桥梁设计理论第七讲_secret

1、第七讲 薄壁杆件的组合扭转上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。而实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。即作用在截面上的扭矩（图7-1）为自由扭转剪应力（）形成的扭矩及约束扭转剪应力（）形成的扭矩（或）的组合，亦即（或）以及开口截面 （7-1-1）闭口截面 （7-1-2）a) 自由扭转b) 约束扭转c) 组合扭转图7-1第一节 开口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有 （7-2）上式对求导（见图7-2a），两边同时除以，得： （7-3）此式即为开口

2、薄壁杆件扭转角微分方程。式中： （7-4）称为薄壁截面的弯扭特征。即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。而 （7-5）为扭矩沿杆长的分布集度。第二节 闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩以待定函数表示，即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为： （7-6）（7-1）方程中包括两个未知函数及。现根据静力学条件建立未知量及间的关系，以便与式（7-6）联立求解。设自由扭转与约束扭转产生的总剪力流为，它对扭转中心的扭矩应等于作用于截面的荷载扭矩。即 （7-7）根据虎克定律并引用式（6-2），剪力流可写成： 或 （7-8）而 （7-9）（6-

3、15）上式对求导后代入式（7-8），再将式（7-8）代入式（7-7），积分化简得： （7-10）其中： （7-11）称为截面翘曲系数。对于单室截面 对于多室截面 而为截面的极惯矩，下同。式（7-10）推导如下：由式（7-8）有： 而由式（7-9）有： 则式（7-8）的第一项 （a）有式（6-13）有： 将其代入式（a）得： （7-13）将式（7-13）代入式（7-8）有： （b）又截面内剪应力与内力有如下关系： 将式（b）代入后积分得： （c）又有式（5-46）有： （d）而 （e）将及式（d）、（e）代入式（c）可得： 故 或 其中：。若为的二次或二次以下的函数，即有，则由式（7-10）可得

4、： （7-14）（7-10）将其代入式（7-6），便得出闭口薄壁杆件的扭转变形微分方程 （7-15）（7-6）其中： （7-16）（7-4）比较式（7-15）与式（7-3）和式（7-16）与式（7-4）可以看出，对于闭口截面，可利用开口截面的扭转微分方程的表达式，而以代替即可。这一比拟关系，对以后直接根据开口截面的变形公式写出闭口截面的变形公式，颇为有用。务必注意，对于闭口截面，尽管可以用代替，从而直接套用开口截面中关于扭转角的微分方程，但因闭口截面约束扭转双力矩及扭转力矩均与的导数有关，故由式（7-10）有： （7-17）第三节 扭转角微分方程的初参数解法扭转角微分方程式（7-3）及式（7-

5、15）为四阶常系数（等截面）非齐次线性方程，其解由齐次解和特解两部分组成，齐次解将有四个积分常数，由问题的边界条件确定。一、开口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法先讨论开口薄壁杆件扭转角微分方程式（7-3）的解法。微分方程 （7-18）（7-3）其齐次解为： （7-19）据此，不难求得各阶导数，进而得到扭转角的变化率、约束扭转双力矩、总扭矩的表达式。 （7-20） （7-21-1） （7-21-2） （7-22）式中积分常数、可表达为杆件在坐标原点处（=0）的扭转角（）、扭转角的变化率（）、双力矩（）及扭矩（）的 函数。将=0代入式（7-19）、（7-20）、（7-21）及（7-22）有： （

6、7-23）解此方程得： 将其代入式（7-19）（7-22），便得到以初参数表达的、及的解析式： （7-24）（7-19） （7-25）（7-20） （7-26）（7-21） （7-27）-（7-22）式中仍为未定常数，可根据初始值的物理意义，由起始点（=0）边界条件直观确定。微分方程的特解，可根据作用在杆件上的扭转荷载形式，利用微分方程的特征方程式，用待定系数法求得。对于常见的荷载（图7-2）包括集中双力矩，集中力矩，分布扭矩，特解可写成一般的形式，即a)b)图7-2 （7-28）式中、及均表示自计算截面（）沿坐标轴的负方向量取的距离，故式（7-28）为的线性函数。式（7-28）对求导，得到扭

7、转率、双力矩和扭矩的特解如下： （7-29） （7-30） （7-31）微分方程的通解则为： （7-32）将式（7-24）（7-27）及式（7-28）（7-31）代入式（7-32），即得到开口薄壁杆件扭转变形的最后解答式。对于薄壁杆件扭转的具体问题，先按实际作用的荷载，列出式（7-32），由于通常情况下荷载沿杆件纵向是不连续的，故式中必须是分段表达（见本讲算例），然后根据边界条件求解初始参数，再由式（7-32）计算任意截面的扭转角，扭转率，双力矩和扭矩。容易看出，这里介绍的初参数法与梁弯曲理论的初参数法是相似的。二、闭口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法对于闭口薄壁杆件，由于其扭转角微分方程式

8、（7-15）与开口薄壁杆件扭转角微分方程式（7-3）相似，在数学问题上属于同一类问题，故式（7-15）的齐次解，与开口薄壁杆件的具有相同的形式。由于闭口薄壁杆件的纵向位移、双力矩、扭矩等都与函数的导数有关（见式（6-31）、（6-34）、（6-44）,因此，对应于式（7-29）（7-31），引入闭口薄壁杆件的函数，由式（7-10）及式（7-17），考虑微分方程的齐次解（）时，与函数间有如下的关系：即 （7-33）（7-10）（7-17）于是仿照（7-24）-（7-27）的推导，可得到闭口薄壁杆件扭转角微分方程的齐次解，这时式中的系数取式（7-16）的形式。 （7-34）（7-24） （7-35

9、）（7-25） （7-36）（7-26） （7-37）（7-27）由式（7-24）（7-27）与式（7-34）-（7-37）可以看出，闭口薄壁杆件的齐次解，可由开口薄壁杆件的对应齐次解，以代替得到。对于图7-2所示各种荷载形式的特解，上述代换也是适用的，故有： （7-38）（7-28） （7-39）（7-29） （7-40）（7-30） （7-41）（7-31）同样，微分方程式的通解则为： MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r

10、 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT （7-42）（7-32）第四节 边界条件组合扭转微分方程的通解式（7-32）或式（7-42）中的初始参数需由具体问题的边界条件定出。对于工程中常见的情况，边界条件可归结为表7-1。1、简支端如图7-3所示，表示杆端扭转被完全约束（=0），但允许其自由翘曲，相应的边界条件为=0 a)构造b)图示c)图示图7-32、固定端表示杆件的支座完全阻止了截面的扭转（=0）和翘曲（=0），如图7-4所示，相应的边界条件为：=0 a)构造b)图示图7-43、自由端即杆端截面无任何约束，可以自由变形，其扭转角、翘

11、曲位移均不为零。 4、中间支承当杆件具有中间支承时，相应的扭转受到约束=0，杆件在此截面左右的内力及变形相等。现将开口和闭口薄壁杆件的边界条件，分别列于表7-1开口和闭口薄壁杆件的边界条件 表7-1支承情况开口截面闭口截面简支端自由端固定端中间支承截面变化处第五节 算 例例7-1 图7-5所示两端简支杆，=20m，跨中承受集中扭矩=2000kNm作用。分别计算（1）工字型截面；（2）单室双箱截面发生扭转时的应力。截面尺寸参见第五讲图5-8。b)单位：图7-51010a)(单位：m)c)单位：d)单位：解一、工字型截面1、边界条件由杆件的对称性可知,杆端约束反力均为，方向如图7-5a）所示。 由

12、表7-1可知，简支端的边界条件为：时 （a）时 （b）2计算截面的抗扭特性由第五讲例5-1和第六讲例6-1知： （c） （d）3计算内力双力矩 （e）将式（b）中、代入式（e）有： 则 （f）由式（e）知，当时，有： （g）当时， （h）则取得最大值。并将值代入，则 （k）双力矩分布图如图7-5b所示。将式（g）,（h）分别代入约束扭转力矩得： （l） （m）于是，当时，左右截面得扭转力矩为： （n）而=0时， 同样，当时 约束扭转力矩得分布如图7-5c）所示。自由扭转力矩，则 自由扭转力矩分布图如图7-5d）所示。4、应力计算约束扭转正应力在截面内为的影响函数（或称分布函数），观察第六讲图6

13、-3b）可知，最大值发生在四个角上（）,相应的，又有第六讲例6-1已知，故据此作图，如图7-6b）所示252525250.430.43a)b)图7-6约束扭转剪应力或。由上式可见，为的影响函数，观察图6-4c）可知，最大值发生在翼缘的中部（、点）相应的主扇形矩0.075（），故 沿截面的分布如图7-7b）所示。二、单箱双室截面1、杆件的边界条件同式（a）、式（b）。2、闭口截面的翘曲系数，而极惯矩：故其中系引用第六讲例6-1的计算结果。3、截面弯扭特性由第五讲例5-1及第六讲6-1知 4、内力计算同开口截面一样，将式（7-36），式（7-40）代入（7-42）后，利用边界条件得到： 将数据代入

14、，则由有： （） （） 于是，当时，截面左右的扭转力矩： （q）、分布图如图7-5b）、c）所示，图中括号内的数字即为单箱双室截面的数值。5、应力计算翘曲正应力 翘曲剪应力其中、的数值均取自第六讲例6-1。及分布图如图7-6和7-7所示。2.52.5b)图图7-70.26纵向预应力筋纵向预应力筋0.26纵向预应力筋纵向预应力筋1.07纵向预应力筋纵向预应力筋0.88纵向预应力筋纵向预应力筋a)图纵向预应力筋纵向预应力筋0.88纵向预应力筋纵向预应力筋1.07纵向预应力筋纵向预应力筋0.26纵向预应力筋纵向预应力筋0.26纵向预应力筋纵向预应力筋（单位：MPa）第六节 小 结1、薄壁杆件受扭时，自由扭转和约束扭转一般是同时发生的，扭转变形为二者的综合作用。截面总扭矩应是自由扭转力矩与约束扭转力矩之和。即 对于开口薄壁截面，按上式有： 微分一次得 或 其中：。对于闭口薄壁截面则有：应用静力学平衡条件，建立与的关系，代入上式后可得到与开口截面相同形式的方程。即 其中：；。2、扭转角微分方程式为四阶非齐次常系数方程（等截面）线性微分方程，其通解为包含四个待定常数得齐次解和实际荷载确定的待定解构成（式7-32及式7-62），其中待定常数可选择为起始端（）的初始值即扭转角,扭转率（闭口截面为），双力矩以及扭转