解题研究二次曲线中的距离最值问题点点问题点线问题线段和差问题--712

1、努力的你，未来可期二次曲线的最值问题距离问题常见的有四大类：.求圆锥曲线上一动点到某一定点的距离的最值问题解题策略：(1)定义法：如果该定点恰好是该圆锥曲线的焦点或其他特殊点时，可以利用定义以及一些小结论来解决问题；(2)直接法：直接设动点 (x, y)和使用两点间的距离公式，然后通过曲线方程换元，将其化简为二次函数的最值问题来解决，但是要注意圆锥曲线变量的取值范围；.求圆锥曲线上的一动点到某一直线距离的最值问题解题策略：(1)直接法：若是抛物线，往往可以直接设动点(x,y)和使用点到直线的距离公式，然后通过曲线方程换元，将其化简为二次函数的最值问题来解决，但是要注意圆锥曲线变量的取值范围；(

2、2)参数法：若是椭圆，直接法在曲线方程换元那里出现问题，所以可以设成参数方程x = aco s口，也是将其转化为三角的最值问题来解决；y =bsi 巾(3)切线法：特殊做法，仅限此类题。由图像可知，往往是曲线与将直线相离，将直线平拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期移，直到相切时，切点就是那个最值的特殊点，此时只需利用综合法的=0即可求出切线方程，再利用两平行线间的距离公式即可;.求圆锥曲线上的一动点到两个点(或者线等)两个距离之和(或者之差)的最值问题(两距离最值)解题策略：基本都不能直接做，利用定义转移，运用平面几何知识找到最值，直接计算即可;.求圆锥曲线上的一动点到另一动点的最值问题(

3、多动点最值)解题策略：基本都不能直接做,“主动点”在圆锥曲线上，而“副动点”往往是在圆上，最值就是直接计算到圆心的距离，再加(减)半径(可用三角形两边之和大于第三边来证) 然后，再利用定义转移，即可。椭圆题型一：点到点的距离问题PQ的最大值2X 2例题1：点P在椭圆-2 + y =1 (a1)上，点Q是短轴的一个端点，则a为.解：设 P(x, y),取 Q(0,1),则|PQ2 =x2 +(y 1)2 =(1a2) y2 2y + (a2 +1) (-1 y1), ，一一 1 一， ，一对称轴是y =2,开口向下，所以讨论如下：-aE T ,即1 a E J2 ,当y = -1时，PQ有最大值

4、，为2 ;-a11 TM2 0,即a之J2 ,当y =2时，PQ有最大值，为-a21 -a2点评：坐标法。二次函数含参范围讨论题。拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期题型二：点到线的距离问题22_ xV例题2：已知点P在椭圆 一 + =1上，则P到直线l : x - y + 7 = 0的最短距离是 25 16解：解法一：设 P(5cos0,4sin 0),所以 d =5cos 4sini 72J2 (-1)2| 41sin(i) 7解法所以:x y +c = 0 , l与椭圆相切,联立消元，得 41x2 +50cx+25c2 400 = 0,再 A = 0= c = J41 ,所以两平行线最

5、小距离是7-741d = ,12 (-1)22一7-,41)2点评：解法一，若本题仍旧使用点到直线距离公式，会发现无法化到二次函数形式，因此使 用参数式。解法二，切线法。题型三：线段和最值问题_22例题3:已知A(-2,而，F是椭圆+-=1的右焦点，点M在椭圆上移动，当| MA + 2| MF16 12取最小值时，求点 M的坐标。解：结合图形，利用椭圆第二定义有|MA| -2|MF |=|MA| |MP| |AA|这里|Mp、|Ap分别表示点A到准线的距离和点 M到准线的距离。拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期设直线l是椭圆的右准线， MPl ,垂足为P,则 业J = e|MP|1由已知方

6、程付 a = 4, b = 2、.；3, -0=2, e = ,21由此 |MP| = |MF | 二 2|MF | e从而|MA|+2|MF |=|MA|+|MP闫AA|即当点M A、P三点共线且M是AP内分点时等号成立，此时|MA|+2| MF |取得最小值，M坐标为(2J3,J3) TOC o 1-5 h z 22.一 ，一 x V . 一，一.例题4:若椭圆十匚=1内有一点P (1,1), F为右焦点，点 M是椭圆上一动点，求 43MP +|MF|的最小值解：设F1是椭圆的左焦点，根据椭圆第一定义MF1| +|MF| =4所以 MP| +1| MF | =4+ MP -jMFj ； (

7、 MP MF1 )min = PF1所以(MP + MF )min = 4 - PF = 4- 4322巩固1:已知椭圆：X +，= 1(0b3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短,2b2则售=3.所以b2 = 3,即b=43.巩固2：椭圆x +上 = 1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时，点P的9 25坐标是.解：记椭圆的两个焦点分别为 F1, F2,有|PF1|十|PF2| = 2a=10.拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期则 m=|PFi| |PF2|0 |PF1|；|PF2|)=25,当且仅当|PFi|=|PF2|=5,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得

8、最大值25.点P的坐标为(一3,0)或(3,0).22XV巩固3:已知椭圆 +L=1, A(4, 0), B(2, 2)是椭圆内白两点，P是椭圆上任一点,25 9求5|PA| 十|PB|的最小值。4 |PA|4解：A为椭圆的右焦点。作 PQL右准线于点 Q,则由椭圆的第二定义_LO = e=|PQ| 55八 一 |PA| |PB|=|PQ| | PB|, 4显然点 P应是过 B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174yr拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期双曲线题型一：点到点的距离问题例题1：已知双曲线C: y2 x2 =4求点P(1,0)到此双曲线上的点的最近距离 .解；设双曲线上的点(

9、X/)到点尸的距离为d2 =(x-l)2 +y2 = / - 2x+l + 4+/ =2/ -2#+5，当=1时取得最小值而222巩固1：已知双曲线 C:y2 =1,P是C上的任意点.4(I )求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(n )设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值.解：(I )设乳双田)是双曲线上任意一点该双曲线的两条海近线方程分别是冗-2尸0和 x+2y=0#点Pg,。到两条湖谑戋的距离分别是I 再2印 g +2Ml丁厂一，它们的乘积是1工匚出上况 二工14 LL#乖55-.点P到双眼& C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.22 2o x25 . 12

10、.2 4(n )设 P 的坐标为(xy),则|PA = (x 3) +y =(x 3)2 +1 =一(x)+一.4455拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期|x| 2,当 X =12时,|PA|2的最小值为4,即|PA|的最小值为 552Q为双曲线上的一个动点，则 PQ的巩固2：设P为双曲线 勺y2 =1虚轴的一个端点,最小值为.解析：设Q(x, y),取P(0,1),则PQ2 = x2 +(y1)2 =(a2 +1) y2 -2y +(a2 +1) yw R,所以，当y=时，PQ有最小值，为 Ja2+1 a2+1Va2 +1题型二：线段和最值问题22例题2:已知F是双曲线 上L=1的左焦点

11、,A(1,4),P是双曲线上的动点，则|PF|+|PA|的最 4 12小值为.由双曲线的图象可知当点F共线时n满足巾阳最小易知最小值为|X尸|二向拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期. 22巩固：已知F是双曲线C:x - y =2的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,2).当APF周长最小时，求 P的坐标.解：设双曲线左焦点为居(-2, 0),于是由双曲线性质|F尸|一|产司=。所以+ 向| +1?产| =尸|+1理| + 2口之|版|+印+ 2% 当且仅当小尸、为共线时等号成立，即的 的周长最小”户位于4时为所求*直线月耳二y 二工+ 2与双曲线方程联立得到片(-亍R * .P dM拼搏的

12、你，背影很美!努力的你，未来可期 TOC o 1-5 h z 22例题3：已知P是双曲线 上 -L=1右支上的动点，点F是双曲线的右焦点，定点A(8,4), 169求4 PF|+5 PA的最小值.解：由所求4 PF +5PA和e=5的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.4如图：设尸1为尸在右准线上的射影，出为*在右准线上的射影, 则当F在几处时，4附1| + 5启|取到最小值,贝I 4|卫父+5|取|=5,4 51| = 5(|必|+|五山)2 51|-此时的最小值为5卜4| = 5(8竺)=24 *22巩固：已知P是双曲线 -=1右支上的动点，点P是双曲线的右焦点，定点 A(7,6),

13、16 20求2|pf|+31PA的最小值.拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期解,设Pi为P在右准线上的射影，Ai为A在右准线上的射影，/则2附十3网|=3 （白1|十*4|）之3田/“当且仅当小共线时取最大值，此时的最大值为3 kAi卜3（7一号）:19,即21aH + 3 |凡4的最小值为母弟题型三：线段差最值问题2y_例题4: P为双曲线x215= 1右支上一点，M、N分别是圆（*+4尸+丫2=4和仅一4尸+y2=1上的点，则|PM|PN|的最大值为2解：已知两圆圆心（一4,0）和（4,0）（记为Fi和F2）恰为双曲线x2 *=1的两焦点.如图：当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|

14、PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样 |PN|最小= |PF2|1,从而 |PM|PN|的最大值为 |PF“+ 2- （|PF2| 1）=|PF1|-|PF2|+ 3 = 2a + 3= 5.2巩固：P为双曲线X2 2=1右支上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x 3）2+y2=1 8拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期上的点，则|PM|PN|的最大值为2解：已知两圆圆心(一3,0)和(3,0)(记为Fi和F2)恰为双曲线x2 工=1的两焦点.8当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心Fi的距离|PFi

15、|与圆Fi半径之和，同样 |PN|最小=|PF2|1,从而 |PM|PN|的最大值为 |PFi| + 2 (|PF2| 1)= |PFi| |PF2|+ 3=2a + 3= 5.22例题5：已知P是双曲线 人L=i右支上的动点，点F是双曲线的右焦点，定点A(5,4), i6 9求4 PF -5 PA的最大值.5 .解：由所求4|PF|-51PA相e的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解设Pi为P在右准线上的射影，Ai为A在右准线上的射影，则 4|PF|-5|RA|=5 (|FAi|-|PA|)由AiA|.当且仅当出共线时取最大值. TOC o 1-5 h z 169此时的最大值为=5(5 -

16、 一) = = 9 .SP 41尸用=51诩|的最大值为9. HYPERLINK l bookmark41 o Current Document E 2 y2i巩固：已知点A (3, 2), F (2, 0),在双曲线x2-L=i上求一点P,使|PA|- |PF|的311 211值最大.拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期c - 解：a=1, b=6，:c=2, e=2,PF |1设点P到与焦点（2, 0）相应的准线的距离为d,则11 = 2八一| PF |= d d2即在双曲线上求点 P,使P到定点A的距离与到准线的距离之差最大，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的左支上，此时P点纵坐

17、标为2,所求的点为P （叵，2）.抛物线题型一：点到点最值问题例题1：若点P在抛物线y2=4x上移动，点Q在（x1）2 + y2 =上移动，则PQ的最小 9值为.解析：设F （1,0）为抛物线的焦点，恰好为圆心，用三角形一边大于两边之和以及定义转移， TOC o 1-5 h z 广.-一11 .12 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 得则 PQ PF - QF = PF =dP1 =- 333 3点评：定义法。多动点最值问题。题型二：点到线最值问题一一一,._ 2.例题2：已知点P在抛物线y=4x上，则P到直线l : 4x-y-5 = 0的最短

18、距离是 解：解法一：设P（x, y）,拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期则d= 4X-y-5 上42 (-1)217x-1) +4 4,171724x -4x c = 0 ,解法二：设直线l :4x-y+c = 0, l与抛物线相切，联立消元，得再A=0n c = -1,所以两平行线最小距离是-5 14 17.42 (-1)217点评：解法一：直接坐标法计算，二次函数最值问题，即可。而且，抛物线也没有特殊的参 数方程。解法二，切线法。题型三：抛物线定义解决最值问题2例题3：若点P(x0,yo )在抛物线y =4x上移动，点B( 2,3 )，则x0 +|PB的最小值是 解：画出图像，发现点

19、B在抛物线外，用定义转移，设 F (1,0)为抛物线的焦点，得 + PB =(% +1)+ PB 1 = PF + PB -1 FB 1 =布1x0 + PB =(% +1)+ PB -1 = PF + PB -1 之 FB -1 = 710-1点评：定义法。画出图像，发现点B在抛物线外，无直接的几何方法，代数法又太繁，所以想到根据。定义转移。抛物线考查定义较多，往往是转移，值得注意。2例题4：若点F是抛物线y =4x的焦点，若uir uir uun r uir uirFA + FB + FC = 0 ,求 FA + FB解：A(x1,yJB(x2,y2),C(x3,y3), F(1,0).uir uur uur rFA +FB +FC =0， x +x2 +x3 =3uirFAuur 十FBuuu十 FC =区+1)+(x2+1)+(x3+1) = 6uuu+ FC值巩固1：已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F, ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA+ fB + fC = 0,则 + 1+1.kAB kBC kCA 拼搏的你，背影很美!努力的你，未来可期解：由题易知 F 0 ；,设点 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),由 FA+ FB + FC = 0 知,p-2-+12p-22-2X+yy p-2