2022年高考数学一轮复习单元质检3导数及其应用含解析新人教A版

1、PAGE PAGE 11单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒答案:C解析:根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.12D.-12答案:B解析:因为y=x+1x-1的导数为y=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的

2、切线斜率k=-12.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a-12=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-33,+)B.-3,3C.(-,-3)(3,+)D.(-3,3)答案:B解析:由题意,知f(x)=-3x2+2ax-10在R上恒成立,故=(2a)2-4(-3)(-1)0,解得-3a3.5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:

3、A解析:由f(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0 x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f12=34+ln20,所以无零点.6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案:D解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.

4、故切线方程为y=x.7.已知当x12,2时,a1-xx+ln x恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:令f(x)=1-xx+lnx,则f(x)=x-1x2.当x12,1时,f(x)0.f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2上单调递增,在x12,2上,f(x)min=f(1)=0,a0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=ln x+tan 02的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则的取值范围为()A.4,2B.0,3C.6,4D.0,4答案:A解析:f(x)=lnx+tan,f(x)=1x.令f(x)=f(x),得lnx+tan=1

5、x,即tan=1x-lnx.设g(x)=1x-lnx,显然g(x)在区间(0,+)内单调递减,而当x0时,g(x)+,故要使满足f(x)=f(x)的根x0g(1)=1.又02,4,2.9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案:D解析:当x0,即f(x)g(x)0,当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)=0.故当x-3时,f(x)g(x)0

6、时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0 x3时,f(x)g(x)0,解得x344,令f(x)344,故f(x)在区间0,344内递增,在区间344,+内递减,故f(x)的最大值是f344,a=344.11.若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则实数a的取值范围是()A.2,52B.2,52C.2,103D.2,103答案:C解析:若f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则f(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点,且零点不是f(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因为x12,3,y=x+1x

7、的值域是2,103,当a=2时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是2,103,故选C.12.(2021全国,文12)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.abC.aba2答案:D解析:因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)(2x-2b)+(x-a)=a(x-a)3x-(a+2b)=3a(x-a)x-a+2b3.由f(x)=0,解得x=a或x=a+2b3.若a0,则由x=a为函数f(x)的极大值点,可得a+2b3a,化简得ba.此时在区间-,a+2b

8、3和(a,+)内,f(x)0,函数f(x)单调递增.此时a(a-b)0,即a20,则由x=a为函数的极大值点可得aa+2b3,化简得a0,函数f(x)单调递增;在区间a,a+2b3内,f(x)0,函数f(x)单调递减.此时a(a-b)0,即a2ab.综上可得a2ab.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0)处的切线方程是.答案:x-y+4=0解析:f(x)-g(x)=ex+x2+1,f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f(

9、x)=ex+e-x+2x2+22,g(x)=e-x-ex2.h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+12e-x+2x2+2.h(x)=32ex-12e-x+4x,即h(0)=32-12=1,又h(0)=4,所求的切线方程是x-y+4=0.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)内是减函数,则实数a的取值范围是.答案:(-,-3解析:由题意可知f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立,则a0,=62+43a0,解得a-3.15.函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若x1,x2使得f(x1)g(x2)成立,

10、则a的取值范围是.答案:(2,+)解析:由题意,若x1,x2使得f(x1)g(x2)成立,可转化为f(x)min0),当x(0,1)时,g(x)0,则函数g(x)单调递增;当x(1,+)时,g(x)1,解得a2,即实数a的取值范围是(2,+).16.已知函数f(x)=xln x+12x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:0 x01e;f(x0)+x00.其中真命题是.(填出所有真命题的序号)答案:解析:由已知得f(x)=lnx+x+1(x0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x0),由g(x)=1x+1,当x(0,+)时,有g(x)0总成立,所以g(x)在区间(0,+)内单调递增

11、,且g1e=1e0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f(x0)=g(x0)=0,即g1eg(x0),所以0 x01e,即命题成立,则命题错;因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0+12x02+x0=x0(lnx0+x0+1)-12x02=-12x020,所以f(x)=0有两个不相等的实数根.所以不存在实数a,使得f(x)是在区间(-,+)内的单调函数.18.(12分)已知f(x)=x3-12x2-2x+5.(1)求f(x)的单调区间;(2)过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.解:(1)f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),故f(x)在

12、区间-,-23,(1,+)内单调递增,在区间-23,1内单调递减.(2)设切点为(x0,f(x0),则切线的方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),即y-(x03-12x02-2x0+5)=(3x02-x0-2)(x-x0).又点(0,a)在切线上,故a-x03-12x02-2x0+5=(3x02-x0-2)(0-x0),即a=-2x03+12x02+5.令g(x)=-2x3+12x2+5,由已知得y=a的图象与g(x)=-2x3+12x2+5的图象有三个交点,g(x)=-6x2+x,令g(x)=0,得x1=0,x2=16,g(x1)=5,g(x2)=51216,故a的取值范围为5,51

13、216.19.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex.答案:(1)解由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a.因为f(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln2.当xln2时,f(x)ln2时,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)证明令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由

14、(1),得g(x)=f(x)f(ln2)=2-ln40,故g(x)在R上单调递增.因为g(0)=10,所以当x0,g(x)g(0)0,即x2ex.20.(12分)已知函数f(x)=ln x-x.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)函数g(x)=f(x)+x+12x-m有两个零点x1,x2,且x11.答案:(1)解函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1=1-xx.令f(x)0,解得0 x1;令f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明根据题意得g(x)=lnx+12x-m(x0).因为x1,x2是函数g(x)=lnx+12x-m的两

15、个零点,所以lnx1+12x1-m=0,lnx2+12x2-m=0.两式相减,可得lnx1x2=12x2-12x1,即lnx1x2=x1-x22x2x1,故x1x2=x1-x22lnx1x2,因此x1=x1x2-12lnx1x2,x2=1-x2x12lnx1x2.令t=x1x2,其中0t1,则x1+x2=t-12lnt+1-1t2lnt=t-1t2lnt.构造函数h(t)=t-1t-2lnt(0t1),则h(t)=(t-1)2t2.因为0t0恒成立,故h(t)h(1),即t-1t-2lnt1,故x1+x21.21.(12分)已知函数f(x)=(ex-e)ex+ax2,aR.(1)讨论f(x)的

16、单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=x(ex+1+2a),当a0时,ex+1+2a0,若x(-,0),则f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增;当-e2a0,函数f(x)单调递增,若x(ln(-2a)-1,0),则f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增;当a=-e2时,f(x)=x(ex+1+2a)0恒成立,函数f(x)单调递增;当a0,函数f(x)单调递增,若x(0,ln(-2a)-1),则f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增.(2)当a=0时,f(x)=(ex-e)ex有唯一零点x=1,不符合题意

17、;由(1)知,当a0时,若x(-,0),则函数f(x)单调递减,若x(0,+),则函数f(x)单调递增,当x-时,f(x)+;当x+时,f(x)+,f(0)=-e0必有两个零点;当-e2a0时,若x(-,ln(-2a)-1),则函数f(x)单调递增,若x(ln(-2a)-1,0),则函数f(x)单调递减,若x(0,+),则函数f(x)单调递增,f(ln(-2a)-1)=-2a(ln(-2a)-1)+a(ln(-2a)-1)20,f(0)=-e0,函数f(x)至多有一个零点;当a=-e2时,函数f(x)单调递增,函数f(x)至多有一个零点;当a-e2时,若x(-,0),则函数f(x)单调递增,若

18、x(0,ln(-2a)-1),则函数f(x)单调递减,若x(ln(-2a)-1,+),则函数f(x)单调递增,f(0)=-e0时,函数f(x)有两个零点.22.(12分)已知1a2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在(0,+)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+)上的零点,证明:a-1x02(a-1);x0f(ex0)(e-1)(a-1)a.答案:证明(1)因为f(0)=1-a0,所以y=f(x)在(0,+)上存在零点.因为f(x)=ex-1,所以当x0时,f(x)0,故函数f(x)在0,+)上单调递增,所以函数y=f(x)在(0,+)上有唯一零点.(2)令g(x)=ex-12x2-x-1(x0),g(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由知函数g(x)在0,+)上单调递增,故当x0时,g(x)g(0)=0,所以函数g(x)在0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=0.由g(2(a-1)0,得f(2(a-1)=e2(a-1)-2(a-1)-a0