第三章　线性系统的时域分析法

1、第三章：线性系统的时域分析法教学目的时域分析是控制系统分析的一个十分重要的分析方法，通过本章学习，要使学生掌握时域分析方法和系统几个重要时域指标的物理意义、计算方法。如何应用时域分析方法分析控制系统的稳定性、稳态误差和过渡过程指标，以及这些指标的计算方法。教学重点本章是经典控制理论中很重要的一章，需要掌握的重点内容比较多。1、时域指标及物理意义2、二阶系统的时域分析，重点分析欠阻尼状态。3、劳思稳定判据4、稳态误差的概念及其计算教学学时本章教学学时数：12学时教学内容 1、时域指标的定义及物理意义 2、通过对简单的一阶系统分析入手，进一步掌握时域指标的概念及其计算方法。 3、二阶系统的时域分析

2、，这是时域分析法中最重要的一节内 容。 二阶系统有完整准确的数学模型以及数学分析； 二阶系统在实际应用中的普遍性； 不少高阶系统在一定的条件下可以用二阶系统来近似分析； 二阶系统的阶跃响应，、n与极点关系，与系统性能的关系，以及时域指标的计算； 二阶系统的斜坡响应，可一般简介。教学内容 4、二阶系统的性能改善，通过增加系统中的控制环节，改善系统的性能，改善性能的实质是改变了阻尼系数和振荡频率。 5、稳定性分析，重点介绍劳思稳定判据， 霍尔维茨稳定判据留作自学。 6、稳态误差分析及计算，重点介绍静态误差系数 自学内容： 1、二阶系统的斜坡响应 2、高阶系统的时域分析 3、动态误差系数第三章第一次

3、课一、时域指标定义：使学生熟练了解时域指标的定义五个基本动态指标。 二、通过对一阶系统的分析，使学生掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。 三、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差） 重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应，误差表达式、稳态误差。 关于加速度信号作用于一阶系统的响应留作课堂练习和提问。第三章第一次课 作业题：31、32（1）、33（1） 思考题：32（2） 预习：第二节内容第三章第二次课 一、二阶系统数学模型：让学生熟练记住这个标准的二阶系统数学模型。 二、二阶系统的阶跃响应：分析、n这二个指标对系统性能的

4、影响， 、n与系统极点的关系以及在s平面上的表示。 重点分析欠阻尼状态。 三、自学内容：二阶系统的斜坡响应。 作业题：34、35 思考题：36第三章第三次课 一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。 二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和振荡频率。 三、介绍主导极点的概念。 四、自学内容：高阶系统的时域分析 作业题：38 思考题：310第三章第四次课 一、系统稳定的充分必要条件：当系统的特征根全部具有负实部，系统是稳定的，或当系统的闭环极点全部处于右半s平面时，系统是稳定的。 二、劳斯（Roth）稳定判据：不按书上33表的内容讲，要指出如何列劳斯表的方法，而不是简单的死记33表。

5、三、列劳斯表的几种特殊情况：某行第一列为零和出现全零行。 四、劳斯稳定判据的应用 五、自学内容：赫尔维茨判据 作业题：312（1）、313、314第三章第五次课 一、线性系统稳态误差分析计算 1、误差的概念及表达式：e(t)=r(t)-c(t)2、误差传递函数3、稳态误差 4、系统类型：型、型、型系统 5、稳态误差和静态误差系数 6、结论：不同类型的系统对不同典型信号响应的稳态误差不同。第三章第五次课 二、扰动作用下的稳态误差 三、消除或减小稳态误差的措施 重点内容：稳态误差分析与计算 读书内容：动态误差系数内容 注：本节内容较多，讲不完部分留到第六次讲 作业题：315（1）（2）、316（1

6、）（2） 思考题：317、318第三章第六次课 一、本章遗留和补充内容 二、使用Matlab分析控制系统 三、本章小结 作业：复习本章内容 改正作业中出现的问题 预习第四章内容31线性系统时间响应的性能指标时域分析法直接在时间或中对系统进行分析，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。时域分析法的局限性是，除了简单的一、二阶系统外，要精确求解系统的动态指标的解析表达式是很困难的。 时域分析法是经典控制理论中的一种常用的系统分析方法。 系统的性能指标，主要有动态性能指标和稳态性能指标。1、典型信号研究一个系统，主要是针对某一输入作用，研究其输入输出之间的关系。但在绝大多数情况下，输

7、入信号以无法预测的方式变化，为了便于分析、设计，便于对各种系统的性能进行比较，常假定一些基本输入函数形式作为典型输入信号。常用的典型信号有：单位阶跃函数、单位斜波函数、单位加速度函数、正弦函数。对于某一具体系统，不同形式的输入信号，所对应的输出响应是不同的，但系统性能是由自身结构参数决定的，而与输入信号无关。所以，通常在系统分析中以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可以在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，也能满足要求。1、典型信号2、动态过程与稳态过程 动态过程

8、：在典型输入信号作用下，系统输出量以初始状态到最终状态（稳态）的响应过程。 系统在动态过程中的表现有：衰减、发散、等幅振荡等形式。对于一个稳定系统，其动态过程必须是衰减的。稳态过程：时间t时，系统输出量表现方式。3、动态性能与稳定性能在假定系统的初始条件为零，系统在阶跃函数作用下的动态性能指标有：延迟时间td:响应曲线第一次达到终值一半所需时间。上升时间tr有三个定义： a.响应曲线从终值10%到90%所需时间； b.响应曲线从终值5%到95%所需时间； c.响应曲线第一次上升到终值所需时间。 tr越小，说明系统响应速度越快。3、动态性能与稳定性能 峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间

9、。 调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%或2%内所需要的时间。 超调量%：最大偏离量h(tp)与终值h()之差的百分比3、动态性能与稳定性能 在上述时域指标中， 上升时间tr、峰值时间tp评价系统的响应速度； 超调时%评价系统的阻尼程度； 调节时间ts综合反映响应速度和阻尼程度。控制系统的暂态响应性能指标 暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼振荡过程）为标准来定义的。 动态性能指标：(1) 最大超调量(2) 延迟时间 td(4) 上升时间 tr(3) 峰值时间 tp（5) 调整时间 tsh(t)t时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =AB10

10、0%动态性能指标定义1h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间 ts动态性能指标定义2h(t)tAB动态性能指标定义3trtpts%=BA100%3、动态性能与稳定性能系统的稳态性能用稳态误差来描述，稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实际输出值与希望输出值的最终偏差。32一阶系统的数学模型 1、一阶系统的数学模型，如RC电路C(t)为输出，r(t)为输入，C(0)=0i(t)RCr(t)c(t)32一阶系统的数学模型 令：TRC并取Laplace变换：R(s)C(s)I(s)2、一阶系统暂态响应传

11、递函数1、一阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入于是单位阶跃响应h(t)为 ：h(t)=1e-t/T 2、一阶系统暂态响应 讨论：当t=0 h(0)=0 t h()=1 t=T h(T)=0.632 t=3T h(3T)=0.95根据上述数据可用实验方法测定系统是否为一阶系统。2、一阶系统暂态响应一阶系统的响应曲线斜率：t=0时h(t) t=0=(1et/T) t=0=et/T(1/T) t=0=1/T当t=T时h(t) t=T=0.368/T当t=时h(t) t=0一阶系统的响应曲线斜率初始值为1/T，并随时间下降，当t时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。2、

12、一阶系统暂态响应 根据动态指标定义，求一阶系统的动态性能指标 a.求延迟时间td： 因为h()=1，由td的定义，当t=td时，h(td)=0.5 代入一阶系统阶跃响应表达式，2、一阶系统暂态响应 b.求上升时间tr 由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9 得：t1=0.1T；t2=2.3T 所以：tr=t2t1=2.2T c.同理可求出ts=3T d.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和%。2、一阶系统暂态响应讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。2、一阶系统单位脉冲响应当输入为单位脉冲函r(t)=(t)，求

13、其脉冲响应。因为R(s)=1，由脉冲响应的意义，g(t)t3、一阶系统单位脉冲响应一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。由于系统的单位脉冲响应与系统传递函数包含了相同的动态信息，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。 工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽h和有限幅度的脉冲函数来近似代替，一般要求h1时，特征根是两个不相等的负实数根2.当=1时，特征根是两个相等的负实数根 s1、2=n3.当01时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决

14、定。此时称系统处于过阻尼情况。 3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应 当阻尼比 =1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。 3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应 当0 -1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应 -1（右半平面有相异正实根）时系统响应 3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应系统极点的位置与 、 、 及 之间的关系。对于标出的一对共轭复数极点, 是从极点到s平面原点的径向距离， 是极点的实部， 是极点的虚部，而阻尼比 等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即 =cos阻尼比 是

15、二阶系统的重要特征参量。 3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应1、欠阻尼情况(0 1 ) 这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成其拉氏反变换为： 系统的响应c(t)包含着两个衰减的指数项。当 远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。s1s2欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算j0-nd=n1-2(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-nj1-2nnedh(t)= 1-1-21-ntsin(t+)得

16、tp= d令h(t)一阶导数=0，取其解中的最小值， - d得 tr=令h(t)=1取其解中的最小值，edh(t)= 1-1-21-ntsin(t+)得 ts 3.5n由包络线求调节时间得 % =e-/1-2100%由%=h()h(tp) h()100%欠阻尼二阶系统的ts取sin项为1，则h(t)=1e-nt取误差带为=0.05,则有e-nt=0.05由此解出ts=ln20/1-2nn3.53-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应二、二阶系统的暂态响应指标 当系统为欠阻尼情况下，即0 1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量 的计算公式：上升时间tr峰值时间tp 由上式可见

17、，如欲减小tr ，当 一定时，需增大 ，反之，若 一定时，则需减小 。3-3二阶系统的时域分析单位阶跃响应最大超调量p 调整时间ts 当00.8时当采用5%允许误差时当采用2%允许误差时 S1,2 =jnj0j0j0j0 1 10 1 0 2 - 1S1,2=- nnS1,2=- n-n=-j1- 2 nS1,2=n 2(s)=s2+2 ns+n2n2二阶系统单位阶跃响应定性分析j0j0j0j0T11T21 1 10 1 0h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosnt过阻尼临界阻尼零阻尼 sin(dt+)e- t h(

18、t)=1- 211n欠阻尼3-3二阶系统的时域分析脉冲响应三、二阶系统的脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应C(s)为 该方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，当01时3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应当输入信号r(t)=t时，3-3二阶系统的时域分析单位斜坡响应 由上分析，二阶系统可以跟踪单位斜坡输入，但有误差。误差响应：3-3二阶系统的时域分析举例 例：图示系统中 ， 弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量p和调整时间ts。 解：根据给定的 和 值，可以求得 和 。上升时间tr3-3二阶系统的时域分析举例峰值时间tp 最大超调量p 因此，

19、最大超调量百分比为9.5%。调整时间ts 对于2%允许误差标准，调整时间为： 对于5%允许误差标准，调整时间为： 3-3二阶系统的时域分析举例 例：下图控制系统，输入信号r(t)=t，放大器增益kA分别取13.5、200、1500，试分别写出系统误差响应表达式，并估算其性能指标。 解：将系统的开环传递函数与标准二阶系统的开环的开环函数相比较。R(s)E(s)C(s)当ka=13.5时，=2.1 n=8.2=2.11，系统属于过阻尼二阶系统。3-3二阶系统的时域分析举例 对于二阶系统斜坡输入的过阻尼误差响应，参见P87(3-40)式。 将和n代入(3-40)式，求出误差响应表达式。系统有二个衰减

20、因子 比较二个因子，后者的系数比前者小很多，而且衰减也比前者快，所以它在系统响应中的影响可以忽略不计，因此，可近似为：可视为一阶系统模型。 注意：二阶系统在某些条件下，可近似等效为一阶系统，工程上常这样处理。3-3二阶系统的时域分析举例所以，可以用一阶系统的性能指标近似估算该系统的性能指标。3-3二阶系统的时域分析举例 当kA=200时，求得=0.551，n=31.6系统属欠阻尼二阶系统，在斜坡输入下，二阶系统欠阻尼误差响应参见P85(3-31)式，代入和n求得：3-3二阶系统的时域分析举例当kA=1500时情况请大家计算。kA、n之间的关系，以及与稳态误差、动态性能的关系： 增大放大器增益会

21、导致系统的阻尼下降，虽可减小稳态误差，却恶化了误差响应的动态性能，因此值不宜太小，而n值希望足够大。在通常只有可调的系统中要同时满足稳态和动态两方面特性要求是困难的。这是因为：3-3二阶系统的时域分析举例1.改变开环增益就相当于改变系统阻尼比的数值，但是，阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对的要求正好相反，要取得一个合适的折衷方案比较困难。2.即使能够找到合适的开环增益值，满足上述稳态和动态两方面的要求，也可能不满足系统在扰动作用下的稳态误差要求。3.在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间隙和摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不能任意降低开环增益以换取较小的超调量。3-3二阶

22、系统的时域分析二阶系统性能改善 为什么要改善二阶系统的性能？目的是什么？ 1.从前面讲述中可以看到，动态指标与静态指标对的要求是不一致的。 如：调节时间 稳态误差 如何协调动态、静态的矛盾？ 2.动态指标之间也存在不能同时达到最佳的问题。 二阶系统常用比例微分控制和测速反馈控制来改善性能(1)比例微分控制比例微分控制特点：因为微分控制反映的是系统的动态性能，静态时不起作用，而微分控制又是超前控制，可以在误差出现之前提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。比例微分控制的实质仍是改变阻尼系数(1)比例微分控制 比例微分控制系统结构图。没有TdS环节，系统是一个典型的二阶系统，Td为微分时间常

23、数。 开环传递函数与闭环传递函数分别为Tds1R(s)C(s) 两式表明，比例微分控制不改变系统的自然频率，但可增大系统的阻尼比，由于和n均与K有关，所以适当选择开环增益和微分器时间常数，既可减小系统在斜坡输入时的稳态误差，又可使系统在阶跃输入时有满意的动态性能。(1)比例微分控制由上述结构图和函数式，比例微分控制系统与二阶系统闭环传递函数相比：1.无阻尼振荡频率n 没有改变2.系统增加了一个零点-z，有关零点的作用以后再讲3.增大了阻尼系数，由改变成d 由于微分环节Td只是在动态时起作用，静态时不起作用，所以在动态时系统阻尼比是d起作用，使调节时间和超调量下降；而稳态时是起作用，可使系统的稳

24、态误差减小。(1)比例微分控制 例：设单位反馈系统开环传递函数为：k为开环增益，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差ess=1/k，若要求ess0.2rad，d=0.5，试确定k与Td的数值，并估算系统在阶跃函数作用下的动态性能。 解：由ess=1/k，和ess0.2rad求得k5，取k5 根据比例微分控制系统模型，(341)式，(1)比例微分控制系统单位斜坡响应稳态误差表达式（330）：比较加入PD前后系统的动态性能(1)比例微分控制（1）没加入PD之前，(1)比例微分控制（2）加入PD之后，阻尼比变成d=0.5，n不变，用（324）曲线图求出上升时间tr。求峰值时间用（347）式，求超调量用

25、（349）式，求调节时间用（350）式，分别求出：tp=1.63；%=42.4%；ts=3.73 ， 动态指标都得到了改善。(1)比例微分控制参数加入PD之前加入PD之后tr1.021.2tp1.841.63%57.642.4ts11.73.73比较加入PD之前、后系统的参数变化。 比例微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差和自然频率，由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因此在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。应当指出，微分器对于噪声的广大作用远于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入噪声较强的情况下，不宜采用比例微分控制

26、方式。(2)测速反馈控制ktsR(s)C(s)E(s) 将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，也可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。如图所示，如果没有kts则系统是标准的二阶系统， kts是系统测速反馈环节。内环等效为一个环节，求传递函数(2)测速反馈控制ktsR(s)C(s)E(s)(2)测速反馈控制讨论：(1)当kt=0，开环增益当kt0时，测速反馈降低了开环增益，从而加大系统斜坡输入时的稳态误差。(2)测速反馈不改变自然频率n(3)测速增大了系统阻尼比由t，故改善了系统动态性能(4)测速反馈不形成闭环零点，所以对系统动态性能的改善程度与PD控制不同。(5)由于测速反馈降低

27、了开环增益，加大了系统的稳态误差，所以在设计时测速反馈控制系统时，可适当增大系统的开环增益。 (1)附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出响应的速度，因此，对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。 (2)使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制，同时为优化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈对系统输入端噪声有滤波作用，对系统组成元件没有过高的质量要求。比例微分控制与测速反馈控制的比较1 (3)对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增

28、益和自然频率均无影响，但测速反馈会降低开环增益。 因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。 (4)对动态性能的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间，在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。比例微分控制与测速反馈控制的比较235线性系统的稳定性分析 稳定是控制系统能够运行的首要条件，不稳定的系统是不能工作的。 1、稳定的基本概念：任何系统在受到干扰作用后都会偏离原平衡状态，产生初始的偏差，当干扰作用消失后，系统能够恢复平衡状态，则

29、系统是稳定的。若干扰消失后，系统不能回复到平衡状态，而且偏差越来越大，则系统是不稳定的。 稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减，并趋于零，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。35线性系统的稳定性分析 2、线性系统稳定的充要条件 系统受到一扰动(t)后，会产生一个输出偏差c(t)，当t时，35线性系统的稳定性分析线性系统稳定的充要条件（讨论）1)对于实数特征根sj0。则系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。 35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据2、劳斯判据将系统的特征方程写成如下标准形式：将各

30、系数组成如下排列的劳斯表： sna0a2a4sn-1a1a3a5sn-2b1b2b3sn-3c1c2c3s2e1e2s1f1s0an 表中的有关系数为：35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况：(1) 第一列所有系数均不为零的情况。 这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据例1:三阶系统的特征方程为试判断该系统的稳定性。解：列出劳斯表：系统稳定的充分必要条件是：35线性

31、系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据例2: 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。由表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9，因此该系统有两个正实部的极点，系统是不稳定的。 s5114s4235s3-130（各元素乘以2）s2950s132（各元素乘以9）s05解：列出劳斯表：35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据 在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（）上面的系数符号与零（）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。

32、（2）某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据例3: 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。解：列出劳斯表：111220（0）12- 2/0s4s3s2s1s01现在考察第一列中各项数值。当趋近于零时，2-2/的值是一很大的负值，因此可以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的。 35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据(3) 某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。为

33、了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况（2）所述那样，用代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据例4: 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。解：劳斯表中的 各项为：s6182016s5212160s4168（各元素乘以1/2）s3000由上表看出，s3行的各项全为零。35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据为了求出s3 s0

34、各项，将s4行的各项组成辅助方程： 将辅助方程A(s)对s求导数，得s6182016s5212160s4168s3412s238s14/3s08用上式中的各项系数作为s3行的各项系数，得劳斯表为： 从左表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有极点。另外，由于s3行的各项皆为零，这表示有共轭虚数极点。这些极点可由辅助方程求出。 辅助方程是：求得大小相等符号相反的虚数极点为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -

35、8-8 41 2劳斯判据小结劳斯表特点4 每两行个数相等1 右移一位降两阶2 行列式第一列不动3 次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素7 第一列出现零元素时，用正无穷小量代替。6 一行可同乘以或同除以某正数2+87-8(2 +8) -7271 2 7 -8劳斯判据小结系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？劳斯判据小结（劳斯表出现零行）设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳 斯 表s0s1s2s3s4

36、51756116601 劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办?3 如何求对称的根? 由零行的上一行构成辅助方程: 有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数: 2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3解辅助方程得对称根: s1,2=j劳斯表出现零行系统一定不稳定35线性系统的稳定性分析劳斯应用例3-7 设反馈控制系统如图31所示，求满足稳定要求时K的临界值。 解： 系统闭环传递函数是 其特征方程为 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或s315s26Ks0Ks1 列出劳斯表 按劳斯判据，要使

37、系统稳定，其第 一列数值应为正数，即K0，30-K0则有0K0的情况下，系统稳定的充分必要条件是上述各行列式的各阶主子式均大于零，即对稳定系统来说要求： 例3-9 三阶系统特征方程为：试判断系统稳定性。解：系统稳定的充分必要条件是：35线性系统的稳定性分析劳斯赫尔维茨判据36线性系统的稳态误差计算实际控制系统中，由于系统本身的原因和干扰信号的多源性，误差是不可避免的，控制系统设计者的任务之一，就是要尽量减小系统的稳态误差或者使误差控制在较小范围内。 稳态性能用系统的静态误差ess表示，是指在稳态条件下（即对于稳定系统）输入加入后经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道时，稳态响应的期望值

38、与实际值之间的误差。 稳态误差是某特定类型的输入作用于控制系统后,达到稳态时系统精度的度量。 误差定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输入端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输出端定义：E(s)=C希-C实= -C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C实= Cn(s)总误差怎么求？36线性系统的稳态误差计算一、典型输入信号(1) 单位阶跃函数 (2) 单位斜坡函数 (3)

39、 单位加速度函数 (4) 单位脉冲函数 R(s)=1(5) 正弦函数 r(t)=sint 最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种。 36线性系统的稳态误差计算二、静态误差和误差传递函数其闭环传递函数为：应用终值定理误差信号e(t)和输入信号r(t)之间的关系是：（其中e(t)为输入信号和反馈信号之差）传递函数为：36线性系统的稳态误差计算设系统开环传递函数： K是系统的开环比例系数。分母中的因子 表明开环传递函数中含有个积分单元。将系统按照=0，1，2分别将其分为0型，1型，2型。 三、系统类型36线性系统的稳态误差计算四、阶跃输入和静态位置误差系数：当输入为单位阶跃函数 其静态

40、误差为： 定义静态位置误差系数对于0型系统，=0，所以kp=k对于型或高于型的系统， 0， kp=36线性系统的稳态误差计算阶跃输入和静态位置误差系数 结论：0型系统中没有积分环节，对阶跃输入的稳态误差为一定值，它的大小差不多与系统开环传递系数k成反比，k越大，ess越小，除非k为无穷大，否则0型系统总是有误差。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则系统必须是型或高于型，即前向通道中必须在积分环节。36线性系统的稳态误差计算斜坡输入和静态速度误差系数五、输入为单位斜坡函数 时其静态误差为： 定义静态速度误差系数36线性系统的稳态误差计算斜坡输入和静态速度误差系数结论： 0型系统不能跟踪斜坡输入

41、，稳态误差为；型系统其输出能跟踪斜坡输入，但总有一定的误差R/k，为减小误差，系统的k值必须足够大；对于型或高于型系统，其稳态误差为零。36线性系统的稳态误差计算加速度输入和静态加速度误差系数六、输入为单位加速度函数其静态误差为： 定义静态加速度误差系数对于0型系统， Ka=0 ess=；对于型系统， Ka=0 ess=；对于型系统， Ka=k ess=1/k对于型以型以上系统， Ka=； ess=0稳态误差与静态误差系数r(t)=R1(t)ess= 1+ksRlim0sr(t)=Vtess= sVlim0sksr(t)=At2/2ess= s2Alim0sks型0型型R1(t) R1+ kV kVt000A kAt2/2R1(t)VtAt2/2kkk