-A3(第九章第1、2、3节)课件

1、高等数学 A三Tel: 66132415崔洪泉 F-608第九章 向量代数与空间解析几何1 向量及其线性运算一、向量概念有向线段箭头所指的方向就是向量的方向。向量：有大小也有方向的量。一向量起点 M1，终点 M2 ，M1M2aM1M2则向量可用有向线段或a表示。有向线段的长度表示 M1M2 的大小，称为记为 M1M2 或 向量的模,零向量：单位向量：平行向量：相等向量：自由向量：模为 1 的向量，记为 a 0 或 M1M20 。模为 0 的向量，记为 0 .与始点位置无关的向量。可保持大小、方向不变进行平移。以下研究的向量均为自由向量。 两向量的方向相同或相反。 a / b .且方向一致。同理

2、可定义多个向量共面。平行向量也称共线向量。向量夹角：s把其中一向量绕 s 旋转，使其方向与另一向量的方向重合，这个旋转的角度 ，显然，记作或若把一条轴 u 看作向量，类似可定义向量与轴 u 的夹角或空间两轴 u1, u2 的夹角空间一点 A 在轴 u 上的投影:过点 A 作垂直于轴 u 的平面,则平面与轴 u 的交点 A称为点 A 在轴 u 上的投影。. A. Au向量 AB 在轴 u 上的投影:向量 AB 的起点 A 与终点 B 在轴 u 上的投影AB 在轴 u 上的投影向量。u. A. B为 A 与 B, 则 AB 称为记为AB 的值称为AB 在轴 u上的投影。取正；取负。记作, 轴 u

3、称为投影轴。定理1：uA. .B 投影定理u 与平行四边形法则。二、向量的线性运算1. 加减法三角形法则向量的加法运算满足交换律与结合律。n 个向量的相加可记为如三个向量的相加 类似方法可以定义两个向量的减法。2. 数乘( 仍是一向量 )向量数乘满足结合律与分配律。三、空间直角坐标系在平面直角坐标系中，点 M1 (x1, y1), xyM1 (x1, y1).M2 (x2, y2).M1M2x2 x1 为 在 x 轴上的投影或坐标 M1M2y2 y1 为 在 y 轴上的投影或坐标 M1M2x1x2y1y2 M2 (x2, y2),M1M2 平面两点间的距离公式称为向量 的坐标表达式，M1M2称

4、为向量 按基本单位向量的分解式。M1M2由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o, 坐标面 卦限(八个)zox面 空间直角坐标系 向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q, R;坐标面上的点 A, B, C点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0);在空间直角坐标系中:向量 M1M2点 M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2)在 x 轴上的投影为:在 y 轴上的投影为:在 z 轴上的投影为:M1M2xyz0M2(x2, y2, z2)M1(x1, y1,

5、z1)M1M2坐标。分向量或投影向量。 数量 向量方向角。 方向余弦。 方向余弦：由投影定理，为方向余弦的坐标表示式。满足：利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：定义了向量的加法和数乘运算后，可以证明投影定理的推广形式：定理2：定理3：有关向量的一些结论：(1) 向量数乘满足消去律：(3)例 题例1：解：记为例2：已知两点 和以及实数 在直线 AB 上求点 M，使xyzAMB0解：如图所示，因此从而由于因为所以即M点坐标为定比分点课 外 作 业 习题 9 1(A) 3, 5, 8, 9, 11 习题 9 1(B) 2, 3一、向量的数量积 向量的数量积与向量积是向量特有的运算, 它们并不是凭空想

6、象出来的, 而是从物理模型中抽象出来的, 有它们各自的实际意义。例：力对物体所作的功2 向量的数量积 向量积 混合积W =1. 定义，数量积又称为点积或内积。的乘积，数量积。记作即说明：数量积是一个数量（而不是向量）。(1)(2)数量积的正负取决于(3)前例中的功可表示为2. 几何意义由此又得到投影公式：同理， 一个向量的模和另一个向量在这个向数量积的几何意义：量方向上的投影的乘积。3. 基本性质及其运算规律性质：(1)(2)注：零向量方向任意, 可省略。(3)基本单位向量的正交性= 1 ，= 0 .记为运算规律交换律分配律结合律注意：数量积运算不满足消去律。也不一定有下例就可以说明这种情况：

7、4. 数量积的坐标表示法由此可得：=的三个方向角，的三个方向角，显然，例 题例1. 已知求向量与的夹角。解：例2. 应用向量证明不等式：的条件。证：即：并指出等号成立当且仅当时等号成立。即课 外 作 业 习题 9 2(A)1, 3, 4 习题 9 2(B)5, 8, 11二、向量的向量积向量积是两个向量的又一种乘积，也是向量特有的运算,也有其物理模型：设 O 为杠杆 L 的支点，L有一个力 F 作用于杆上 P 点，PO则力 F 对支点 O 所产生的力矩为一向量 M，H的大小的乘积。其大小等于O点到 F 的作用线的距离 OH 与力 F在实际中是非常有用的。即右手四指从 OP 握向 F 时, 大拇

8、指的指向为 M 的正向。显然，力矩向量 M 由 OP 与 F 完全确定。这样由两个向量来确定另一个向量的法则FPM1、定义按下列规则确定新向量 c :(1)(2)向量积，记作, 向量积又称为叉积或外积。按“右手法则”垂直于 所在平面的单位向量。2、几何意义(1)向量积平行四边形的面积。显然，(2)按“右手法则” 垂直于 所在平面，若一向量 c 同时垂直 a 与 b ，则必有：(3)3、性质与运算规律性质：(1)= 0(2)零向量方向任意, 可省略。当时，(3) 基本单位向量的向量积运算规律：(1)不满足交换律(2)满足分配律(3)满足结合律满足反交换律注：向量的向量积不满足消去律例如，但4、向

9、量积的坐标表示法 补充：有关行列式的计算法 1 ：法 2 ：行列式的有关性质：_例 题 例1:(4) 以 a, b 为邻边的平行四边形的面积 S 。解：(1)1 0 -1-1 -2 1(2)(3)(4)求此三角形的面积, AB 上的高及 A 的正弦。例2: 已知三角形 ABC 的顶点坐标为A ( 1, 2, 0 ), B ( 3, 0, -3 ), C ( 5, 2, 6 )，解：ABC？ABC求 AB上的高及 A的正弦。AB上的高 hh= 14 ，例3：解：例4：求证：A, B, D 共线 。证：分析：即 A, B, D 共线 。思 考 题2. 下列各式中，哪些是向量，哪些是数量，哪些无意义

10、？4. 向量 0, 0, 5 与 2, 0, 10 是否共线？否否否否否是三、向量的混合积1.定义所得数量称为混合积，或数量三重积，记作2. 坐标表示式3. 几何意义为棱的平行六面体的体积。h =一般地，有定理1：三个向量中如果有一个为零向量， 或者有两个共线，或者三个共面， 则其混合积必为零；反之亦然。定理2：假定三个非零向量中任何两个都 不共线，则其共面的充要条件是 它们的混合积为零。4. 混合积的性质(1)(2)(3)(4)(5)轮换对称性例：已知不在一平面上的四点求四面体 ABCD 的体积。解：由立体几何知识知道，四面体的体积 V 等于以向量 AB、AC 和 AD 为棱的平行六面体的体

11、积的六分之一。所以有上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。课 外 作 业 习题 9 2(A)6, 9, 13 习题 9 2(B)2, 9, 10, 133. 平 面 及 其 方 程一. 平面的点法式方程法向量：由立体几何知识可知：过一点可作且只能作一张平面垂直于一已知直线。若一非零向量垂直一平面，则称该向量为这平面的法线向量。 所以已知一点与一法向量（直线）就可唯一确定一平面。注意：法向量不唯一简称法向量。作向量 已知平面 上一点 M0 (x0 , y0 , z0) 及平面的法向量建立 的方程。xyz. M0在平面上任取一点 M (x, y, z), M .显然，= 0 ，即有 平面的点法式

12、方程例：一平面过点 M(1, 0, -1) 且平行于向量试求这个解：所以所求平面方程为：即平面方程。二. 平面的一般式方程由平面的点法式方程的展开式可得:其中 A，B，C 不同时为零任一平面都可用点法式方程来表示，反之, 设有三元一次方程 以上两式相减, 得平面的点法式方程程称为平面的一般式方程.任取一组满足上述方程的数则显然方程(*)与此点法式方程等价, 的平面, 此方因此方程(*)的图形是法向量为 任意一个三元一次方程都表示一个平面。反之, 设有三元一次方程 (*)例：求过三点的平面方程。解一：设所求平面方程为则所以即解二：所以所求平面方程为：即先求平面的法向量此平面的方程也可写成 一般情

13、况:过三点的平面方程可表示为说明:平面一般式方程的几种特殊情形： 若 D = 0， 表示一通过原点的平面。 现在考虑 A，B，C，D 中有一些为零的情形： 若 C = 0，xyz 表示一平行于 z 轴的平面同理，B = 0A = 0 若 A = B = 0，xyz 表示一平行于xoy 平面的平面。同理，/ yoz 平面/ xoz 平面若 B = C = 0，若 A = C = 0，平面过 x 轴，若 A = D = 0，若 B = D = 0，平面过 y 轴，若 C = D = 0，平面过 z 轴， 若 A = B = D = 0，同理，若 A = C = D = 0，若 B = C = D

14、= 0，归纳起来，得：（1） 在平面的一般方程中，如果常数 项不是零，且缺一个变量，则平面一 定平行于该变量所对应的坐标轴；如 果缺两个变量，则平面一定平行于该 两个变量所对应的坐标面。（2） 在平面的一般方程中，如果常数 项是零，且缺一个变量，则平面一定 过该变量所对应的坐标轴；如果缺两 个变量，则平面一定是这两个变量所 对应的坐标面。例：已知一平面平行于 x 轴且经过两点解：设所求平面方程为：则所以即因为平面经过两点 (4,0,-2) 和 (5,1,7)，(4,0,-2) 和 (5,1,7)，求此平面方程。例：求通过 x 轴和点 (4,-3,-1) 的平面方程。解：设所求平面方程为则所以则所以所求平面方程为因为平面通过点 (4,-3,-1)， 平面的截距式方程设一平面与 x, y, z 三轴分别交于求此平面方程。abc分别将三点代入平面一般式方程xyzPQR 平面的截距式方程其中 a, b, c 分别称为平面在 x, y, z 轴上的截距。注意：过原点或平行于坐标面的平面无截距式方程形式。例 题 例：解一：设平面上一点则三向量共面，即为所求方程。x y z1 1 12 4 -3解二：为平面上两向量，则平面上法向量即为所求方程。三、有关平面的一些问题1. 两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。（通常指锐角，包括零度角或