基与维数的几种求法.

1、线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量气,A , a满足：（1）a1a2A ,气线性无关。（2）y中任一向量a总可以由气,a /a线性表示。那么称y为n维（有限维）线性空间，n为y的维数，记为 dimv = n，并称a. a A ,a为线性空间y的一组基。如果在y中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成y 为无限维的。例1设y = （xAX = o，a为数域P上mx n矩阵，X为数域P上 n维向量，求y的维数和一组基。解 设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax = 0的任一基础 解系都是y的基，且y的维数为n_r。例2数域p

2、上全体形如0 ）的二阶方阵，对矩阵的加法及 -a b）0 为线性空间 1 x7aJl a,b e p的一组数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。1 ( 0 ojl 0线性无关的向量组,且对y中任一元素（0a aJ有(0 a（0 1、（0 0、a+ba b)1 0 ?0 1 /y的维数为2。按定义（0 1 ,（0 0J为y的一组基，1 0 八 0 1）方法二 在己知线性空间的维数为时，任意个向量组成的 线性无关向量组均作成线性空间的基。例3假定是一切次数小于的实系数多项式添上零多 n项式所形成的线性空间，证明：l,(x-l),(x-l,L ,G-1P构成7?L的 n基。证明考察

3、k l + k (x-l)+L +k G-1t=012n由炊T的系数为0得k =3并代入上式可得2的系数X 七nk =Qn-1依此类推便有k =k =L = 0， n n-11故i,G-i),l ,G*线性无关又M的维数为，于是i,Gi),l为杰的基。nn方法三 利用定理：数域上两个有限维线性空间同构的充 分必要条件是它们有相同的维数。例4设AJQ T,证明：由实数域上的矩阵A的全体实系 U oj数多项式f Q)组成的空间V = j/(A)| A = H与复数域C作为实 数域人上的线性空间# = 小所| a,b矗同构，并非求它们的维数。证明V中任一多项式可记为f(A)=aE + bA,(a,b

4、cR)，建立广到V 的如下映射b：a =a +bi f(A)= a E + bA(a CR)易证是V到V上的单射，满射即一一映射。 TOC o 1-5 h z 再设a = a + b i, a ,b g R, K g R，则有 22222b (a +a ) = b(a + a )+(b + b )i 1 = Ca + a )E + (b + b )A = b(a )+b(a )121- 1212121212b (ka ) = b (ka + kbi )= ka E + ka A = kb G ) 111111故b是v 到v的同构映射，所以v至Uv，同构另外，易证V的一个基为1, i，故dimV

5、 = 2方法四利用以下结论确定空间的基:设a ,a ,L ,a与P , P ,L , P是n维线性空间V中两组向量，已知 12n 12nP ,P ,L ,P可由a ,a ,L ,a线性表出：12n12nP = a a + a a + L + a a111 121 2n1 nP = a a + a a + L + a a+ annana )1na2 nann J212 122 2n2 n TOC o 1-5 h z P = a a +a a +L n 1n 12n 2令 A = a11(aaL2122v aaL如果a1,%L ,a为V的一组基，那么当且仅当a可逆时，P ,P ,L ,P也是V的一

6、组基。 12n例5已知1,兀X 2, %3是p X4的一组基，证明1,1+x, (1 + x )2, (1 + x )3也是pL的一组基。证明因为1 = 1-1 + 0 - X + 0 - X 2 + 0 - x 31 + X = 1-1 + 1-X + 0 - X 2 + 0 - X 3(1 + X=1-1 + 2 - X + 1-X2 + 0 - X3(1 + X=1-1 + 3 - X + 3 - X 2 + 1-X 3且| A| =1111 0 12 3 0 0 12 0 0 0 1所以 1,1+ X,(1 + X,(1 + X)也为px4 的一组基。方法五如果空间V中一向量组与V中一

7、组基等价，则此向量 组一定为此空间的一组基。例6设RL表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添 上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明X 2 + X, X 2 - X, X + 1为这空间的一组基。证明 k (x2 + x)+ k (x2 - x)+ k (x +1)= 0贝 I k + = 0k - k + k = 01 k2 = 0解得k3 = k2 =匕=0于是 X2 + X, X2 X, X + 1 线性无关，它们皆可由X 2, X,1线性表示，因此 X2 + X, X2 - X, X + 1 与X2,X,1等价，从而R田中任意多项式皆可由X2 + X, X2 一 X, X +1线性

8、表示， 故 X2 + X, X2 一 X,X +1 为Rx2 的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向 量间的线性关系。定理二：任何一个m x n矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：，鸟，其中I表示阶单位矩阵。0 0），依据这两个定理，我们可以很方便地求出匕I匕的一个基， 从而确定了维数。例7设V = L(a ,a ),V = L(P , P )是数域F上四维线性空间的子 空间，且 a =(1,2,1,0),a =(-1,1,1,1);P =(2,-1,0,1),P =(1,-1,3,7).求 V I V121212的一个基与维数。解

9、若 r e V I V，则存在 x , x ,-y ,-y e F121212(1)r = xa + x a = -y P - y P * *221122即有 x a + x a + y P + y P = 0 11221122若a ,a ,P ,P线性无关，(2)仅当x = x122那么V I V2（2）=约=2 = 0时成立是零子空间，因而没有基，此时维数为，匕+匕是直和若存在不全为零的数x , x , y , y使（2）成立，则V I V有可能 121212是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。以a ,a ,P ,P为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准 1212阶梯

10、形矩阵膏。r 1-121 )r 100-1)21-1-10104A =A1103行初等变换001310117 J10000 Jg = -a + 4a + 3 g TOC o 1-5 h z r = -a + 4a =3g +g =(5,2,3,4 )是 V I V 的一个基 121212dim (V I V ) = 1同时知，a ,a是V的一个基 ，dim V = 21211g ,g是V的一个基，dimV = 21222a , a , g , g 是 V + V 的一个基，dim(V + V )=秩(A)=312121212方法七在线性空间V中任取一向量a，将其表成线性空间V一线性无关向量组的

11、线性组合的形式，必要的话需说明向量组 是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求V = L（a，a ）与V = L（g，g ）的交的基和维数。 TOC o 1-5 h z 112212设 fa1 = （1,2,1,0）， fg1 = （2，-1,0,1）a= （-1，1,1,1） g = （1，-1,3,7）虹2虹2解 任取 a g V I V ，则 a g V，a = x a + x a ，且121112 2a g V， a = y g + y g ，2112 2a= xa+x a = y g+ y g （注：此时。虽然已表成一线性组合的 1122112形式，但它仅仅是在、V2

12、中的表示，并非本题所求，即要在空 间k I V中将a线性表出）求 x , x , y , y1212二 x a + x a y g y g = 0，1122112尤-x - 2 y - y = 0 TOC o 1-5 h z 12122 x + x - y + y = 0V 1212XX2* 0 x - y -7 y = 0解得(x , x , y , y )=(k, -4k, -3k, k) 1212a = k(% -4a2) = k(-3P1 + P2) = k(5,-2,3,4)故匕I匕是一维的， 基是(5,-2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八 按维数公式

13、求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果匕匕是有限维线性空间y的两个子空间，那 么 dim(y )+ dim(V ) = dim(V + V )+ dim(V I V )例 9 已知=(3,-1,2,1),a2 =(0,1,0,2)B1=(1,0,1,3)R2=(2,-3,1,-6)求 TOC o 1-5 h z 由向量a , a生成的 4的子空间V = L (a , a )与向量PP生成的子空 121121, 2间V = L (p , P )的交与和空间的维数的一组基。212解因为V +V = L(a ,a ,p ,p)，对以a ,a ,p ,p为列的矩阵施行1212121212(3012

14、)(0000 )-110-3T-110-3201100-111 123-6 J000-3 J=B行初等变换：A = TOC o 1-5 h z 秩A =秩B = 3，所以V+ V的维数是3且a ,a ,p ,p为极大线性无关组，故它们是V + V的一组基。121212又由a ,a线性无关知V的维数为2，同理V的维数也为2，由1212维数公式知V11 V2的维数为(2 + 2)-3 = 1。 TOC o 1-5 h z 从矩阵 b 易知 P +P =a 2a ,故 P +P =（3,-3,2,-3）是 V,V 公有 12121212的非零向量，所以它是交空间匕I匕的一组基。方法九 由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组a, a ,L , a线性无关，并且a, a ,L , a可12r12r由向量组p , p ,L , P线性表出，那么 12s（1）r 10620 J10000 J TOC o 1-5 h z 显然a ,a ,a ,a线性相关，a ,a ,a线性无关 1234123由替换定理知a ,a ,a与p