3无穷小量4函数的连续性课件

1、第三讲 (一) 无穷小量与无穷大量 (二) 连续函数二、三个重要关系三、无穷小量的比较四、求极限举例五、函数的连续性一、无穷小量与无穷大量7/23/20221定义1： 在某个变化过程中,极限为零 的函数,称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！7/23/20222定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。7/23/20223例7/23/20224（二）无穷小与无穷大的性质性质1：注意：性质1只可以推广到有限个函数例7/23/20225性质2：

2、性质3：7/23/20226例例7/23/202271.（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（三）三个重要关系7/23/202283.无穷大与无界函数问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？7/23/20229二、无穷小量的比较定义：7/23/2022107/23/202211几个常用的等价无穷小量7/23/202212等价无穷小量的性质性质1：7/23/202213性质2：等价代换7/23/202214解例1三、求极限举例7/23/202215例2解7/23/2022167/23/202217例3解7/23/202218讨论：代数和不能代换！7/23/202219解例47/23/202220

3、解例57/23/202221解例67/23/202222解例77/23/202223从而7/23/202224连 续 函 数7/23/202225函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述： 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.7/23/202226例如：7/23/2022277/23/2022287/23/2022297/23/202230定义1： 以上描述实质上是同义的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.（一）定义7/23/2022

4、31注意1以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.注意27/23/202232定义2：（函数在一点的单侧连续性）7/23/202233定义3：（ 函数在区间上的连续性）7/23/202234（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义, 使其连续.7/23/202235例如7/23/2022362. 第一类间断点例 符号函数 7/23/2022373. 第二类间断点例 7/23/202238五、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：7/23/202239（二）连续函数的有界性：7/23/202240（三）连续函

5、数的保号性：7/23/202241（四）连续函数的运算性质：7/23/202242（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 （五） 关于反函数的连续性7/23/202243连续函数的性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质7/23/202244一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：7/23/202245（二）连续函数的有界性：7/23/202246（三）连续函数的运算性质：7/23/202247二、初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 （四） 关于反函数的连续性结论：7/23/2022481. 有界性定理：2. 最大最小值定理：三、闭区间