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1、多 元函数微分求在区域上的最大值和最小值。例18此题是不等式约束问题，求解分两步进行:【解】 在内，解方程组得唯一驻点（0，0）。提示先求区域内部的可疑极值点，再求边界上的可疑极值点，然后比较它们的函数值。2 在边界上，构造拉格郎日函数 解方程组求出函数值比较大小可知，最大值为45最小值为9.得可疑极值点 和 3设f(u,v)具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解.因此，所求的一阶微分方程为解得 (C为任意常数).例21，利用已知关系可得到关于y的一阶微分方程.【分析】先求【解】4例22【解】其中 具有一阶连续偏导,且 ,求 设5 设，其中是由确定，其中具有连续的一阶偏导数，

2、求两端对求导有两端对求导有代入化简例23【解】在6上各点的法线总垂直于常向量，并指出此曲面的特征.证明: 设可微,试证证法一 设为曲面上任意一点,其法向量为:所以例24的任意性知曲面上各点的法线总垂直于即常向量.7证法二 任取曲面上一点则直线 L：在曲面上，而L的对称式方程为 L： 可见过曲面上任意一点的直线均平行于a，b，c，即曲面是母线平行于a，b，c的柱面。8设可微,试证上任一点处的切平面都通过定点.则该处的切平面为: +-+=0三个数a,b,c出现在方程中,我们首先猜想就是所求的点.代入满足方程,故点在此切平面上.例25证法一任取曲面上一点9证法二分析曲面的几何性质要比机械地代公式好,

3、任取曲面上一点则连接的直线方程L为:将直线方程代入曲面方程有 这说明L上的点都在曲面上,即曲面是以为顶点的锥面,而曲面上任意一点的切平面都经过其顶点.设点10求由方程 所确定的函数 设的极值。解 对方程 两边求全微分，得令 ，得例2611代入原方程 得：得驻点又12 所以函数没有极值点。所以对于 点，点不是极值点。对于 点，点不是极值点。这是隐函数极值问题，计算方法与显函数相同，所不同的是计算可疑极值点要利用隐函数求导法。注意13已知平面上两定点 A(1,3 ),B(4,2), 试在椭圆圆周上求一点C,使ABC 面积 解：设C点坐标为(x,y), 则 设拉格朗日函数解方程组例27最大. 14得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.15求在点的两个二阶混合偏导数。 解 当 时， 类似: 例2816当时，显然 17第六部分考研试题欣赏Heut-设,其中具有连续二阶偏导数,求2004年利用复合函数求偏导的方法直接计算.提示Heut-设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.2004年因为 所以提示Heut-得令故 将上式代入可得Heut-由于 所以 Heut-故又从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3

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