第十二章振动学基础

1、第四篇 振动 波动和波动光学我们生活在波的海洋中第11章 振动学基础振动：任何一个物理量(例如，物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。专题讲座3包括教材P95-109简谐运动的描述及其动力学特征简谐运动：是最基本、最简单的振动。 任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本的简谐运动合成的。一、简谐运动的运动学特征运动规律由余(正)弦函数表示弹簧振子单摆简谐运动表达式1、基本物理量A：振幅 单位：mA：振幅 离开平衡位置的最大位移；：角频率 单位：弧度/秒（rad/s）t+：位相或周相单位：弧度（rad）T：周期单

2、位：秒（s）：初相 ：频率 单位：赫兹(Hz) (1/s)：角频率 2秒内往复振动的次数；t+：位相或周相 决定任意时刻系统运动状态的物理量；：初相 t = 0时的位相，与初始条件有关；：频率 单位时间内往复振动的次数；T：周期 往复振动一次的时间。2、振动曲线周期、频率与角频率关系：txOAT3、简谐运动的速度与加速度2022/7/244、振动表达式的建立关键：初相位的确定已知 t =0时 (已知) ，振动位移：x = x0 ，振动速度：v = v0令左边两式中t =0，得基本方程：则振幅：初相位：注意：在区间（，）中， 可取两个值，根据速度方向确定的值。例11-1:一质点沿x轴作简谐振动，

3、周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，速度为 cm/s。试写出质点的振动方程。振幅：初相位：例11-1:一质点沿x轴作简谐振动，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，速度为 。试写出质点的振动方程。解：已知：T = 2s，所以= 12(cm)或基本方程：因为所以振动方程例11-2: 一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0rads-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：(1)简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：已知t=0时， x0=0.04m=Av0=0(1)(2)由(1)中结

4、果依题意，v0则例11-3:一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求: 1、振动方程。2、t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x = -6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置第一次回到平衡位置所需要的时间。解：1. 设简谐振动表达式为已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始条件：t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 02. 所以3. 设在某一时刻 t1， x = 0.06 m代入振动方程：由 可得在最大负位移的时刻OA A/2由最大负位移回到平

5、衡位置需四分之一周期，因而二、简谐运动的旋转矢量图示法 旋转矢量的模即为简谐运动的振幅。 旋转矢量的角速度即为振动的角频率。 旋转矢量与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位。 t = 0时，旋转矢量与x轴的夹角即为简谐振动的初相位。 旋转矢量旋转一周，P点完成一次全振动。结论：投影点的运动为简谐运动。周期：几何描述方法例11-4:一个沿x轴作简谐运动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，t = 0时，振子的位置为x0=A/2，且向x的负方向运动。试求振动表达式。解：（旋转矢量法）振动表达式的标准形式为 由旋转矢量法获得，如图，满足x=A/2的位置有P1、P2，但是同时满足负方向运动的只有P1，则 应在

6、P1处，故振动表达式为：三、旋转矢量法的应用：其中A、T为已知。例11-3:一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求: 1、振动方程。3、如果在某时刻质点位于x = 6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置第一次回到平衡位置所需要的时间。解：1. 设简谐振动表达式为已知： A = 12cm , T = 2s ，x = A cos(t + )初始条件：t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 0所以3. 设在某一时刻 t1， x = 0.06 m代入振动方程：由 可得在最大负位移的时刻OA A/2由最大负位移的回到平衡位置需

7、四分之一周期，因而例11-5: 一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求: (1) 振动表达式；(3) 如果在某一时刻质点位于x =-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：t = 0时，质点位移为0.06m，而且向正方向运动，旋转矢量的初始位置如图所示，从而得x6cm(3)质点位于x= 6cm且向x轴负方向运动的位置如图所示平衡位置如图所示作业：教材：P128 11-3，11-4，11-5；指导：P211 3，6。四、简谐运动的动力学描述1. 弹簧振子理想模型根据胡克定律：始终指向平衡位置的作用力回

8、复力振子质量：m由牛顿第二定律得令:简谐运动的微分方程微分方程的解： 任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动。如：交流电压U为常数得简谐运动的微分方程。A和由初始条件确定2. 单摆的讨论Ol mgT小球受力矩：根据转动定律化简得当很小时， 结论：单摆的振动是简谐运动。为振动角位移，振幅为0例11-6: 证明图示系统的振动为简谐运动。其频率为 xk1k2 x证明：设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2 ，从而联立解得根据牛顿第二定律即振动为简谐振动。其频率为证毕。五、简谐运动的能量振子势能：振子动能：系统的总能量：

9、弹簧振子的能量曲线1、振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。2、位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的峰值。位移为0，势能为0，但动能最大，在振动曲线的平衡位置。作业：教材：P129 11-12， 11-14；指导：P211 7，P215 1，2。11-3 简谐运动的合成设：某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其运动表达式分别表示为令：则， 显然，两个同方向同频率的谐振动的合成仍为谐振动。其中，合振幅：合振动的初位相：一、两个同方向同频率简谐运动的合成（振幅、初相位不同）旋转矢量法推导：x由几何关系：同理可得合振幅： 的具体象限要根据1、

10、2 确定。讨论：合振动的加强和减弱1、 位相差= 1 - 2 = 2kk=0，1，2，3，合振幅加强：2、 位相差= 1 - 2 =（2k+1）k=0，1，2，3，合振幅减弱：合振动的初位相：例11-5: 两个同方向的简谐运动曲线(如图所示) (1) 求合振动的振幅。(2) 求合振动的振动方程。xTt解: (1) 由图可知，两振动互为反相， 合振幅(2)画t = 0时的旋转矢量图：x例11-6: 两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为 。若第一个振动的振幅为 。则(1)第二个振动的振幅为多少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？解：(1)依题意根据余弦定理(2)根据正弦定理二、两个同方向不同频率简谐运动的合成 相对于 的转动角速度为 平行四边形形状变化，