组合数学 3.3常系数线性非齐次递推关系

1、3.3常系数线性非其次递推关系 3.3.1 非其次递推关系 3.3.2 举例13.3.1 非其次递推关系常系数线性非其次递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-k F(n) (3.3.1) 其中c1,c2,ck是实数常数，ck0； F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。相伴的齐次递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-k (3.3.2)23.3.1 非其次递推关系定理3.3.1 若anx(n)为递推关系(3.3.1)相伴的齐次递推关系(3.3.2)的通解， any(n)为递推关系(3.3.1)的一个特解，则anx(n) y(n)为递推关系(3.3.1)的通解。 33.3.1 非

2、其次递推关系定理3.3.2 设常系数线性非齐次递推关 anc1an-1c2an-2ckan-k F(n) 其中c1,c2,ck是实数常数，ck0； 且F(n)(btntbt-1nt-1b1n b0)Sn 其中b1,b2,bt和S是实数常数。 当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的m(m0)重根时，存在一个下述形式的特解： annm(ptntpt-1nt-1p1np0)Sn 其中p1,p2,pt为待定系数。 43.3.2 举例例3.3.1 解递归解(1)相伴齐次递推关系anan-1 () ()的特征方程x10 ()的特征根 x1 ()的通解ana1na(a为任意常数)53.3.2 举例(2)由

3、于F(n)nn1n且s1是()的1重 根，所以得()的一个特解形如 ann1(p1np0)1n(p1,p0为待定系数) 代入a11，a23得63.3.2 举例 故得()的一个特解 ann1( n )1n n2 n (3) ()的通解 ana n2 n (a为任意常数) 代入a11得a0 (4)求得递归的解an n2 n 73.3.2 举例例3.3.2 解Hanoi问题的递归，即解(1)相伴齐次递推关系an2an-1 () ()的特征方程x20 ()的特征根 x2 ()的通解ana2n(a为任意常数)83.3.2 举例(2)由于F(n)111n且s1是()的0重 根，所以得()的一个特解形如 a

4、nn0p1n p(p为待定系数) 代入()得p1 故得()的一个特解an193.3.2 举例 (3) ()的通解 ana2n1(a为任意常数) 代入a11得a1 (4)求得递归的解an2n1103.3.2 举例定理3.3.3若anx(n)和any(n)分别是递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n) anc1an-1c2an-2ckan-kF2(n) 的解，其中c1,c2,ck(ck0)是实数常数，F1(n)与F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数， 则anx(n)y(n)为递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n)F2(n) 的解113.3.2 举例例3.3.3 解递归解(1)相伴齐次递推关系an3an-1 () ()的特征方程x30 ()的特征根 x3 ()的通解ana3n(a为任意常数)123.3.2 举例(2)分别求an3an-132n () an3an-14n ()的一个特解()的一个特解形如b2n (b为常数) 将其代入()得b6 故求得()的一个特解an62n类似求得()的一个特解an2n3故求得()的一个特解an 62n2n31