为【解析】解：: x = 0CA,符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可.画出f (x)的图象如下图:当 x0 时，f (x) m| 当 xf (x).即y轴左侧的图象在y=m下面，y轴右侧的图象在y=m上面,. f (3)=-3X9+18=- 9,f (4)=- 3X 16+24=-24,f (-3)= -(- 3) 3 - 3 x(-3)2+4=4,f (-4)=

16、-(- 4) 3-3X(-4)2+4= 20,平移y=a,由图可知：当-24V aw - 9 时，A= 1 ,2,3,符合题意；a=0 时，A= - 1, 1, 2,符合题意；2waW3 时，A= 1 , -1, -2,符合题意；4Wa20 时，A= - 1, -2, -3,符合题意； 页11,. .整数 m的值为23, 22, - 21, - 20, - 19, - 18, - 17, - 16, - 15, - 14, - 13, - 12, 10, 9, 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,共 34

17、 个.故答案为：34 .-5-10|15.答案】见解析.【解析】证明：（1）连结AB,交AB于N,则N是A B的中点,在直四棱柱 ABCDABC1D中，M为BC中点，MIN/ AC,. AC?平面 ABM MN?平面 ABM.AC/平面 ABM解：（2）过B作BH B1M,垂足为P,平面ABML平面BBCC,且交线为BMBP?平面 ABM AM?平面 ABCDBBLAM直四棱柱 ABCB ABCD中，BB,平面 ABCDAM?平面 ABCD - BB AM又 BPn BB=B, AML平面 BBCC,又 BC?平面 BBGC, AML BC TOC o 1-5 h z 16.答案（1）空.（2

18、）旦 49141-2 二【斛析】斛：(1) ,已知 o( ,n), Pe(0,), cos(a 一 P ) =一，a + P =, 2273sin( a.- P) = W. cos2(匕 P):逑,7sin(2a-2P) = 2sin( a- P) cos( a- P)49(2)cos2a= cos( a + P) +(a- P)= cosa +P)cos。 P) -sin(ct + P)sin（二一：1 1,3 4 3132-=一 一=2cos a-1,2 72714求得cos= -14或 cos =1417.【答案】(1) S= 1 a2tan2n0 , 0 e(0, -)； t综上，co

19、sa=714(asin ?)(sin【cos 1 1)29二4()-2 , 0 (0, -) ;(2)-.【解析】解：（1）由题意知,AC= atan 0 ,所以 ABC勺面积为:S= 1 AC?BC= 1 a2tan。，其中 0 （0,ji又 DG= G展 BRinCGcos1a -BGcos 日所以BG=2T= DG2(asin f)2(sin c cos1)2(0,（2）由题意知f（旬_ 2sin cos71(sin c cos1 1)2(0,sin 二 cos 二 1 dgasine,sin - cos - 1所以正方形DEFG勺面积为:所以f( e)=sincosu 1sini co

20、si由 sin 0 cos 0=1 sin2 0 (0, 1 ,所以 sin 二 cos_5sin c cos1 2,当且仅当sin2 0=1,TT=上时“=”成立;4所以f (。)的最大值P为4 .918.【答案】(I) + - = 142(n)【解析】解：(I)由题意可得2b =242，解得 a= 2, b= y2 , c= /2 ,2.22a = b c22椭圆C的方程为 + - = 1 .42(n)易知椭圆左顶点 A ( - 2,0),设直线l的方程为y=k (x+2),E (0, 2k),H (0, 2k),y = k(x 2)消y可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2- 4=0设

21、 A (x1, y。,B (x2, v公，P (x% = 64k4 4(8k2- 4) (1+2k2) = 16贝U有 xi+x2 =8k28k 42 , x1x2= 2-,1 2k21 2k21 ,、 . xo= - (xi+x2)=24k21 2k22k,y0= k (xo+2)=1 2k2直线x02kEM勺斜率kE 2k,直线页EM勺方程为y=2kx+2k,直线AH的方程为y= - k (x+2),4.1 k2- 2，1 2k2AP1=-AB2=2 J k2 1+2k2 逢PM 一1 m 1 21+kAP ?d22 1 +2k244l.k|k|33,1k21 2k2解得k = 2219.

22、【答案】（1）f （x ）的极大值为5f( 1 )= ；极小值为 f( 2 )=2ln24; (2) x0=V2; (3)见2解析【解析】（1）当a =3时，函数.1 2，-f (x)=2lnx+ax23x 的定义域为(0,+出,2则 f x = xxx2 -3x 2 一. 一一一 3 =，令 f (x ) = 0得，x =1 或 x = 2 .列表:xx(0,1)1(1,2)2(2,+叼f(x)+00+f (x)极大值极小值所以函数f(X)的极大值为f (1 )= 5 ；极小值为f ( 2 )=2ln2-4 .2(2)依题意，切线方程为 y =f 0),从而 g(x) =f a0 Xx -X

23、o )+f (x0 Xxo 0),记 p(x )=f (x 卜g(x ),则p(x )=f (xbf(X0 )f x0 +在(0,x0因为 x +222 Jx 2 =272x - x(当且仅当x = , 2时，等号成立)_2 2一所以 2j22x0 +，从而(x0_J2) 0 ,所以 =J2.x。(3)假设存在一条直线与函数f(Y)的图象有两个不同的切点Ti(xi,yi),T2(x2,y2),不妨0(xix2,则Ti处切线li的方程为:y-f (xi 尸f(xi p-xiT2处切线12的方程为:y-f (x2 户f*x -x2).因为1112为同一直线,所以SlM % ),即f xi -xif xi)；=f x2 -x2f x2 .21nxiixi2-axi-xi2整理得,21nx1Z+xi-a-j-a, xix22i xi - a xi1=21nx 2 x 222-ax2 -x22x2 -a x2xx 2 = 2,i 2-xi =21nx2212-2x2消去X2得,21n22xi 2 xi2xi=0 .2令t =辽，由02f (x )的图象有两个不同的切点.解析解：(I )根据题中的定义可知：由 2+4=6, 2+6=8, 2+8=10, 4+6=10, 4+8=12, 6+