大学物理：第六章-机械振动

1、第六章机 械 振 动本章教学要求：掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。理解旋转矢量法。掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。了解阻尼振动、受迫振动和共振。理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。了解相互垂直的简谐振动的合成。本章重点：描述简谐振动各物理量（特别是相位）,旋转矢量法。简谐振动的运动方程,同方向、同频率的两个简谐振动的合成本章难点：振动相位,旋转矢量,简谐振动的合成返回目录下一页上一页机械振动目录4.1 振动4.2 简谐振动4.4 简谐振动的合成4.3（略）返回总目录第

2、二篇 机械振动和机械波第四章 机械振动 机械振动是自然界中普遍存在的一种现象。此外，光、电磁波也是一种振动。本章主要总结一、特点1、周期性, 物理量的某个状态及其变化量完全重复所需 要的时间,称为振动周期T.2、有一个平衡位置振动一个物理量在平衡位置附近作往复运动返回本章目录下一页上一页（a）单摆（b）扭摆（c）弹簧振子（d）浮体二、两个条件（1）回复力:指向平衡位置的力.（2）惯性返回本章目录下一页上一页6-1 简谐振动一、简谐振动的特点1、弹簧振子的振动与研究简谐振动的意义弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数为K (倔强系数)。质量为m的小球（质点）。无摩擦。研究简谐振动的意义：（

3、1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动是研究其他振动的基础。返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页令积分常数，根据初始条件确定2. 单摆固有角频率 及周期T。返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页3、复摆 一半径为R的球体，用一根质量可忽略的细线悬挂着，球心至悬挂点的距离为l，试求这个球作小角摆动时的周期。其解题方法是：返回本章目录下一页上一页 要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。6-1-4简谐振动运动方程凡是描述运动的物理量满足上面二阶微分方程的运动称为简谐振动。其解为：弹簧原长时小球m所在位

4、置为坐标原点O.由系统本身性质决定,与外界无关。6-2 描述谐振动的三个物理量周期、振幅、初相6-2-1 振幅 A： 是振动物体离开平衡位置最大的位移。 6-2-2 周期、频率、角频率单摆周期为：劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，求该系统的振动周期所以两根弹簧串联，其总劲度系数，根椐弹簧振子周期公式，2、一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示，求振动系统的频率。,有用隔离法截取段进行受力分析, 如(b)所示，所以，振动系统的频率为 简谐振动中的位移、速度和加速度（a）（b

5、）（c）返回本章目录下一页上一页6-2-3 相位返回本章目录下一页上一页初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.6-2-4 初相和振幅A的确定（1）（2）例3. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。返回本章目录下一页上一页以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向表面上看，物体受重力与弹力，似乎并不满足简谐振动的条件。例4. 轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软细绳连接，细绳跨于桌边滑轮M上，而m悬于细绳下端。

6、已知弹簧的倔强系数 ，滑轮的质量为M=1kg，半径R=0.2米，物体质量m=1.5kg。若将物体由平衡位置向上托起0.15米，然后突然放手。证明物体做简谐振动，并写出振动方程。返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页物体平衡条件：平衡位置为坐标原点oox返回本章目录下一页上一页注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持静止的位置。（2）解得的初相要结合初始速度作正确取舍。 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.当 时 6-3 谐振动的旋转矢量表示法 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.时 旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.用

7、旋转矢量确定振动初相返回本章目录下一页上一页0 x（3）将空间分为四个象限，判断旋转矢量在哪个象限。x0返回本章目录下一页上一页（4） 由位移时间曲线(x-t)形状判断速度的正负， 进一步确定其位相。V0t曲线下降，质点向x轴负向运动，v0当x1,x2,x3.为不同坐标轴时， 其初位相分别为 返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页例5. 已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写出振动方程。作出旋转矢量 例2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程； （3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向

8、右的初速度 ，求其运动方程. （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；0.05解 （1）由旋转矢量图可知解 由旋转矢量图可知（负号表示速度沿 轴负方向） （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；解 （3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.因为 ，由旋转矢量图可知例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0= - 9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l

9、 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx作谐振动 设振动方程为由初条件得由x0=Acos0=-0.0980 cos00 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变XOmx固有频率返回本章目录下一页上一页1. 结论6-4 简谐振子的能量返回本章目录下一页上一页例一物体作简谐振动，振动方程为求该物体在t = 0时刻的动能与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比解：物体的速度为动能t = 0时刻的动能：t = T/

10、8时的动能：两时刻的动能之比为2:12、从振动系统机械能守恒出发，建立运动微分方程。返回本章目录下一页上一页一、同频率同方向简谐振动的合成设两个振动均沿x轴（同方向）进行，而频率均为（合振动仍沿x轴，频率不变）返回本章目录下一页上一页6-5 谐振动的合成讨论返回本章目录下一页上一页一般情况下：6、有两个同方向的简谐振动，它们的方程为式中x以m计，t以s计。（1）求它们合成振动的振幅和初相位。（2）另有一同方向简谐振动的振动方程为。问：为何值时，x1+x3的振幅为最大？为何值时，x2+x3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图表示（1）、（2）两小题结果。解：（1）已知：求：A ，（2）当 时，合振幅

11、为最大。取，则当 时，合振幅为最小。取 （3）设且返回本章目录上一页两分振动的相位差为夹角随时间逐渐增大。随时间逐渐增大，因而）时，其合振幅最小；反相（夹角为当）时，其合振幅最大；同相（夹角为当下一页用旋转矢量进行定性分析合振动已不再是简谐振动,合振动的振幅会时大时小的变化。6-5-2两个同方向、不同频率的谐振动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.6-5-2两个同方向、不同频率的谐振动的合成合振动频率振幅部分讨论 , 的情况 方法一合振动频率振幅部分振幅 振动频率拍频（振幅变化的频率） 方法二：旋转矢量合成法（拍在声学和无线电技术

12、中的应用）拍频振幅 振动圆频率返回本章目录下一页上一页tttt同方向不同频率简谐振动的合成声音时大时小-“拍现象”用音叉演示拍现象时，演示者用小锤敲击两个频率相近的音叉，坐在不同位置的听众都能听到时强时弱的拍音。细致讲，坐在不同位置的听众，在同一时刻，所听到的拍音的强弱不全相同，有人听到最强时，有人恰好听到的是最弱。这是因为波的强度不仅随时间是周期变化的，而且在空间也是周期分布的。 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹1） 或 （椭圆方程） 讨论2）3）用旋转矢量描绘振动合成图简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成李 萨 如 图角频率振幅阻尼力固有角频率阻尼系数阻力系数6-6 阻尼振动 受迫振动 共振 6-6-1 阻尼振动三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线 b）过阻尼 a）欠阻尼 c）临界阻尼驱动力二 受迫振动驱动力的角频率共振频率大